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零点函数


板块二.函数的零点

典例分析
题型一:函数的零点
【例1】 若 f ( x) ? A.
1 2 x ?1 ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( x 1 B.- C.2 2

)
D.-2 【题型】选择

【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】 【答案】A

【难度】1 星

【例2】 若函数 y ? ax ? 1 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是(

).

A. a ? ?1
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】 【答案】B

B. a ? ?1

C. a ? 1
【难度】2 星

D. a ? 1
【题型】选择

【例3】 已知函数 f ( x) ? 3mx ? 4 ,若在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f ( x0) ?0 ,则实数 m 的取值范

围是 . 【考点】函数的零点 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 ∵在 [?2,0] 上存在 x0 ,使 f ( x0 ) ? 0 , 则 f (?2) f (0) ? 0 ,
2 ∴ (?6m ? 4) ? (?4) ? 0 ,解得 m ? ? . 3

2 所以, 实数 m 的取值范围是 (??, ? ] . 3 点评:根的分布问题,实质就是函数零点所在区间的讨论,需要逆用零点存在性 定理,转化得到有关参数的不等式 2 【答案】 (??, ? ] 3

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【例4】 函数 f ( x) ? 2x ? 3 的零点所在区间为(

) C. (1,2) D. (2,3)

A. ( ? 1,0)
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】

B. (0,1)
【难度】2 星

【题型】选择

【答案】C

【例5】 函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点一定位于区间(

). D. (4, 5)

A. (1, 2)

B. (2 , 3)

C. (3, 4)

【考点】函数的零点 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 易知函数 f ( x) 在定义域 (0, ??) 内是增函数.

∵ f (1) ? ln1 ? 2 ? 6 ? ?4 ? 0 , f (2) ? ln 2 ? 4 ? 6 ? ln 2 ? 2 ? 0 ,
f (3) ? ln 3 ? 6 ? 6 ? ln 3 ? 0 .

∴ f (2) f (3) ? 0 ,即函数 f ( x) 的零点在区间(2,3). 所以选 B. 【答案】B
【例6】 函数 f ? x ? ? log2 x ? 2 x ? 1 的零点必落在区间
1 1? A. ? ? , ? ?8 4? 1 1? B. ? ? , ? ? 4 2?


1 ? C. ? ? ,1? ?2 ?

) D.(1,2)

【考点】函数的零点 【难度】2 星 【关键词】2009 年,泉州市,高考模拟 【解析】 【答案】 C

【题型】选择

【例7】 函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为





.A. (-1,0)
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】 【答案】B

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (1,e)
【题型】选择

【难度】2 星

第 2 页 共 28 页

【例8】 若 函 数 f ? x ? ? a x ? x ? a ? a ? 0且a ? 1? 有 两 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围

是 . 【考点】函数的零点 【难度】2 星 【关键词】2009 年,山东文,高考

【题型】填空

【解析】 设函数 y ? a x (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数
x f ? x ? ? a x ? x ? a ? a ? 0且a ? 1? 有两个零点 , 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函

数 y ? x ? a 有两个交点, 由图象可知当 0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点 ,不符合 , 当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x (a ? 1) 的图象过点(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点(0, a) 一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取值范围是 {a | a ? 1} .
【答案】 {a | a ? 1}

【例9】 利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间:

(1) f ( x) ? ? x3 ? 2x ? 1 ;
【考点】函数的零点 【关键词】无

(2) f ( x) ? e1? x ? 3x ? 2 .
【题型】解答

【难度】2 星

【解析】 (1)易知函数 f ( x) ? ? x3 ? 2x ? 1 在定义域 R 上是减函数.

用计算器或计算机作出 x, f ( x) 的对应值表或图象.
x f ( x)

-3 34

-2 13

-1 4

0 1

1 -2

2 -11

3 -32

) () 1 ( 0f 由列表或图象可知,f (0) ? 0 ,f (1) ? 0 , 即 f0

? , 说明函数 f ( x) 在区间 (0,1)

内有零点,且仅有一个. 所以函数 f ( x) 的零点所在大致区间为 (0,1) . (2)易知函数 f ( x) ? e1? x ? 3x ? 2 在定义域 R 上是增函数. 用图形计算器或计算机作出图象. 由图象可知, f (?2) ? 0 , f (?1) ? 0 ,即 f (?2) f (?1) ? 0 ,说明函数 f ( x) 在区间
(?2, ?1) 内有零点,且仅有一个. 所以函数 f ( x) 的零点所在大致区间为 (?2, ?1) .

【答案】 (1) (0,1) (2) (?2, ?1)

【例10】 已知函数 f ( x) 图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.
x

-2 -3.51

-1.5 1.02

-1 2.37

-0.5 1.56

0 -0.38

0.5 1.23

1 2.77

1.5 3.45

2 4.89

f ? x?

【考点】函数的零点 【关键词】无

【难度】2 星

【题型】解答

第 3 页 共 28 页

【解析】 【答案】 (-2,-1.5) 、 (-0.5,0) 、 (0,0.5)内有零点 【例11】 画出函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x ? 1 的图象, 判断函数在以下区间(-1.5, -1), (0, 0.5), (0.8,

1.5)内有无零点,并判断零点的个数.
【考点】函数的零点 【难度】2 星 【关键词】无 【解析】 通过作出 x 、 f ? x ? 的对应值表(如下).
x

【题型】解答

-1.5 -1.25

-1 2

-0.5 2.25

0 1

0.5 -0.25

1 0

1.5 3.25

f ? x?

所以图象为

由上表和上图可知, f ? ?1.5? ? 0 , f ? ?1? ? 0 ,即 f ? ?1.5? ? f ? ? 1? ? 0,说明这个 函数在区间 ? ?1.5,? 1 ? 内有零点 . 同样,它在区间 (0 , 0.5) 内也有零点 . 另外,
f ?1? ? 0 ,所以 1 也是它的零点.由于函数 f ? x ? 在定义域 ? ??, ?1.5? 和(1, ?? )内

是增函数,所以它共有 3 个零点.. 【答案】共有 3 个零点
【例12】 求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点,并画出它的图象. 【考点】函数的零点 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】解答

【解析】 因为 y ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 ? x2 ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 1)

所以函数的零点为-1,1,2 3 个零点把 x 轴分成 4 个区间:(-∞,-1)、(-1,1)、(1,2)、(2,+∞). 在这四个区间内,取 x 的一些值,以及零点,列出这个函数的对应值表:
x

-1.5 -4.38

-1 0

-0.5 1.88

0 2

0.5 1.13

1 2

1.5 -0.63

2 0

2.5 2.63

y

在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示.

