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广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、深圳中学、广雅中学四校2016届高三上学期期末联考数学(文)


2016 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考

文科数学
命题学校:华南师范大学附属中学 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关 信息填写在答题卡指定区域内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案 ;不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以 上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.

第一部分
有一项是符合题目要求的.

选择题(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中,只

2 1. 若集合 M ? x x ? 4 , N ? x 1 ? x ? 3 ,则 N ? ?R M =( ** )

?

?

?

?

?

?

A. x 1 ? x ? 2

?

?

B.

? x ? 2 ? x ? 2?

C.

? x ? 2 ? x ? 1?

D.

?x ? 2 ? x ? 3?

2. 在复平面内,复数 Z ? A.第一象限 3. 条件

2 ? i 3 对应的点位于( ** ) 3?i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : x ? 2 ,则 ?p 是 ?q 的( ** )
开始

A.充分非必要条件 C.充要条件
S

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件

i ? 12, s ? 1
i ? 11?
是 否

4 A C B (第 5 题图)

s ? s ?i
2 2 正视图 2 3 侧视图

输出 s 结束 (第 4 题图)

i ? i ?1

4. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( ** ) A. 121 B. 132 C. 142

D. 154

5. 三棱锥 S ? ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱 SB 的长为( ** ) A. 16 3 B. 38 C. 4 2 D. 2 11

x 6. 函数 y ? f ( x) 是 R 上的奇函数,满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,当 x ? ? 0,3? 时 f ( x) ? 2 ,

则当 x ? ? ?6, ?3? 时, f ( x) ? ( ** ) A. 2
x ?6

B. ? 2

x?6

C. 2

x ?6

D. ? 2

x ?6

7. 已知等差数列 ?an ? 的通项公式 an ?

64 ? 4n ,设 An ?| an ? an?1 ? ?? an?12 | (n ? N *) , 5

则当 An 取最小值时, n 的取值为( ** ) A.16 B.14 C.12 D.10

8. 已知 ?ABC 中,平面内一点 P 满足 CP ? A. 3 B.

??? ?

1 3

? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? CA ? CB ,若 PB ? t PA ,则 t ? ( ** ) 3 3 1 C. 2 D. 2

9. 已知点 F 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 a 2 b2

F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A 、 B 两点,?ABE 是直角三角形,则该双曲线的
离心率是( ** ) A. 3 B. 2 C. 12 D. 13

?y ? x ? 10. 设变量 x 、 y 满足: ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为( ** ) ? x ? ?2 ?
A. 8 B. 3 C.

13 4

D.

9 2

?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 11. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上,
为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此三棱锥的体积为( ** ) A.

1 4

B.

2 4

C.

2 6

D.

2 12

12. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,满足 f ( x) ? f ?( x) ,且

f (0) ? 2 ,则不等式
A. ? ??,0?

f ( x) ? 2 的解集为( ** ) ex
B. ? 0, ??? C. ? ??,2? D. ? 2, ???

第二部分
m

非选择题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

? 2n ? 4 ,则 log m 2 与 log n 2 大小关系是 ** . ?? ? ? ?? ? ? n ? ? 0, ?1? , 3,1 , k ? t, 3 , 14. 已知向量 m ? 若 m ? 2n 与 k 共线, 则t ?
13. 设 2

?

?

?

?

**

.

15. 函数 y ? xe 在其极值点处的切线方程为
x

**

.

16. 已知数列 ?an ? 为等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 ak , ak , ak , ? , ak , ? 成等比数 n
1 2 3

列,且 k1 ? 1 , k2 ? 2 , k3 ? 5 ,则数列 ?kn ? 的通项公式 kn ?

**

.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明 、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x cos (Ⅰ)求 ? 的值;
2

?
2

? cos xsin ? ?sin x(0 ? ? ? ?) 在 x ? ? 处取最小值.

