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函数及其表示学案



第二章 函 数 学案 4 函数及其表示
导学目标: 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的 概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表 示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单应用. 自主梳理 1.函数的基本概念 (1)函数定义 设 A,B 是非空的 ,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A

中 的 ,在集合 B 中 , f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数, 称 x 的取值范围 A 叫做函数的__________,__________________叫做函数的值域. (2)函数的三要素 __________、________和____________. (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有:________、________、________. (4)函数相等 如果两个函数的定义域和__________完全一致, 则这两个函数相等, 这是判定两函数相 等的依据. (5)分段函数:在函数的________内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的 ____________,这样的函数通常叫做分段函数. 分段函数是一个函数,它的定义域是各段取值区间的________,值域是各段值域的 ________. 2.映射的概念 (1)映射的定义 设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中 确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的 .? (2) 由映射的定义可以看出, 映射是 概念的推广, 函数是一种特殊的映射, 要注意构成函数的两个集合,A、B 必须是 数集. 自我检测 1.(2011· 佛山模拟)设集合 M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列 4 个图形,其 中能表示集合 M 到 N 的函数关系的有( )

A.0 个 C.2 个 2.(2010· 湖北)函数 y= 3 A.( ,1) 4 C.(1,+∞)

B.1 个 D.3 个 1 的定义域为( ) log0.5?4x-3? 3 B.( ,+∞) 4 3 D.( ,1)∪(1,+∞) 4

?log3x,x>0 ? 1 3.(2010· 湖北)已知函数 f(x)=? x ,则 f(f( ))等于( ) 9 ? ?2 , x≤0 1 A.4 B. 4 1 C.-4 D.- 4 4.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( ) x2 A.y= B.y=( x)2 x C.y=lg 10x D.y=2log2x 5.(2011· 衡水月考)函数 y=lg(ax2-ax+1)的定义域是 R,求 a 的取值范围.

探究点一 函数与映射的概念 例 1 (教材改编)下列对应关系是集合 P 上的函数的是________. (1)P=Z,Q=N*,对应关系 f:对集合 P 中的元素取绝对值与集合 Q 中的元素相对应; y=x2,x∈P,y∈Q; 2 (2)P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系:f:x→y=x ,x∈P,y∈Q;? (3)P={三角形},Q={x|x>0},对应关系 f:对 P 中三角形求面积与集合 Q 中元素对应.

变式迁移 1 已知映射 f:A→B.其中 B.其中 A=B=R,对应关系 f:x→y=-x2+2x, 对于实数 k∈B, 在集合 A 中不存在元素与之对应, k 的取值范围是 则 ( ) A.k>1 B.k≥1 C.k<1 D.k≤1 探究点二 求函数的定义域 ?x-1?0 例 2 (1)求函数 y= x+1+ 的定义域; lg?2-x? (2)已知函数 f(2x+1)的定义域为(0,1),求 f(x)的定义域.

f?x2? 的定义域是 1+lg?x+1? ________________________________________________________________________. 探究点三 求函数的解析式 2 例 3 (1)已知 f( +1)=lg x,求 f(x); x (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x); 1 (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f( )=3x,求 f(x). x 变式迁移 2 已知函数 y=f(x)的定义域是[0,2],那么 g(x)=

变式迁移 3 (2011· 武汉模拟)给出下列两个条件: (1)f( x+1)=x+2 x; (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出 f(x)的解析式.

探究点四 分段函数的应用 ?x2+bx+c, x≤0, ? 例 4 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的 ?2, x>0. ? 方程 f(x)=x 的解的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

变式迁移 4

?x2+1,x≥0, ? (2010· 江苏)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 ? x<0, ?1,

x 的范围是________________.

1.与定义域有关的几类问题 第一类是给出函数的解析式,这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范 围; 第二类是实际问题或几何问题, 此时除要考虑解析式有意义外, 还应考虑使实际问题或 几何问题有意义; 第三类是不给出函数的解析式,而由 f(x)的定义域确定函数 f[g(x)]的定义域或由 f[g(x)] 的定义域确定函数 f(x)的定义域. 第四类是已知函数的定义域,求参数范围问题,常转化为恒成立问题来解决. 2.解析式的求法 求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法, 除此还有代入法、 拼凑法和方程组法.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列各组中的两个函数是同一函数的为 ?x+3??x-5? (1)y1= ,y2=x-5; x+3 (2)y1= x+1 x-1,y2= ?x+1??x-1?; (3)f(x)=x,g(x)= x2; 3 3 (4)f(x)= x4-x3,F(x)=x x-1; (5)f1(x)=( 2x-5)2,f2(x)=2x-5. A.(1)(2) B.(2)(3) C.(4) D.(3)(5) 2.函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的公共点数目是 A.1 B.0 C.0 或 1 D.1 或 2