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【答案】零点为-1,1,2

【例13】 函数 y ? f ( x) 的图象是在 R 上连续不断的曲线, 且 f (1) f (2) ? 0 , 则 y ? f ( x) 在区

间 [1, 2] 上(

). B. 有 2 个零点 D. 零点个数为 k, k ? N
【难度】3 星 【题型】选择

A. 没有零点 C. 零点个数为偶数
【考点】函数的零点 【关键词】无 【解析】

【答案】D
【例14】 已知函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在 [?2,2] 的图象如下所示:

第 5 页 共 28 页

给出下列四个命题: ①方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 ③方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确的命题是 ②方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 ④方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根 . (将所有正确的命题序号填在横线上).
【题型】填空

【考点】函数的零点 【难度】3 星 【关键词】2009 年,北京市石景山,高考一模 【解析】 【答案】①③④

【例15】 若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则
x

f ? x ? 可以是
A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? ex ?1 B. f ? x ? ? ( x ?1)2 D. f ? x ? ? ln ? x ? ? 2
? ? ? 1?

【考点】函数的零点 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】2009 年,福建文,高考 1 2 x 【解析】 f ? x ? ? 4x ?1 的零点为 x ? , f ? x ? ? ( x ?1) 的零点为 x ? 1 , f ? x ? ? e ?1 的零 4 1? 3 ? 点为 x ? 0 , f ? x ? ? ln ? x ? ? 的零点为 x ? . 现在我们来估算 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 2? 2 ?

的零点,因为 g ? 0 ? ? ?1, g ? ? ? 1 ,所以 g(x)的零点 x ? (0, 2

?1? ? ?

1 ),又函数 f ? x ? 的零点 2

与 g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有 f ? x ? ? 4x ?1 的零 点适合,故选 A。
【答案】A

题型二:二次函数的零点与方程
函数在方程中的应用主要是构造函数,确定方程的实根的个数、讨论方程的实根 的存在性和唯一性问题以及讨论方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数, 利用数形结合,观察函数图象的交点等等.
【例16】 函数 y ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 的零点个数(

). D. 不能确定
【题型】选择

A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个
【难度】1 星

【考点】二次函数的零点与方程

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【关键词】无 【解析】 【答案】C 【例17】 函数 f ( x) ? x2 ? 5x ? 6 的零点是 【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【解析】 【答案】2 或 3 【难度】1 星

.
【题型】填空

【例18】 方程 x2 ? ? m ? 2? x ? 5 ? m ? 0 的两根都大于 2,求实数 a 的取值范围 【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】解答

【解析】 令 f ? x ? ? x2 ? ? m ? 2? x ? 5 ? m ,要使 f ? x ? ? 0 的两根都大于 2,则应满足
? ?Δ ? (m ? 2) 2 ? 4(5 ? m) ≥ 0 ?m2 ? 16 ≥ 0 ? ? 解得 ?4 ? 2(m ? 2) ? 5 ? m ? 0 ? f (2) ? 0 ?2 ? m ?m ? ?2 ? ? ?2 ? 2

?m ? 4或m ? ?4 ? ∴ ?m ? ?5 即 ?5 ? m ? ? 4 . ?m ? ?2 ?

【答案】 ?5 ? m ? ?4

【例19】 若方程 (m ? 1) x2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 0 的根都为正数,求 m 的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】解答
1 ? 0 ,满足题意 4

【解析】 (1)当此方程为一次方程时,即 m ? 1 时,方程的根为 x ?

? ?? ? 4(m ? 1)2 ? 4m(m ? 1) ? 0 ? ? 2(m ? 1) (2)当 m≠1 时,依题意有 ?? ,解得 0< m <1 ?0 ? m ?1 ? ?m ?0 ? ?m ?1

综上,m 的取值范围是(0,1]. 【答案】(0,1].

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【例20】 若一元二次方程 kx 2 ? 3kx ? k ? 3 ? 0 的两根都是负数,求 k 的取值范围. 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2 星 【关键词】无 ? ?? ? (3k ) 2 ? 4 k ( k ? 3) ? 0 ? ? 3k 【解析】 由题意,k≠0,∴ ?? ? 0 ? k ?k ? 3 ?0 ? ? k 【题型】解答

解得 k ? ?
【答案】 k ? ?

12 或 k>3. 5

12 或 k>3 5

【例21】 关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 x1 、x 2 满足 x1 ?

3 则 ? x2 , 2

实数 m 的取值范围
【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无


【难度】2 星 【题型】填空

3 9 【解析】 设 f ( x) ? x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ,则 f ( ) ? ? 3(m ? 4) ? m2 ? 16 ? 0 , 2 16 1 7 即: 4m2 ? 12m ? 7 ? 0 ,解得: ? ? m ? . 2 2 1 7 【答案】 (? , ) 2 2

【例22】 已知关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 x1 和 x 2 ,满足 x2 ?

3 ? x1 , 2

求实数 m 的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 本题根据根的判别式和韦达定理也可以求出,但比较麻烦,现在利用函数以及函

数的图象来解,非常容易. 令 f ( x) ? x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 要使方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根满足 x2 ?
3 ∵ f ( x) 的开口向上,∴只需 f ( ) ? 0 即可 2 3 3 3 即: f ( ) ? ( )2 ? (2m ? 8) × ? m2 ? 16 ? 0 2 2 2 1 7 即 4m2 ? 12m ? 7 ? 0 ,解得 ? ? m ? , 2 2 3 ? x1 2

即 m 的取值范围为 ? m | ? ? m ? ?

? ?

1 2

7? 2?

