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揭阳市惠来一中、揭东一中2017届高一下学期期末联考(理数)



揭阳市惠来一中、揭东一中 2017 届高一下学期期末联考 数学(理科)
满分:150 分 考试时间:120 分钟

第Ⅰ卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。
(1) 已知两直线 m、n 和平面 α,若 m⊥α,n∥α,则直线 m、n 的关系一定成立的是 (A)m 与 n 是异面直线 (C)m 与 n 是相交直线 (B)m⊥n (D)m∥n

(2) 已知数据 x1,x2,x3,…,xn 是普通职工 n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这 n 个数据的中位 数为 x,平均数为 y,方差为 z,如果再加上世界首富的年收入 xn+1,则这 n+1 个数据中,下列 说法正确的是 (A)年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 (B)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 (C)年收入平均数大大增大,中位数可 能不变,方差也不变 (D)年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变 (3) 若直线 l1:mx﹣3y﹣2=0 与直线 l2:(2﹣m)x﹣3y+5=0 互相平行,则实数 m 的值为 (A) 2 (C)1 (4) 利用计算机在区间( (A) (B)﹣1 (D)0

1 2

(5) 函数 y=2cos2(x+

3? )-1 是 4

1 ,2)内产生随机数 a,则不等式 ln(3a﹣1)<0 成立的概率是 3 1 1 1 (B) (C) (D) 3 4 5

(A)最小正周期为 π 的奇函数

? 的奇函数 2 ? (C)最小正周期为 的偶函数 2
(B)最小正周期为 (D)最小正周期为 π 的偶函数

1

(6) 已知程序框图如图所示,如果上述程序运行的结果为 S=132,那么 判断框中应填入 (A)k<11? (C)k<13? (B)k<12? (D)k<14?

(7) 已知函数 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)的对应表: x f(x) 1 -8 2 2 3 ﹣3 4 5 5 6 6 8

则函数 f(x)存在零点的区间有 (A)区间[2,3]和[3,4] (C)区间[2,3]、[3,4]和[4,5] (8) 函数 y ? ln(? x2 ? 2x ? 3) 的单调递减区间是 (A)(1,+∞) (C)[1,3) (B)(﹣1,1] (D)(﹣∞,1) (B)区间[3,4]、[4,5]和[5,6] (D)区间[1,2]、[2,3]和[3,4]

(9) 若函数 f(x)=3ax﹣k+ 1(a>0,且 a≠1)过定点(2,4),且 f(x)在定义域 R 内是增函数,则 函数 g(x)=loga(x-k)的图象是

(A)

(B)

(C)

(D)

(10) 如果圆 x2+y2+2m(x+y)+2 m2- 8=0 上总存在到点(0,0)的距 离为 2 的点, 则实数 m 的取值范围是 (A)[﹣1,1] (C)(﹣3,﹣1)∪(1,3) (B)(﹣3,3) (D)[﹣3,﹣1]∪[1,3]

(11) 同时具有性质:①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是 函数 的一个函数为 (A)y=cos(

? ? ? ;②在区间[﹣ , ]上是增 6 3 4

x ? + ) 2 6
2

(B)y=sin(

x ? + ) 2 6

(C)y=sin(2x﹣

? ) 6

(D)y=cos(2x﹣

? ) 6

(12) 定义在区间(1,+∞)内的函数 f(x)满足下列两个条件: ①对任意的 x∈(1,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; ②当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. 已知函数 y=f(x)的图象与直线 mx-y-m=0 恰有两个交点,则实数 m 的取值范围是 (A)[1,2) (C) [ ,2) (B)(1,2] (D)( ,2]

4 3

4 3

第Ⅱ卷
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。
(13) 设某总体是由编号为 01,02,…,3 9,40 的 40 个个体组成的,利用下面的随机数表依次选取 4 个个体,选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字,则 选出来的第 4 个个体的编号为 .

0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619 7606 8350 0310 5923 4605 0526 6238 (14) 设 m∈R,向量 a =(m+1,3), b =(2,﹣m),且 a ⊥ b ,则| a + b |= (15) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 .

?

?

?

?

? ?

.

(16) 已知 cos ? ? sin(? ?

?