C 的对边, b、 (Ⅱ) 在 ?ABC 中, 已知 a ? 1, b ? 2, f ( A) ? a、 c 分别是角 A 、B 、
求角 C .
[来源:学科网 ZXXK]

3 , 2

18. (本小题满分 12 分) 乐嘉是北京卫视 《我是演说家》的特约嘉宾,他的点评视角独特,语言犀利,给观众留下 了深刻的印象.某机构为了了解观众对乐嘉的喜爱程度,随机调查了观看了该节目的 140 名观众,得到如下的列联表: (单位:名) 男 女 总计 40 60 100 喜爱 20 20 40 不喜爱 60 80 140 总计 (Ⅰ)从这 60 名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样,抽取一个容量为 6 的样本, 问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名? (Ⅱ)根据以上列联表,问能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜 爱乐嘉有关. (精确到 0.001) (Ⅲ)从(Ⅰ)中的 6 名男性观众中随机选取两名作跟踪调查,求选到的两名观众都喜爱 乐嘉的概率. 0.05 0.025 0.010 0.005 p(k2≥k0 ) 0.10 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879 n (ad-bc) 2 附:临界值表参考公式: K = , n = a + b + c + d. (a + b) (c + d) (a + c) (b + d)
2

19. (本小题满分 12 分) 如图,在直角梯形 ABCP 中,CP / / AB ,CP ? CB , AB ? BC ? 中点,将 ?PAD 沿 AD 折起,使得 PD ? 面 ABCD . (Ⅰ)求证:平面 PAD ⊥ 平面 PCD ; (Ⅱ)若 E 是 PC 的中点.求三棱锥 A ? PEB 的体积.

1 CP ? 2 , D 是 CP 2

P E D C B

P

D

C

A

B

A

20. (本小题满分 12 分) 设函数

f ( x) ? a ln x ? bx2 .
1 ?1 ? 相切,求函数 f ( x)在 ? , e ? 上的最大值. 2 ?e ?

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

2 (Ⅱ)当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e ? ? 都成立, 2

? 3? ? ?

?

求实数 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存过点 P (2,1)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B ,满足

1 ,且经过点 M 2

? 3? ?1, ? . ? 2?

??? ? ????

PA ? PB ? PM ? PM ? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

????? ?????

选作题:请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明 如图,圆周角 ?BAC 的平 分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线 与弦 AC 的延长线交于点 E , AD 交 BC 于点 F . (Ⅰ)求证: BC / / DE ;
F B C D E

? ,求 ?BAC . A (Ⅱ)若 D、E、C、F 四点共圆,且 ? AC ? BC
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知直线 l 过点 P ? ?1, 2? ,倾斜角 ? ?

?
6

,再以原点为极点, x 轴

的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 3 . (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、N 两点,求 PM ? PN 的值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? ?

1 ; 2

(Ⅱ)若存在实数 a ,使得不等式 f ? x ? ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

2016 届高三上学期期末华附、省实、深中、广雅四校联考 文科数学参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. A 解:M={x|x>2,或 x<﹣2},N={x|1<x≤3};∴ ?RM={﹣2≤x≤2}; ∴ N∩(?RM)={x|1<x≤2}. 2. D 解:复数 Z= 3. A 4. B 5. C 解:由已知中的三视图可得 SC⊥平面 ABC,且底面△ABC 为等腰三角形,在△ABC 中 AC=4,AC 边上的高为 2 3 ,故 BC=4,在 Rt△SBC 中,由 SC=4,可得 SB= 4 2 . 6. B 解:∵f(3+x)=f(3﹣x) ,故直线 x=3 是函数 y=f(x)的一条对称轴, 又由函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 故原点(0,0)是函数 y=f(x)的一个对称中心 则 T=12 是函数 y=f(x)的一个周期设 x∈(﹣6,﹣3) 则 x+6∈(0,3)时 f(x+6)=2 7. D 8. C 解:在 CA 上取 CE=2EA,过点 E 作 EP∥BC 交 AB 于点 P,过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于 点 F,可得
x+6 x+6

2 ?3 ? i ? 2 3?i 3 4 ? i3 ? ?i ? ? i ? ? i 对应的点位于第四象限. 3?i 5 5 5 ?3 ? i ??3 ? i ?

=f(﹣x)=﹣f(x)即 f(x)=﹣2

CE CA

?