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1 7 【答案】 (? , ) 2 2

【例23】 已知二次方程 (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ? 0 的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求 m 的取值范

围.
【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】解答

【解析】 设 f ( x) = (m ? 2) x2 ? 3mx ? 1 ,则 f ( x) =0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).

所以 ?

? f (?1) ? f (0) ? 0 ?(?2m ? 1) ? 1 ? 0 ,即 ? , ?(10m ? 7) ? 1 ? 0 ? f (2) ? f (0) ? 0



1 7 ? ?m? . 2 10

1 7 【答案】 ? ? m ? 2 10

【例24】 已知 m∈R,函数 f ? x ? ? m x2 ? 1 ? x ? a 恒有零点,求实数 a 的取值范围。 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】 (1)当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ? a ? 0 解得 x ? a 恒有解,此时 a ? R ; .

?

?

(2)当 m ? 0 时,∵ f ? x ? ? 0 ,即 mx 2 ? x ? m ? a ? 0 恒有解, ∴ ?1 ? 1 ? 4m2 ? 4am ? 0 恒成立, 令 g ? m? ? 4m2 ? 4am ? 1 ∵ g ? m ? ? 0 恒成立, ∴ ?? ???? 2 ??? ? ? ,解得 ?1 ? a ? 1 , 综上所述知,当 m ? 0 时, a ? R ; 当 m ? 0 时, ?1 ? a ? 1 . 【答案】当 m ? 0 时, a ? R ; 当 m ? 0 时, ?1 ? a ? 1
1 13 【例25】 若函数 f ( x) ? ? x2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求区间[a, 2 2

b].
【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】解答

【解析】 f ? x ? 的最大值只能是 f (0) ?

其中之一,令 ymin

13 , 或 f(a), 或 f(b), f(x)的最小值只能是 f ? a ? 或 f ? b ? 2 ? 2a ,且 ymax ? 2b ,即可得关于 a、b 的方程组,解出 a、b 的
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值. 当 a 值由负值增大到正值时,区间[a,b]在 x 轴上自左向右移动,因此在求 f ? x ? 的最值时,须按区间[a,b]的位置分类求解. 13 1 13 1 13 f ? x ? 图象顶点坐标为 (0, ) , f (a) ? ? a2 ? , f (b) ? ? b2 ? . 2 2 2 2 2 (1)当 a<b<0 时,
? 1 2 13 ? a ? ? 2a, ? ? 2 由 f ? x ? 在[a,b]上单调递增得,f(a)=2a,且 f(b)=2b,即 ? 2 1 13 ? ? b 2 ? ? 2b. ? ? 2 2

1 13 于是 a、b 是二次方程 x2 ? 2 x ? ? 0 的两个负根,但此方程两根异号,故区间 2 2 [a,b]不存在 (2)当 a ? 0 ? b 时,

f ? x ? 在[a,0]上单调递增,在[0,b]上单调递减,因而 f ? x ? 在 x ? 0 处取得最大

值,
13 13 ? 即b ? ? f (0) ? ? 2b 在区间端点 x ? a 或 x ? b 处取得最小值,即 ? 2 4 ? ? f (a)或f (b) ? 2a ? 0.
13 1 13 13 39 则 f (b) ? f ( ) ? ? ( )2 ? ? ? 2a , 4 2 14 2 32 1 13 13 ∴ f (a) ? ? a2 ? ? 2a ,解得 a ? ?2 ? 17 ,于是得区间 [?2 ? 17, ] . 2 2 4 (3)当 b ? a ≥ 0 时
? 1 2 13 ? a ? ? 2b, ? ? 2 2 由 f ? x ? 在[a,b]上单调递减得, f ? a ? ? 2b ,且 f ?b ? ? 2a ,即 ? ? ? 1 b 2 ? 13 ? 2a. ? ? 2 2

解得 ?

?a ? 1 ?a ? 3 或? (舍去) ,即得区间[1,3]. ?b ? 3 ?b ? 1

综上所述,所求区间为[1,3]或 [?2 ? 17,
【答案】[1,3]或 [?2 ? 17,
13 ] 4

13 ] 4

【例26】 已知关于 x 的二次方程 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 。

(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的 范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 【考点】二次函数的零点与方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 0? 和 【解析】 (1) 条件说明抛物线 f ? x? ? x2 ? 2 mx ? 2 m ? 1 与 x 轴的交点分别在区间 ? ?1,

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1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? ? f (?1) ? 2 ? 0, ? m ? R, ? ? ?? ?1,2? 内,画出示意图,得 ? 1 ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f (2) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?

5 1 ∴? ?m?? . 6 2

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? (2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组 ? ? ? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1
1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2, ? ??1 ? m ? 0.

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x ? ?m 应在区间(0,1)内通过)
1 得到 ? ? m ? 1 ? 2 2 5 1 【答案】(1) ? ? m ? ? 6 2 1 (2) ? ? m ? 1 ? 2 2

【例27】 已知 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ? 1 :

(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数两个零点在原点左右两侧,求实数 m 的取值范围.
【考点】二次函数的零点与方程 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】无 ?2(m ? 1) ? 0 【解析】 (1) ? ,解得 m ? 1 且 m ? ?1 . 2 ?(4m) ? 4 ? 2(m ? 1)(2m ? 1) ? 0

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(2) ?

?2(m ? 1) ? 0 ?2(m ? 1) ? 0 或? . ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0

1 解得 ?1 ? m ? . 2

【答案】 ?1 ? m ?

1 2

【例28】 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数, 且 a ? 0) 满足条件:f ( x ? 1) ? f (3 ? x) ,

且方程 f ( x) ? 2 x 有等根
(1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n (m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和 [4m,4n] ,如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由 【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】解答

【解析】 (1)∵ 方程 ax 2 ? bx ? 2 x 有等根,∴? ? (b ? 2)2 ? 0 ,得 b=2 .

由 f ( x ? 1) ? f (3 ? x) 知此函数图象的对称轴方程为 x ? ? 故 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x . 4n ? 1,即 n ? (2) f ( x) ? ?( x ? 1)2 ? 1 ? 1 ,∴ 而抛物线 y ? ? x2 ? 2x 的对称轴为 x ? 1 数 若满足题设条件的 m,n 存在,则 ?
2 ? ??m ? 2m ? 4m ?m ? 0或m ? ?2 即? 2 ?? ??n ? 2n ? 4n ?n ? 0或n ? ?2 ?

b ? 1 ,得 a ? ?1 , 2a

1 4

∴n ?