(

)

(

)

?x+2?x≤-1?, ?2 3.(2011· 洛阳模拟)已知 f(x)=?x ?-1<x<2?, ?2x ?x≥2?, ?
A.1 3 C.1, 或± 3 2 4.(2009· 江西)函数 y= ln?x+1?

若 f(x)=3,则 x 的值是

(

)

3 B.1 或 2 D. 3

的定义域为 ( ) -x2-3x+4 A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1] 5.(2011·台州模拟)设 f:x→x2 是从集合 A 到集合 B 的映射,如果 B={1,2},则 A∩B 为

( ) A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1} 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.下列四个命题:(1)f(x)= x-2+ 1-x有意义;(2)函数是其定义域到值域的映射; ? 2 ?x , x≥0, (3)函数 y=2x(x∈N)的图象是一条直线;(4)函数 y=? 2 的图象是抛物线.其中 ? ?-x ,x<0 正确的命题个数是________. 2 ? ? ?3x+1 ?x≥0? ?2-x ?x≤1? 7.设 f(x)=? 2 ,g(x)=? , ? ? ?x<0? ?x ?2 ?x>1? 1 则 f[g(3)]=________,g[f(- )]=________. 2 ?3x+2,x<1, ? 8.(2010· 陕西)已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a=______. ? ?x +ax,x≥1, 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(1)若 f(x+1)=2x2+1,求 f(x)的表达式; (2)若 2f(x)-f(-x)=x+1,求 f(x)的表达式; x (3)若函数 f(x)= ,f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x)的表达式. ax+b

f?x?+|f?x?| 10.(12 分)已知 f(x)=x2+2x-3,用图象法表示函数 g(x)= ,并写出 g(x)的解 2 析式.

11. 分)(2011· (14 湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售 的统计规律:每生产产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并 且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本), 销售收入 R(x)(万 ?-0.4x2+4.2x-0.8, 0≤x≤5, ? 元)满足 R(x)=? 假定该产品产销平衡, 那么根据上述 ? x>5. ?10.2, 统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?此时每台产品的售价为多少?

答案 自主梳理 1.(1)数集 任意一个数 x 都有唯一确定的数 f(x)和它对应 定义域 函数值的集合 {f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空 自我检测 1.B [对于题图(1):M 中属于(1,2]的元素,在 N 中没有象,不符合定义;

4 对于题图(2):M 中属于( ,2]的元素的象,不属于集合 N,因此它不表示 M 到 N 的函 3 数关系;对于题图(3):符合 M 到 N 的函数关系;对于题图(4):其象不唯一,因此也不表示 M 到 N 的函数关系.] 2.A 3.B 4.C 5.解 函数 y=lg(ax2-ax+1)的定义域是 R,即 ax2-ax+1>0 恒成立. ①当 a=0 时,1>0 恒成立; ? ?a>0, ②当 a≠0 时,应有? 2 ? ?Δ=a -4a<0, ∴0<a<4. 综上所述,a 的取值范围为 0≤a<4. 课堂活动区 例 1 解题导引 函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变量之间是否具有函数 关系,只需要检验:①定义域和对应关系是否给出;②根据给出的对应关系,自变量在其定 义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值. (2) 解析 由于(1)中集合 P 中元素 0 在集合 Q 中没有对应元素, 并且(3)中集合 P 不是数集, 所以(1)和(3)都不是集合 P 上的函数.由题意知,(2)正确. 变式迁移 1 A [由题意知, 方程-x2+2x=k 无实数根, x2-2x+k=0 无实数根. 即 ∴ Δ=4(1-k)<0,∴k>1 时满足题意.] 例 2 解题导引 在(2)中函数 f(2x+1)的定义域为(0,1)是指 x 的取值范围还是 2x+1 的 取值范围?f(x)中的 x 与 f(2x+1)中的 2x+1 的取值范围有什么关系? 解 (1)要使函数有意义,

?x+1≥0, ?x-1≠0, 应有? 2-x>0, ?2-x≠1, ?

