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上海市杨浦区2017届高考数学一模(含详细答案)



上海市杨浦区 2017 届高三一模数学试卷
2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分)
3 3 1. 若“ a ? b ” ,则“ a ? b ”是

命题(填:真、假)

2. 已知 A ? (??,0] , B ? (a, ??) ,若 A ? B ? R ,则 a 的取值范围是 3. z ? 2 z ? 9 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则 | z | ? 4. 若△ ABC 中, a ? b ? 4 , ?C ? 30 ,则△ ABC 面积的最大值是
?

x?a 的反函数的图像过点 (?2,3) ,则 a ? x ?1 ? 6. 若半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面,若 OA 与该截面所成的角是 60 ,则该
5. 若函数 f ( x) ? log 2 截面的面积是 7. 抛掷一枚均匀的骰子(刻有 1、2、3、4、5、6)三次,得到的数字依次记作 a 、 b 、 c , 则 a ? bi ( i 为虚数单位)是方程 x ? 2 x ? c ? 0 的根的概率是
2

8. 设常数 a ? 0 , ( x ?

a 9 ) 展开式中 x6 的系数为 4,则 lim(a ? a 2 ? ??? ? a n ) ? n ?? x

9. 已知直线 l 经过点 (? 5,0) 且方向向量为 (2, ?1) ,则原点 O 到直线 l 的距离为 10. 若双曲线的一条渐近线为 x ? 2 y ? 0 ,且双曲线与抛物线 y ? x 的准线仅有一个公共
2

点,则此双曲线的标准方程为 11.平面直角坐标系中,给出点 A(1, 0) 、 B(4, 0) ,若直线 x ? my ? 1 ? 0 上存在点 P ,使得

| PA | ? 2 | PB | ,则实数 m 的取值范围是
12. 函数 y ? f ( x) 是最小正周期为 4 的偶函数,且在 x ? [?2, 0] 时, f ( x) ? 2 x ? 1 ,若存 在 x1 、 x2 、 ??? 、 xn 满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xn ,且 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ????

? | f ( xn?1 ) ? f ( xn ) | ? 2016 ,则 n ? xn 最小值为
二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)



13. 若 a 与 b ? c 都是非零向量,则“ a ? b ? a ? c ”是“ a ? (b ? c) ”的( A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要

?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

)条件

D. 既不充分也不必要

1 4 7
14. 行列式 2 A. ?15

5 8 中,元素 7 的代数余子式的值为( 3 6 9
B. ?3 C. 3

) D. 12

15. 一个公司有 8 名员工,其中 6 位员工的月工资分别为 5200、5300、5500、6100、6500、 6600,另两位员工数据不清楚,那么 8 位员工月工资的中位数不可能是( A. 5800 16. 若直线 B. 6000 C. 6200 D. 6400 )

x y ? ? 1 通过点 P(cos ? ,sin ? ) ,则下列不等式正确的是( ) a b 1 1 1 1 2 2 2 2 A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. 2 ? 2 ? 1 D. 2 ? 2 ? 1 a b a b

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,某柱体实心铜制零件的截面边界是长度为 55 毫米线段 AB 和 88 毫米的线段 AC 以及圆心为 P ,半径为 PB 的一段圆弧 BC 构成,其中 ?BAC ? 60 ; (1)求半径 PB 的长度; (2)现知该零件的厚度为 3 毫米,试求该零件的重量(每 1 个立方厘米铜重 8.9 克,按四 舍五入精确到 0.1 克) ; ( V柱 ? s底 ? h )
?

18. 如图所示, l1 、 l2 是互相垂直的异面直线, MN 是它们的公垂线段,点 A 、 B 在 l1 上, 且位于 M 点的两侧, C 在 l2 上, AM ? BM ? NM ? CN ; (1)求证:异面直线 AC 与 BN 垂直; (2)若四面体 ABCN 的体积 VABCN ? 9 ,求异面直线 l1 、 l2 之间的距离;

x2 19. 如图所示,椭圆 C : ? y 2 ? 1 ,左右焦点分别记作 F1 、 F2 ,过 F1 、 F2 分别作直线 4 l1 、 l2 交椭圆于 AB 、 CD ,且 l1 ∥ l2 ;
(1)当直线 l1 的斜率 k1 与直线 BC 的斜率 k2 都存在时,求证: k1 ? k2 为定值; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值;

20. 数列 {an } ,定义 {?an } 为数列 {an } 的一阶差分数列,其中 ?an ? an?1 ? an , n ? N ;
*

(1)若 an ? n2 ? n ,试判断 {?an } 是否是等差数列,并说明理由; (2)若 a1 ? 1 , ?an ? an ? 2n ,求数列 {an } 的通项公式;
1 2 n (3)对(2)中的数列 {an } ,是否存在等差数列 {bn } ,使得 b1Cn ? b2Cn ????? bnCn ? an

对一切 n ? N 都成立,若存在,求出数列 {bn } 的通项公式;若不存在,请说明理由;
*

21. 对于函数 f ( x) ( x ? D) ,若存在正常数 T ,使得对任意 x ? D ,都有 f ( x ? T ) ? f ( x) 成立,我们称函数 f ( x) 为“ T 同比不减函数” ; (1)求证:对任意正常数 T , f ( x) ? x 都不是“ T 同比不减函数” ;
2

(2)若函数 f ( x) ? kx ? sin x 是“

? 同比不减函数” ,求 k 的取值范围; 2

(3)是否存在正常数 T ,使得函数 f ( x) ? x? | x ? 1| ? | x ? 1| 为“ T 同比不减函数” ,若存 在,求 T 的取值范围,若不存在,请说明理由;

参考答案
一. 填空题 1. 真 7. 2. a ? 0 8. 3. 5 9. 1 4. 1 5. 2 6. 2

1 108

1 2

10. 16 y 2 ? 4 x2 ? 1 12. 1513

11. (??, ? 3] ? [ 3, ??)

二. 选择题 13. C 三. 解答题 17 14. B 15. D 16. D

.

18.

19.

20.(

21.



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