1 时, f ( x) 在[m,n]上为增函 4

? f ( m) ? 4 m , ? f ( n) ? 4n

又m?n?

1 , 4

∴m ? ?2, n ? 0 ,这时定义域为[–2,0] ,值域为[–8,0]

由以上知满足条件的 m、n 存在, m ? ?2, n ? 0 .
【答案】 (1) f ( x) ? ? x2 ? 2 x (2) m ? ?2, n ? 0

【例29】 若关于 x 的方程 lg( x2 ? 20 x) ? lg(8x ? 6a ? 3) ? 0 有唯一的实根,求实数 a 的取值范

围.
【考点】二次函数的零点与方程 【关键词】无 【解析】 法一 【难度】3 星 【题型】解答

2 ? ……? ? ? x ? 20 x ? 0 ? x ? ?20或x ? 0 原方程等价于 ? 2 即? 2 ? ? x ? 12 x ? 6a ? 3 ? 0……? ? x ? 20 x ? 8x ? 6a ? 3 ?

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y
-6 O

-20

x

令 f ( x) = x2 +12 x +6 a +3 (1)若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相切, 有Δ=144-4(6 a +3)=0 即 a =
11 . 2

y
163 -20 -6 O 3

x

11 11 代入式 ? 有 x =-6 不满足式 ? ,∴ a ≠ . 2 2 (2)若抛物线 y = f ( x) 与 x 轴相交,

将a=

注意到其对称轴为 x =-6, 故交点的横坐标有且仅有一个满足式 ? 的充要条件是:
? f (?20) ? 0 ? ? f (0) ? 0

163 1 ≤a ? ? . 6 2 163 1 ∴当 ? ≤ a ? ? 时原方程有唯一解. 6 2 法二

解得 ?

原方程等价于 x2 ? 20x ? 8x ? 6a ? 3? x ? ?20或x ? 0? ③ 问题转化为:求实数 a 的取值范围, 使直线 y ? 8x ? 6a ? 3 与抛物线 y ? x2 ? 20x ? x ? ?20或x ? 0? 有且只有一个公共点. 虽然两个函数图象都明确,但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明 显, 可将③变形为 x2 +12 x +3=-6 a ( x <-20 或 x >0), 再在同一坐标系中分别也作出抛物线 y = x2 +12 x +3 和直线 y =-6 a ,
163 1 ? a ? ? 时, 6 2 直线 y =-6 a 与抛物线有且只有一个公共点.

如图,显然当 3<-6 a ≤163, ?

【答案】 ?

163 1 ≤a ? ? 6 2

题型三:函数的图像与方程
第 13 页 共 28 页

【例30】 方程 lg x ? x ? 0 在下列的哪个区间内有实数解(

). D.

? 0.1? A. ? ?10 ,
【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【解析】

1? B. ? 0.1,
【难度】1 星

10? C. ?1,
【题型】选择

? ? ?,0?

【答案】B
【例31】 lg x ?

1 ? 0 有解的区域是 x
B. (1, 10]



) C. (10, 100]
【题型】选择

A. (0, 1]

D. (100, ? ?)

【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【解析】 【答案】B

【难度】1 星

【例32】 若函数 f ( x) ? 2?| x ?1 | ? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(



A. 0 ? m ? 1

B. 0 ? m ? 1

C. m ? 1或m ? 0

D. m ? 1或m ? 0

【考点】函数的图象与方程 【关键词】无

【难度】1 星
x ?1 |

【题型】选择

1 【解析】 令 f ( x) ? 0 ,得: m ? ( )| 2

1 ,∵ | x ? 1|? 0 ,∴ 0 ? ( )| x ?1 | ? 1 ,即 0 ? m ? 1 . 2

【答案】A

【例33】 函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x ? 1 零点的个数为 【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【解析】 【答案】3 【难度】2 星

.
【题型】选择

【例34】 当 0 ? x ? 1 时,函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是


A. a ?


1 2

B. a ? 1

1 C. a ? 或a ? 1 2

D.

1 ? a ?1 2

【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【解析】

【难度】2 星

【题型】选择

【答案】D
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【例35】 关于 x 的方程 lg(ax ? 1) ? lg( x ? 3) ? 1 有解,则 a 的取值范围是 【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】选择



?ax ? 1 ? 10( x ? 3) ?(10 ? a) x ? 29 ? ?? 【解析】 显然有 x ? 3 ,原方程可化为 ?ax ? 1 ? 0 ?x ? 3 ?x ? 3 ? 0 ?

? 29 ?3 1 ? ? ? a ? 10 . ∴ ?10 ? a 3 ? ?10 ? a ? 0
1 【答案】 ? a ? 10 3

【例36】 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如下,则(



A. b ? (??, C. b ? (1, 2)

0)

B. b ? (0, 1) D. b ? (2, ??)

【考点】函数的图象与方程 【关键词】无

【难度】2 星

【题型】选择

【解析】 f ( x) ? ax( x ? 1)( x ? 2) ? ax3 ? 3ax2 ? 2ax , b ? ?2 a .

当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,∴ a ? 0 ,故 b ? 0 , 答案为 A. 【答案】A.