??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? 2 CF AP AE 1 , ? ? ? ,可得点 P 满足 CP ? CA ? CB ,利 3 CB AB AC 3 3 3

用平行四边形法则即可得出. 9. B 解:∵△ABE 是直角三角形,∴∠AEB 为直角, ∵双曲线关于 x 轴对称,且直线 AB 垂直 x 轴,∴∠AEF=∠BEF=45°,∴|AF|=|EF|, ∵F 为左焦点,设其坐标为(﹣c,0) ,

令 x=﹣c,则

c2 y 2 b2 b2 ? ? 1 y ? ? ,则有 ∴ |AF|= ,∴|EF|=a+c, a 2 b2 a a
∴e ﹣e﹣2=0∵e>1,∴e=2
2



b2 2 2 =a+c∴c ﹣ac﹣2a =0 a

10. A

解:依题意,画出可行域(如图示) ,则对于目标函数 z=x﹣3y, 当直线经过 A(﹣2,2)时,z=|x﹣3y|,取到最大值,Zmax=8.

[来源:学,科,网]

11.C 解:根据题意作出图形:

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

设球心为 O,过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1,则 OO1⊥平面 ABC, 延长 CO1 交球于点 D,则 SD⊥平面 ABC.∵CO1=

2 3 3 , ? ? 3 2 3

∴ OO1 ? 1 ?

1 6 , ? 3 3
2 6 3 ,∵△ABC 是边长为 1 的正三角形,∴S△ABC= , 3 4

∴高 SD=2OO1=

∴ V三棱锥S-ABC ?

1 3 2 6 2 . ? ? ? 3 4 3 6

f ? ? x ? e x ? f ( x)e x f ? ? x ? ? f ( x) f ( x) 12. B 解:设 g(x) = x ,则 g′(x)= ? x 2 e ex ? ? e ? ?
∵f(x)<f′(x) ,∴g′(x)>0,即函数 g(x)单调递增. ∵f(0)=2,∴g(0)=

f (0) ? f (0) ? 2 , e0

则不等式

f ? x? e
x

? 2 等价为

f ? x? e
x

?

f ? 0? e0

,即 g(x)>g(0) ,

∵函数 g(x)单调递增.∴x>0,∴不等式

f ? x? ex

? 2 的解集为(0,+∞)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. logm2<logn2 解:∵2 >2 >2 ,∴m>n>2,∴log2m>log2n>1 即 ∴logm2<logn2
m n 2

1 1 ? log 2 m log 2 n

14. 1

解:∵ m ?

??

?
?

? 3,1 , n ? ? 0, ?1? ,

?

∴ m ? 2n ? 又k 15. y= ?

??

? ?

3,1 ? 2 ? 0, ?1? ?

?

?

3,3

?
1 . e

?

?? ? ? ? t , 3 ,且 m ? 2n 与 k 共线,则 3 ? 3 ? 3t ? 0 ,解得:t=1.

?

1 e

解:依题解:依题意得 y′=e +xe ,令 y′=0,可得 x=-1,∴y= ? 因此函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为 y= ?
x

x

x

1 . e

3n ?1 ? 1 16. 2

2 解:由题意, a2 ? a1 ? a5 , (1 ? d )2 ? 1? (1 ? 4d ) ,得 d ? 2 ,即 an ? 2n ? 1 ,

所以 akn ? 2kn ? 1 .又等比数列 a1 , a2 , a5 的公比为 3,所以 akn ? 3n?1 .根 据 2kn ? 1 ? 3n?1 可得 kn ? 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 17. 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2sin x ?

3n ?1 ? 1 . 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )

……………………… 3 分 因为函数 f (x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 , 由诱导公式知 sin ? ? 1 ,因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? 所以 f ( x ) ? sin( x ? (Ⅱ)因为 f ( A) ?

? . 2

?
2

) ? cos x

………………………………………………… 6 分 ……… 7 分

? 3 3 ,所以 cos A ? ,因为角 A 为 ? ABC 的 内角,所以 A ? . 6 2 2 a b 又因为 a ? 1, b ? 2 , 所以由正弦定理,得 , ? sin A sin B
也就是 sin B ?

b sin A 1 2 , ? 2? ? a 2 2

……… 9 分

因为 b ? a ,所以 B ? 当B ?

?
4

或B ?

3? . 4
…… … 11 分 ………… 12 分

7? ; 6 4 12 4 ? 3? ? 3? 当B ? 时, C ? ? ? ? ? . 6 4 12 4 6 1 ? , 18. 解: (Ⅰ)抽样比为 60 10

?

时, C ? ? ?

?

?

?

?