1 ? ) ? ? ,则 cos(2? ? ) = 6 3 3



三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分 10 分) 如图,在△ABC 中,已知点 D,E 分别在边 AB,BC 上,且 AB=3AD,BC=2BE.

3

(Ⅰ)用向量 AB , AC 表示 DE ; (Ⅱ)设 AB=6,AC=4,A=60° ,求线段 DE 的长.

??? ?

????

????

(18)(本小题满分 12 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生都参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情 况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据 下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题: 频率分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 8 a 20 ▓ 2 ▓ 频率 0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

(Ⅰ)写出 a,b,x,y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场 参加环保知识的志愿宣传活动.
4

(i)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ii)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

(19)(本小题满分 12 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P 是单位圆上的动点, 过点 P 作 x 轴的垂线与射线 y= 3 x (x≥0)交于点 Q,与 x 轴交于点 M.记∠MOP=α,且 α∈(﹣ (Ⅰ)若 sinα=

? ? , ). 2 2

1 ,求 cos∠POQ; 3

(Ⅱ)求△OPQ 面积的最大值.

(20)(本小题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线段 EF 的中点. (Ⅰ)求证:AM∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 A﹣DF﹣B 的大小.

5

(21)(本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过点 A(1,3),B(2,2),并且直线 m:3x﹣2y=0 平分圆 C. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 D(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N. (i)求实数 k 的取值范围; (ii)若 OM ? ON =12,求 k 的值.

???? ? ????

(22)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(

1 x ). 3
2

2 (Ⅰ)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)] ﹣2af(x)+3 的最小值 g(a);

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实数 m>n>3,使得 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n , m2]?若存在,求出 m、n 的值;若不存在,请说明理由.

6

数学(理科)参考答案
一、选择题 (1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C 二、填空题
(13)09 (14) 26 (15)

2 3

(16)

7 9

三、解答题
(17)解:(Ⅰ)△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,且 AB=3AD,BC=2BE,

? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? 2 ??? AB, BE ? BC ? ( AC ? AB ), 3 2 2 ???? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ∴ DE ? DB ? BE ? AB ? ( AC ? AB ) ? AB ? AC . 3 2 6 2
∴ DB ? (Ⅱ)若 AB=6,AC=4,A=60° ,

??? ?

(5 分)

?2 ? ???? 1 ???? 2 1 ??? 1 1 ??? AB ? 2 ? ? AB?AC ? AC 36 6 2 4 1 2 1 1 2 = × 6+ × 6× 4× cos60° + × 4 =7, 36 6 4 ??? ? ∴ | DE |? 7 ,
则 DE ? 即线段 DE 的长为 7 . (18)解:(Ⅰ)由题意可知,a=16,b=0.04,x=0.032,y=0.004. (10 分) (4 分)

???? 2

(Ⅱ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A,B,C,D,第 5 组共有 2 人,记为 X,Y. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学,则有 AB,AC,AD,BC, BD,CD,AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共 15 种情况. (ⅰ)设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E, 则事件 E 包含 AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共 9 种情况.所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P(E)= (6 分)

9 3 ? .(9 分) 15 5

(ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F,则事件 F 包含 AB,AC,AD,BC,BD, CD,XY,共 7 种情况. 所以 P(F)=

7 . 15

(12 分)

7

(19)解:(Ⅰ)因为 sin ? ?

1 ? ? 2 2 ,且 ? ? (? , ), 所以 cos ? ? . 3 2 2 3

所以 cos ?POQ ? cos(

?
3

? ? ) ? cos

?
3

cos ? ? sin

?
3

sin ? ?

2 2? 3 . 6

(5 分)

(Ⅱ)由三角函数定义,得 P(cosα,sinα),从而 Q(cos ? , 3 cos ? ) , 所以 S? POQ ?

1 1 | cos ? |? | 3 cos ? ? sin ? |? | 3 cos 2 ? ? sin ? cos ? | 2 2

?

1 3 3 1 1 3 ? | ? cos 2? ? sin 2? |? | ? sin( ? 2? ) | 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 1 | ? 1|? ? . 2 2 4 2

?

因为 ? ? (?

? ?

, ), 所以当 ? ? ? 时,取等号, 2 2 12

?