【例37】 x0 是方程 a x ? loga x (0 ? a ? 1) 的解,则 x0 , 1, a 这三个数的大小关系是 【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】选择



【解析】 在同一坐标系中作出函数 y ? a x 和 y ? log a x 的图象,

第 15 页 共 28 页

可以看出: x0 ? 1 , log a x0 ? 1 ,∴x0 ? a ,∴a ? x0 ? 1
【答案】 a ? x0 ? 1 【例38】 函数 y ? ( x2 ? 2 x)2 ? 9 的图象与 x 轴交点的个数是( A.1 B.2 C.3 【难度】2 星 D.4 【题型】选择



【考点】函数的图象与方程 【关键词】无

【解析】 令 y ? 0 , ( x2 ? 2x ? 3)( x2 ? 2x ? 3) ? 0

∵x2 ? 2 x ? 3 ? 0

∴x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3

即方程 f ( x) ? 0 只有两个实数根 【答案】B
1 2a ? 3 【例39】 若关于 x 的方程 ( ) x ? 有负根,则实数 a 的取值范围是 3 5?a 【考点】函数的图象与方程 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 2a ? 3 3a ? 2 2 【解析】 由 ? 1 得: ? 0 ,解得: ? a ? 5 . 5?a a?5 3

【答案】

2 ?a?5 3

【例40】 关于 x 的不等式 2 ? 32 x ? 3x ? a 2 ? a ? 3 ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时恒成立,则实数 a 的取值

范围为 【考点】函数的图象与方程 【难度】2 星 【关键词】无 【解析】 设 t ? 3x ,则 t∈ [1,3] ,

【题型】选择

原不等式可化为: a2 ? a ? 3 ? ?2t 2 ? t , t ?[1, 3] , 等价于 a 2 ? a ? 3 大于 f (t ) ? ?2t 2 ? t , t ?[1, 3] 的最大值 ∵ f (t ) 在[1,3]上为减函数,∴[ f (t )]max ? f (1) ? ?1 ∴ a 2 ? a ? 3 ? ?1 ,解得: a ? 2或a ? ?1 . 【答案】 (??, ?1) (2, ??)
【例41】 直线 y ? 2k 与曲线 9k 2 x2 ? y 2 ? 18k 2 | x | (k ? R, 且k ? 0) 的公共点的个数为( A.1 B.2 C.3
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D.4

【考点】函数的图象与方程 【关键词】无

【难度】2 星

【题型】选择

【解析】 将 y ? 2k 代入 9k 2 x2 ? y 2 ? 18k 2 | x | 得: 9k 2 x2 ? 4k 2 ? 18k 2 | x |

? 9 | x |2 ?18 | x | ?4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,故关于 x 的方程有四解,

所以交点有 4 个,答案 D 【答案】D
【例42】 若方程 2ax 2 ? 1 ? 0 在 (0,1) 内恰有一解,则实数 a 的取值范围是 【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【难度】2 星 【题型】选择

.

【解析】 设函数 f ( x) ? 2ax2 ? 1 ,由题意可知,函数 f ( x) 在 (0,1) 内恰有一个零点.

∴ f (0) f (1) ? ?1 ? (2a ? 1) ? 0 , 解得 a ?
【答案】 a ?
1 2

1 . 2

【例43】 试判断方程 2? x ? x 2 ? 2 的实数解的个数是多少 【考点】函数的图象与方程 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 本题是一个超越方程, 对这类方程用解方程的办法无法求出方程的解.可以构造函

数,直接用数形结合看图象来得出结论 令 y ? 2? x , y ? ? x2 ? 2 ,在同一坐标系内画出两个函数的图象,如图: 可以很明显的看到图象有两个交点.所以原方程的实数解的个数为 2 个.

【答案】2 【例44】 试判断方程 | x2 ? 9 |? a ? 2 实根的个数. 【考点】函数的图象与方程 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 本题利用先去根号,在讨论一元二次方程的根的个数的方法也能做,但步骤较繁

复,而且容易出错,不如利用函数的图象简单明了.

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令 y ?| x2 ? 9 | , y ? a ? 2 ,如下图所示在同一直角坐标系内画出两函数的图象: 由图可知: 当 a ? 2 ? 9 ,即 a ? 7 时,函数有两个交点,即方程有 2 个实根; 当 a ? 2 ? 9 ,即 a ? 7 时,函数有 3 个交点,即方程有 3 个实根; 当 0 ? a ? 2 ? 9 ,即 ?2 ? a ? 7 时,函数有 4 个交点,即方程有 4 个实根; 当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,函数有 2 个交点,即方程有 2 个实根; 当 a ? 2 ? 0 ,即 a ? ?2 时,函数没有交点,即方程没有实数根; 综上所述: 当 ?2 ? a ? 7 时, 方程有 4 个实根; 当 a ? 7 时, 方程有 3 个实根; 当a ? 7 或 a ? ?2 时,方程有 2 个实根;当 a ? ?2 时,方程没有实根. 【答案】当 ?2 ? a ? 7 时,方程有 4 个实根;当 a ? 7 时,方程有 3 个实根;当 a ? 7 或 a ? ?2 时,方程有 2 个实根;当 a ? ?2 时,方程没有实根.
【例45】 若 a 为方程 2 x ? x ? 0 的解, b 为不等式 log2 x ? 1 的解, c 为方程 log 1 x ? x 的解,
2

则 a 、 b 、 c 从小到大依次为



【考点】函数的图象与方程 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 【解析】 a ? 0 , b ? 2 ,在同一坐标系内作出函数 y ? log 1 x 和函数 y ? x 的图象,可以看出
2

0 ? c ? 1 ,答案为 a ? c ? b

【答案】 a ? c ? b 【例46】 设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log 1 x ? 2 ? x , log2 ( x ? 2) ? ? x , 2 x ? x ? 2 的实数根,试
2

比较 x1 , x2 , x3 的大小 .
【考点】函数的图象与方程 【难度】2 星 【关键词】无 【解析】 在同一坐标内作出函数 y ? x ? 2 , 【题型】解答

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y ? log 1 x
2

, y ? ?2 x 的图象

从图中可以看出, 0 ? x3 ? x1 又 x2 ? 0 ,故 x2 ? x3 ? x1
【答案】 x2 ? x3 ? x1

【例47】 求证方程 3x ?

2? x 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1

【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【解析】 设函数 f ( x) ? 3x ?