则样本中喜爱的观从有 40×

1 =4 名;不喜爱的观众有 6﹣4=2 名. 10

……… 3 分

(Ⅱ)假设:观众性别与喜爱乐嘉无关,由已知数据可求得,

k ?
2

140 ? ? 60 ? 20 ? 40 ? 20 ? 80 ? 60 ?100 ? 40

2

?

224 ? 1.167 ? 5.024 192

∴ 不能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.…… 7 分 (Ⅲ)记喜爱乐嘉的 4 名男性观众为 a,b,c,d,不喜爱乐嘉的 2 名男性观众为 1,2;则基 本事件分别为: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,1) , (a,2) , (b,c) , (b,d) , (b,1) , (b,2) , (c,d) , (c,1) , (c,2) , (d,1) , (d,2) , (1,2) . 其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有 6 个, 故其概率为 P(A)=

6 ? 0.4 . 15

…………………………… … 12 分

19. 解: (Ⅰ)证明:∵ PD⊥ 底面 ABCD,∴ PD⊥ AD. 又由于 CP∥ AB,CP⊥ CB,AB=BC ∴ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AD⊥ CD, 又 PD∩CD=D,故 AD⊥ 底面 PCD, ∵ AD?平面 PAD,∴ 平面 PAD⊥ 平面 PCD ………………… 5 分 …………… 3 分

(Ⅱ)解:∵ AD∥ BC,BC?平面 PBC,AD?平面 PBC,∴ AD∥ 平面 PBC ∴ 点 A 到平面 PBC 的距离即为点 D 到平面 PBC 的距离 又∵ PD=DC,E 是 PC 的中点 ∴ PC⊥ DE …………… 6 分

由(Ⅰ)知有 AD⊥ 底面 PCD,∴ AD⊥ DE. 由题意得 AD//BC,故 BC⊥ DE. 又∵ PC∩BC=C ∴ DE⊥ 面 PBC. 分 ∴ DE ? 2, PC ? 2 2 又∵ AD⊥ 底面 PCD,∴ AD⊥ CP, ∵ AD∥ BC,∴ AD⊥ BC ∴ ………………………………… 9

S?PEB ?


1 1 ?1 ? S?PBC ? ? ? ? BC ? PC ? ? 2 2 2 ?2 ?
…………………………12 分

1 2 VA? PEB ? VD ? PEB ? ? DE ? S?PEB ? 3 3 a 20. 解: (1)由题知 f '( x ) ? ? 2bx x

? 函数 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切 2
………………………3 分

? f ?(1) ? a ? 2b ? 0 ? ?? 1 f (1) ? ?b ? ? ? ? 2

?a ? 1 ? 解得 ? 1 b? ? ? 2

1 2 1 1 ? x2 ? ? f ( x) ? ln x ? x , f ( x) ? ? x ? 2 x x 1 1 当 ? x ? e 时,令 f '( x) ? 0 得 ? x ? 1 ; e e 令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? e;

[来源:学科网]

?1 ? ? f ( x)在 ? ,1? 上单调递增,在[1,e]上单调递减, ?e ? 1 ? f ( x) max ? f (1) ? ? …………………………6 分 2 (2)当 b ? 0 时, f ( x) ? a ln x
若不等式 f ( x) ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? ? 都成立, 2 则 a ln x ? m ? x 对所有的 a ? ?0, ? , x ? 1, e2 ? ? 都成立, 2
2 即 m ? a ln x ? x 对所有的 a ? [0, ], x ? 1, e 都成立,

? 3? ? ?

?

? 3? ? ?
3 2

?

?

?

令 h(a) ? a ln x ? x ,则 h(a) 为一次函数, m ? h(a)min

……………………9 分

? x ? ?1, e2 ? ? ? ln x ? 0

3 ? h(a)在a ? [0, ] 上单调递增 2

? h(a)min ? h(0) ? ? x
? m ? ? x 对所有的 x ? 1, e 2 ? ? 都成立

?

?1 ? x ? e2 ,??e2 ? ? x ? ?1,
? m ? (? x)min ? ?e2 , 即实数m 的取值范围是 ? ??,-e2 ? ?
………12 分

2 (注:也可令 h( x) ? a ln x ? x, 则m ? h( x) 对所有的 x ? 1, e ? ? 都 成立,分类讨论得

?

3 m ? h( x)min ? 2a ? e2 对所有的 a ? [0, ] 都成立,?m ? (2a ? e2 )min ? ?e2 ,酌情给分) 2 9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? x2 y 2 ?c 1 21. 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意得 ? ? a b ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2
? ?