所以△OPQ 面积的最大值为

3 1 ? . 4 2

(12 分)

(20)解:(Ⅰ)记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE,如图,

∵O、M 分别是 AC、EF 的中点,ACEF 是矩形, ∴四边形 AOEM 是平行四边形.∴AM∥OE. ∵OE ? 平面 BDE,AM ? 平面 BDE, ∴AM∥平面 BDE. (Ⅱ)在平面 AFD 中,过 A 作 AS⊥DF 于 S,连接 BS,如图, (4 分)

8

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A, ∴AB⊥平面 ADF, ∴AS 是 BS 在平面 ADF 上的射影, 由三垂线定理得 BS⊥DF, ∴ ?BSA 是二面角 A-DF-B 的平面角. 在 Rt△ASB 中, AS ? ∴tan ?ASB =

6 , AB ? 2, 3

, 3 , ?ASB =60° (12 分)

. ∴二面 角 A-DF-B 的大小为 6 0°

2 2 2 (21)解:(Ⅰ)设圆 C 的标准方程为(x﹣a) +(y﹣b) =r .

∵圆 C 被直线 m:3x﹣2y=0 平分, ∴圆心 C(a,b)在直线 m 上,可得 3a﹣2b=0. ① 又∵点 A(1,3),B(2,2)在圆 C 上,
2 2 2 ? ?(1 ? a) ? (3 ? b) ? r , ∴? 2 2 2 ? ?(2 ? a) ? (2 ? b) ? r ,



将①②联立,解得 a=2,b=3,r=1.
2 2 ∴圆 C 的方程是(x﹣2) +(y﹣3) =1.

(4 分)

(Ⅱ)(i) 过点 D(0,1)且斜率为 k 的直线 l 的方程为 y=kx+1,即 kx﹣y+1=0. ∵直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N, ∴点 C(2,3)到直线 l 的距离小于半径 r, 即

| 2k ? 3 ? 1|
2

? 1 ,解得 4 ? 7 ? k ? 4 ? 7 . k ?1 3 3 4? 7 4? 7 , ). 3 3
消去 y,得(1+k )x ﹣(4 +4k)x+7=0.
2 2

∴实数 k 的取值范围是 (

(8 分)

(ii)由 ?

? y ? kx ? 1, ?( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

设 M(x1,y1)、N(x2,y2),可得 x1+x2=

4 ? 4k 7 xx= , 2 , 1 2 1? k 1? k 2

2 ∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k x1x2+k(x1+x2)+1=

7 k 2 4k ? 4k 2 + +1, 1? k 2 1? k 2

9

∴ OM ? ON =x1x2+y1y2=

???? ? ????

7 7 k 2 4k ? 4k 2 + + +1=12,解得 k=1. 1? k 2 1? k 2 1? k 2
(12 分)

此时 k∈ (

4? 7 4? 7 , ) ,成立,∴k=1. 3 3

(22)解:(Ⅰ)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=(

1 x 1 ) ∈[ ,3], 3 3 1 1 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[( )x]2﹣2a( )x+3 3 3 1 =[( )x﹣a]2+3﹣a2. . 3
由一元二次函数的性质分三种情况:

(1 分)

(3 分)

1 28 2a ?1? 1 ? 若 a< ,则当 ? ? ? ,即x=1 时,ymin=g(a)= ; 3 9 3 ? 3? 3


x

(5 分)

1 ?1? ≤a≤3,则当 ? ? ? a,即x=-log3a 时,ymin=g(a)=3﹣a2; 3 ? 3?

x

(6 分)

若 a>3,则当 ? ? ? 3,即x=-1 时,ymin =g(a)=12﹣6a.

?1? ? 3?

x

(7 分)

1 ? 28 2a ? 9 ? 3 (a ? 3 ), ? ? 2 1 ∴g(a)= ?3 ? a ( ? a ? 3), 3 ? ?12 ? 6a (a ? 3). ? ?
(Ⅱ)假设存在满足题意的 m、n, ∵m>n>3,且 g(x)=12﹣6x 在区间(3,+∞)内是减函数,
2 2 又 g(x)的定义域为[n,m],值域为[n ,m ],
2 ? ?12 ? 6m ? n , ∴? 2 ? ?12 ? 6n ? m ,

(8 分)

(9 分)

(10 分)

两式相减,得 6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n), ∵m>n>3,∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾, ∴满足题意的 m、n 不存在. (11 分) (12 分)

10



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