【难度】2 星

【题型】选择

2? x . 由函数的单调性定义,可以证出函数 f ( x) 在 (?1, ??) 是 x ?1

减函数.
1 5 而 f (0) ? 30 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (1) ? 31 ? ? ? 0 ,即 f (0) f (1) ? 0 ,说明函数 f ( x) 在 2 2 2? x 区间 (0,1) 内有零点,且只有一个. 所以方程 3x ? 在 (0,1) 内必有一个实数根. x ?1 点评:等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想,它是将不熟悉的问 题转化为熟悉的问题,每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化. 此题可变 2? x 式为研究方程 3x ? 的实根个数. x ?1 2? x 【答案】设函数 f ( x) ? 3x ? . 由函数的单调性定义,可以证出函数 f ( x) 在 (?1, ??) 是 x ?1 减函数. 1 5 而 f (0) ? 30 ? 2 ? ?1 ? 0 , f (1) ? 31 ? ? ? 0 ,即 f (0) f (1) ? 0 ,说明函数 f ( x) 在 2 2 2? x 区间 (0,1) 内有零点,且只有一个. 所以方程 3x ? 在 (0,1) 内必有一个实数根 x ?1

【例48】 三个同学对问题“关于 x 的不等式 x2 +25+| x 3 -5 x2 | ? ax 在[1,12]上恒成立,求

实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说:“把不等式变形为左边含变量 x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”. 丙说:“把不等式两边看成关于 x 的函数,作出函数图像”. 参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即 a 的取值范围 是 .
【考点】函数的图象与方程 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】填空
25 ? | x2 ? 5x |? a x

【解析】 ∵ 1 ? x ? 12 ,∴ 原不等式可化为: x ?

当 x ? 5 时, x ?

25 和 | x2 ? 5x | 同时取到最小值 5,故 a ? 10 . x
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【答案】 a ? 10 【例49】 已知函数 y ?
2 ? 1 的图象与直线 y ? mx 只有一个公共点,求这个公共点的坐 x ?1

标.
【考点】函数的图象与方程 【难度】3 星 【关键词】无 2 【解析】 由 ? 1 ? mx ,得 mx2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0, x ?1 【题型】选择

因为两个图象只有一个公共点,所以 ? ? (m ? 1)2 ? 4m ? 0 ,解得: m ? ?3 ? 2 2. 当 m ? ?3 ? 2 2 时, x ?
m ?1 m ?1 ? ? 2 ? 1 , y ? mx ? ? 2 ?1; 2m 2

当 m ? ?3 ? 2 2 时, x ? 2 ? 1, y ? ? 2 ? 1. 当 m ? ?3 ? 2 2 时,公共点的坐标是 (? 2 ? 1, 2 ? 1) ; 当 m ? ?3 ? 2 2 时,公共点的坐标是 ( 2 ? 1, ? 2 ? 1) .
【答案】当 m ? ?3 ? 2 2 时,公共点的坐标是 (? 2 ? 1, 2 ? 1) ;

当 m ? ?3 ? 2 2 时,公共点的坐标是 ( 2 ? 1, ? 2 ? 1) .

题型四:函数零点的应用
【例50】 若关于 x 的方程 22 x ? 2 x a ? a ? 1 ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】选择

【解析】 设 t ? 2x (t ? 0) ,则原方程可变为 t 2 ? at ? a ? 1 ? 0 原方程有实根,即方程① 有正根. 令 f (t ) ? t 2 ? at ? a ? 1



?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? (1)方程① 有两个正实根 t1 , t2 ,则 ?t1 ? t2 ? ?a ? 0 解得 ?t ? t ? a ? 1 ? 0 ?1 2

; ?1 ?a ?2 ?2 2

(2)方程① 有一个正实根和一个负实根,则 f (0) ? a ? 1 ? 0 ,解得: a ? ?1 . 综上: a ? 2 ? 2 2 【答案】 a ? 2 ? 2 2 【例51】 已知关于 x 的方程 32 x ?1 ? (m ? 1)(3x ?1 ? 1) ? (m ? 3) ? 3x ? 0 有两个不同的实根,求 m 的

取值范围.
【考点】函数的零点的应用 【难度】3 星
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【题型】解答

【关键词】无 【解析】 设 3x ? t (t ? 0) ,原方程化为: 3t 2 ? (m ? 1)(3t ? 1) ? (m ? 3)t ? 0 ,即

① 3t 2 ? 2m t? m? 1 ? ………………………… 0
? 2m ?? 3 ? 0 ? ?1 ? m ?0 原问题等价于方程① 有两个不同的正根, ? ? 3 ?? ? 4m2 ? 12(1 ? m) ? 0 ? ?

解得: m ? 【答案】 m ?

?3 ? 21 . 2

?3 ? 21 2

【例52】 已 知 f ( t ) ? l o 2 g t,t∈[

2 , 8] , 对 于 f (t ) 值 域 内 的 所 有 实 数 m , 不 等 式

x 2 ? mx ? 4 ? 2m ? 4 x 恒成立,求 x 的取值范围.

【考点】函数的零点的应用 【关键词】无

【难度】3 星

【题型】解答

【解析】 ∵ t∈ [ 2 ,8],∴ f (t ) ∈ [

1 1 ,3], ∴m ∈ [ ,3] . 2 2

原题转化为: m( x ? 2) ? ( x ? 2)2 >0 恒成立, 当 x ? 2 时,不等式不成立. ∴x ? 2 ,令 g (m) ? m( x ? 2) ? ( x ? 2)2 ,m∈ [
1 ,3], 2

x?2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 0 ?g( ) ? 2 则: ? 2 ,解得: x ? 2或x ? ?1 . ? g (3) ? 3( x ? 2) ? ( x ? 2) 2 ? 0 ?

∴x 的取值范围为 (??, ?1) (2, ??) .
【答案】 (??, ?1)
(2, ??)

2 ? 2 ax? 4 (0? a ? 3), 【例53】 已知函数 f ( x) ? ax 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a, 则 f ( x1 ) 与 f ( x2 )

的大小关系为
【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】选择

【解析】 f ( x) ? a( x ? 1)2 ? 4 ? a 其图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x ? ?1 ,

∵ x1 ? x2 ? (1 ? a) ? (?2, 1) , x1 与 x 2 的中点在(-1,

1 )之间, x1 ? x2 2

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∴ x 2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,答案为 A.
【答案】 f ( x1 ) ? f ( x2 )

【例54】 若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零,

则 x 的取

值范围是
【考点】函数的零点的应用 【关键词】无


【难度】3 星 【题型】选择

【解析】 设 g (a) ? ( x ? 2)a ? x2 ? 4x ? 4 ,显然, x ? 2
2 ? ? x ? 3或x ? 2 ? g (?1) ? 2 ? x ? x ? 4 x ? 4 ? 0 则? ,即 ? ,解得: x ? 3或x ? 1 . 2 ? ? x ? 2或x ? 1 ? g (1) ? x ? 2 ? x ? 4 x ? 4 ? 0

【答案】 (??, 1)

(3, ??)