解得 a2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……………………4 分

(Ⅱ) 若存在直线 l 满足条件,不妨设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k (2k ? 1) x ? 16k 2 ? 16k ? 8 ? 0 .

因为直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , B , 设 A , B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , 所以 ? ? [?8k (2k ? 1)]2 ? 4(3 ? 4k 2 )(16k 2 ? 16k ? 8) ? 32(6k ? 3) ? 0. 所以 k ? ? 又 x1 ? x2 ?

1 . 2

……………………6 分

8k (2k ? 1) 16k 2 ? 16k ? 8 , ……………………7 分 , x1 x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ? 5 因为 PA ? PB ? PM ? PM ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? , 4
? y1 ? k ( x1 ? 2) ? 1, y2 ? k ( x2 ? 2) ? 1? y1 ? 1 ? k ( x1 ? 2), y2 ? 1 ? k ( x2 ? 2) ,

? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)(1 ? k 2 ) ?

5 . 4 5 . 4
……………………9 分

即 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4](1 ? k 2 ) ?

?16k 2 ? 16k ? 8 ? 8k (2k ? 1) 4 ? 4k 2 5 1 2 所以 ? ? 2 ? ? 4 (1 ? k ) ? ? ,解得 k ? ? . ? 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 4 2 ? 3 ? 4k ?

因为 A , B 为不同的两点,所以 k ?

1 . 2 1 x. 2
………………………12 分

于是存在直线 l 满足条件,其方程为 y ? 22. 解: (Ⅰ)? ?BAC 的平分线与圆交于点 D

??EDC ? ?DAC , ?DAC ? ?DAB

……………2 分
E C D F A B

? ? BD ? ??DAB ? ?DCB ? ?EDC ? ?DCB ? BD
? BC / / DE .
………………………………4 分 (Ⅱ)因此 D, E , C , F 四点共圆,所以 ?CFA ? ?CED , 由(Ⅰ)知 ?ACF ? ?CED 所以 ?CFA ? ?ACF . 设 ?DAC ? ?DAB ? x , ………………6 分

? ,所以 ?CBA ? ?BAC ? 2 x , 因为 ? AC ? BC
所以 ?CFA ? ?FBA ? ?FAB ? 3x , ………………………… ……8 分 在等腰三角形 ACF 中, ? ? ?CFA ? ?ACF ? ?CAF ? 7 x , 则x ?

?
7

,所以 ?BAC ? 2 x ?

2? . 7

……………………………………10 分

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 23. 解:解: (Ⅰ)直线 l 的参数方程: ? ? t 为参数? , ?y ? 2? 1 t ? ? 2

………………2 分

曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 3 ,可得曲线 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 9 …4 分 (Ⅱ)将直线的参数方程代入 x2 ? y 2 ? 9 ,得 t ? 2 ? 3 t ? 4 ? 0 ……7 分
2

?

?

设上述方程的两根为 t1 、 t1 ,则 t1 ? t2 ? ?4 由直线参数方程中参数 t 的几何意义可得 PM ? PN ? t1 ? t2 ? 4 .…………10 分

?1, x ? 2 24. 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ? x ? ? x ? 3 ? x ? 2 ? ? ?5 ? 2 x , 2 ? x ? 3 , ? ?1, x ? 3 ?
?x ? 3 ?x ? 2 ?2 ? x ? 3 1 ? ? f ? x ? ? ? 等价于 ? 或? 或? ? 1, ? 1 1 2 ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?5 ? 2 x ? ?
? 2
? 2

……… …2 分

[来源:学科网 ZXXK]

…………… …4 分

?

2

解得

11 11 ? ? x ? 3 或 x ? 3 ,? 不等式的解集为 ? x x ? ?. ? 4 4? ?

………………5 分

(Ⅱ)由不等式性质可知 f ? x ? ? x ? 3 ? x ? a ? ? x ? 3? ? ? x ? a ? ? a ? 3 ,………7 分

? 若存在实数 x ,使得不等式 f ? x ? ? a 成立,则 a ? 3 ? a ,
解得 a ?

……………9 分

3 3? ,? 实数 a 的取值范围是 ? ??, ? . ? 2 2? ?

………………… …10 分


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