【例55】 设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x ) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实

数根,则这 6 个实根的和为( ) A.0 B.9 C.12

D.18

【考点】函数的零点的应用 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由 f (3 ? x) ? f (3 ? x) 知 f ( x) 的图象有对称轴 x ? 3 ,方程 f ( x) ? 0 的 6 个根在 x 轴

上对应的点关于直线 x ? 3 对称,依次设为 3 ? t1 , 3 ? t2 ,3 ? t3 ,3 ? t1 ,3 ? t2 ,3 ? t3 ,故 6 个根的和为 18,答案为 D.
【答案】
5b ? c ?1, ( a 、 b 、 c ∈R) ,则有( 5a A. b2 ? 4ac B. b2 ? 4ac C. b2 ? 4ac

【例56】 已知


D. b2 ? 4ac

【考点】函数的零点的应用 【关键词】无

【难度】3 星

【题型】选择

【解析】 提示一:依题设有 a ? 5 ? b ? 5 ? c ? 0 ∴ 5 是实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的一个实根; ∴ △ = b2 ? 4ac ≥0 ∴b2 ? 4ac ,答案为 B. 提示二: 去分母, 移项, 两边平方得:5b2 ? 25a 2 ? 10ac ? c 2 ? 10ac + 2 ? 5a ? c =20 ac . ∴b2 ? 4ac ,答案为 B. 【答案】B 【例57】 已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) ,且 x ∈[-1,1]时, f ( x) ?| x | ,则

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y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是

(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】函数的零点的应用 【难度】3 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 由 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) 知 f ( x ? 2) ? f ( x) 故 f ( x) 是周期为 2 的函数,在同一坐标系中

作出 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象,可以看出,交点个数为 4. 【答案】B

【例58】 关于 x 的方程 ( x2 ? 1)2 ? | x2 ? 1| ?k ? 0 ,给出下列四个命题:

① 当 k ? 0 时,方程恰有 2 个不同的实根; ② 当 k ? 0 时,方程恰有 5 个不同的实根; 1 ③ 当 k ? 时,方程恰有 4 个不同的实根; 4 1 ④ 当 0 ? k ? 时,方程恰有 8 个不同的实根. 4 ) 其中假命题的个数是 ( A.0 B.1 C.2
【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【难度】3 星 【题型】选择

D.3

【解析】 记 | x 2 ? 1|? t ,则方程变为 t 2 ? t ? k ? 0 , ? ? 1 ? 4 k
k ? 0 时, t1 ? 0, t2 ? 1 ,原方程有 5 个解;

k ? 0 时, t1 ? 0, t2 ? 1 ,原方程有 2 个解;

1 1 1 时, t1 ? (0, ), t2 ? ( , 1) ,原方程有 8 个解; 4 2 2 1 1 k ? 时, t1 ? t2 ? ,原方程有 4 个解; 2 4 1 k ? 时,关于 t 的方程无解,原方程有 0 个解. 4 【答案】A 0?k ?

【例59】 已知函数 f ( x) ? a x ?

x?2 (a ? 1) , x ?1

求证: (1)函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)方程 f ( x) ? 0 没有负数根. 【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【解析】 【难度】3 星 【题型】解答

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【答案】 (1)设 ?1 ? x1 ? x2 ,

则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a x ?
1

x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) ? ? a x1 ? a x2 ? , x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? a x1 ? a x2 ?

∵?1 ? x1 ? x2 ,∴x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 ,∴ ∵?1 ? x1 ? x2 ,且 a ? 1 ,∴a x ? a x ,∴a x ? a x ? 0 ,
1 2 1 2

3( x1 ? x2 ) ? 0; ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,∴ 函数 f ( x) 在 (?1, ??) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x) ? 0 的负数根,且 x0 ? ?1 ,则 a x ?
0

x0 ? 2 ? 0, x0 ? 1

即 ax ?
0

2 ? x0 3 ? ( x0 ? 1) 3 ? ? ?1 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1



当 ?1 ? x0 ? 0 时, 0 ? x0 ? 1 ? 1 ,∴ ∴ ① 式不成立; 当 x0 ? ?1 时, x0 ? 1 ? 0 ,∴ ∴ ① 式不成立.

3 3 ? 3 ,∴ ? 1 ? 2 ,而由 a ? 1 知 a x0 ? 1 , x0 ? 1 x0 ? 1

3 3 ? 0 ,∴ ? 1 ? ?1 ,而 a x0 ? 0 , x0 ? 1 x0 ? 1

综上所述,方程 f ( x) ? 0 没有负数根.

【例60】 方程 2ax2 ? x ? 1 ? 0(a ? 0,且 a ? 1) 在区间 ? ?1,1? 上有且仅有一个实根,求函数

y ? a?3x

2

?x

的单调区间.
【难度】3 星 【题型】解答

【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【解析】 令 f ( x) ? 2ax2 ? x ? 1 ,

(1)由 f (?1) ? 2a ? 0 ,得 a ? 0 ,舍去; (2)由 f (1) ? 2a ? 2 ? 0 ,得 a ? 1 ,舍去; (3) f (?1) ? f (1) ? 0 ? a 2 ? a ? 0 ? 0 ? a ? 1 综上: 0 ? a ? 1
1 1 ,令 y ? a t , t ? ?3x2 ? x ? ?3( x ? )2 ? 6 12 1 1 则 y ? a t 在 R 上为减函数, t 在 (??, ] 上为增函数,在 [ , ??) 上为减函数. 6 6

对于函数 y ? a?3x

2

?x

第 24 页 共 28 页

2 2 1 1 ∴ 当 x ? (??, ] 时, y ? a?3x ? x 是减函数;当 x ?[ , ??) 时, y ? a?3x ? x 是增函数. 6 6 1 1 【答案】单调减区间 (??, ] 单调增区间 [ , ??) 6 6

【例61】 已知方程 ( x2 ? 2 x ? m)( x2 ? 2 x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为的等差数列 , 则
| m ? n |? (

)
B.
3 4

A.1 【考点】函数的零点的应用 【关键词】无

C. 【难度】4 星

1 2

D.

3 8

【题型】选择

1 1 4 ?3 ,四项的和为 4,设公差为 d,则 4 ? ? ?d ? 4 4 4 2 1 1 3 5 7 解得: d ? ,故该数列的四项为: , , , . 4 4 4 4 2 【答案】C

【解析】 由题意,等差数列的首项为

【例62】 解不等式 | 2x ?1|? 2x ? 1 【考点】函数的零点的应用 【难度】4 星 【题型】选择 【关键词】无 【解析】 此 不 等 式 当 然 两 边 平 方 可 用 , 但 是 利 用 图 象 来 处 理 也 是 非 常 简 便 的 , 令
y ?| 2 x ? 1| , y ? 2 x ? 1 ,分别画出两个函数的图形很容易找到答案.

令 y ?| 2 x ? 1| , y ? 2 x ? 1 , 函数 y ?| 2 x ? 1| 的图象比较容易画出,而 y ? 2 x ? 1 的函数图象是通过 y ? x 2 平移缩 放等等变化得来的,可以不同考虑怎样平移缩放,因为函数 y ? 2 x ? 1 与函数 y ? x 2 的图象相似,只要找函数 y ? 2 x ? 1 的几个特殊点,就可以准确无误的画出来.如下 图:
1 1

3 由上图可以看出,原不等式的解集为 {0 ? x ? } . 2 3 【答案】 {x 0 ? x ? } 2

【例63】 已知函数 f ( x) ?

1 1 ( (a ? 0, x ? 0) ? a x
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(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围 【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【解析】 (1)任取 x1 ? x2 ? 0 【难度】4 星 【题型】解答

1 1 1 1 1 1 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? 1 a x1 a x2 x2 x1 x1 x2

∵x1 ? x2 ? 0 ,∴x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数
1 1 (2)∵ ? ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,且 a>0, a x 1 a? 1 在(0,+∞)上恒成立, ∴ 2x ? x



g ( x) ?

1 2x ? 1 x

?

1 2 2x ? 1 x

?

2 1 2 时取等号 4 ,当且仅当 2x ? ( x ? 0) 即 x= x 2

要使

a?

1 2x ?

2 1 在(0,+∞)上恒成立,则 a ? 4 x 2 ,+∞). 4

故 a 的取值范围是[

(3)由(1) f ( x) 在定义域上是增函数
1 1 ∴m ? f (m), n ? f (n) ,即 m2 ? m ? 1 ? 0 , n2 ? n ? 1 ? 0 a a 1 1 故方程 x2 ? x ? 1 ? 0 有两个不相等的正根 m,n,注意到 m ? n ? 1 , m ? n ? ? 0 a a 1 1 故只需要( ? ? ( )2 ? 4 ? 0 ,由于 a ? 0 ,则 0 ? a ? . a 2 【答案】 (1)任取 x1 ? x2 ? 0
1 1 1 1 1 1 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? 1 a x1 a x2 x2 x1 x1 x2

∵x1 ? x2 ? 0 ,∴x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,故 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数 (2) [
2 1 ,+∞)(3) 0 ? a ? 4 2

【例64】 已 知 函 数 f ( x) ?
x1 ? 3, x2 ? 4 。

x2 ( a , b 为 常 数 ) 且 方 程 f ( x) ? x ? 1 2 ? 0 有两个实根为 ax ? b

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(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式: f ( x) ? 【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【难度】4 星
(k ? 1) x ? k 。 2? x 【题型】解答

? 9 ? 3 ? 12 ? 0 ? x ? 3a ? b 【解析】 (1) f ( x) ? x ? 12 ? 0 即 , 由题意: ? x ? 12 ? 0 ? ax ? b ? 16 ? 4 ? 12 ? 0 ? 4a ? b ?
2

整理,得: ? (2) f ( x) ?

?3a ? b ? ?1 x2 ,解得: a ? ?1, b ? 2 ,∴ f ( x) ? ; ?x ? 2 ?4a ? b ? ?2

(k ? 1) x ? k x2 (k ? 1) x ? k x2 ? (k ? 1) x ? k ? ?0 即: ,∴ 2? x ?x ? 2 2? x x?2 ( x ? k )( x ? 1) ?0, ∴ x?2

① 当 1 ? k ? 2 时,不等式的解集为 (1, k ) (2, ??) ; ② 当 k ? 2 时,不等式的解集为 (1, 2) (2, ??) ; ③ 当 k ? 2 时,不等式的解集为 (1, 2) (k , ??)
【答案】 (1) f ( x) ?

x2 ?x ? 2

(2)① 当 1 ? k ? 2 时,不等式的解集为 (1, k ) (2, ??) ; ② 当 k ? 2 时,不等式的解集为 (1, 2) (2, ??) ; ③ 当 k ? 2 时,不等式的解集为 (1, 2) (k , ??)

【例65】 对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ∈R,使 f ( x0 ) =x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点

已知

函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0) (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;
【考点】函数的零点的应用 【关键词】无 【难度】4 星 【题型】解答

【解析】 (1)当 a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) ? x2 ? x ? 3

由题意可知 x ? x 2 ? x ? 3 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3

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故当当 a ? 1, b ? ?2 时, f ( x) 的不动点 ?1, 3 . (2)∵ f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0) 恒有两个不动点, ∴x ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 , 即 ax2 ? bx ? b ? 1 ? 0 恒有两相异实根 ∴? ? b2 ? 4ab ? 4a ? 0 (b ? R) 恒成立 于是 ?? ? (4a)2 ? 16a ? 0 解得 R, f ( x) 恒有两个相异的不动点时, 0 ? a ? 1 故当 b∈
【答案】 (1) ?1, 3 . (2) 0 ? a ? 1

.
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