?x≥-1, ? 即?x≠1, ?x<2, ?

?-1≤x<2, ? 解得? ?x≠1. ? 所以函数的定义域是{x|-1≤x<1 或 1<x<2}. (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1), ∴1<2x+1<3, 所以 f(x)的定义域是(1,3). 9 9 变式迁移 2 (-1,- )∪(- , 2] 10 10

?0≤x ≤2 ? 解析 由?x+1>0 ?1+lg?x+1?≠0 ?

2

得-1<x≤ 2且 x≠-

9 . 10

9 9 即定义域为(-1,- )∪(- , 2]. 10 10 例 3 解题导引 函数解析式的类型与求法 (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法. (2)已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意变量的取值范围. (3)已知 f(x)满足某个等式,这个等式除 f(x)是未知量外,还出现其他未知量,如 f(-x)、 1 f( )等,要根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). x 2 2 解 (1)令 +1=t,则 x= , x t-1

2 , t-1 2 ∴f(x)=lg ,x∈(1,+∞). x-1 (2)设 f(x)=ax+b,(a≠0) 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17, ? ?a=2, ∴? ?b+5a=17, ? ∴a=2,b=7,故 f(x)=2x+7. 1 (3)2f(x)+f( )=3x, ① x 1 把①中的 x 换成 ,得 x 1 3 2f( )+f(x)= , ② x x 3 ①×2-②,得 3f(x)=6x- , x 1 ∴f(x)=2x- . x 变式迁移 3 解 (1)令 t= x+1, ∴t≥1,x=(t-1)2. 则 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即 f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (2)设 f(x)=ax2+bx+c (a≠0), ∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则 f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ? ? ?4a=4, ?a=1, ∴? ∴? ? ? ?4a+2b=2. ?b=-1. 又 f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=x2-x+3. 例 4 解题导引 ①本题可以先确定解析式,然后通过解方程 f(x)=x 来确定解的个 数;也可利用数形结合,更为简洁. ②对于分段函数,一定要明确自变量所属的范围,以便于选择与之相应的对应关系. ③分段函数体现了数学的分类讨论思想,相应的问题处理应分段解决. C [方法一 若 x≤0,则 f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2, 2 ? ?-4?+c=c, ??-4? +b· ∴? 2 ??-2? +b· ?-2?+c=-2, ? ∴f(t)=lg
?b=4, ?x2+4x+2, x≤0, ? ? 解得? ∴f(x)=? ? ? x>0. ?c=2. ?2,

当 x≤0,由 f(x)=x,得 x2+4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. ∴方程 f(x)=x 有 3 个解.

方法二 由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2,可得 f(x)=x2+bx+c 的对称轴是 x=-2,且顶 点为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图(如图所示).方程 f(x)=x 的解的个数就是函数图象 y =f(x)与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解.] 变式迁移 4 (-1, 2-1)

? 2 ?x +1,x≥0, 解析 函数 f(x)=? 的图象如图所示: ?1, x<0 ? ?1-x2>2x ? f(1-x )>f(2x)?? , 2 ? ?1-x >0
2

解得-1<x< 2-1. 课后练习区 1.C [(1)定义域不同;(2)定义域不同;(3)对应关系不同;(4)定义域相同,且对应关 系相同;(5)定义域不同.] 2.C [有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x=1 仅有一个函数值.] 3.D [该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1],[0,4),[4,+∞),而 3∈[0,4),∴f(x) 2 =x =3,x=± 3,而-1<x<2,∴x= 3.] 4.C 5.D [由已知 x2=1 或 x2=2,解之得,x=± 或 x=± 2,若 1∈A,则 A∩B={1}, 1 若 1?A,则 A∩B=?, 故 A∩B=?或{1}.] 6.1 解析 (1)x≥2 且 x≤1, 不存在; (2)函数是特殊的映射; (3)该图象是由离散的点组成的; (4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的,不是抛物线.故只有(2)正确. 31 7.7 16 8.2 9.解 (1)令 t=x+1,则 x=t-1,∴f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3,∴f(x)=2x2-4x+ 3.………………………………………………………………………………………………(4 分) (2)∵2f(x)-f(-x)=x+1,用-x 去替换式子中的 x,得 2f(-x)-f(x)=-x+1,……(6 分) ? ?2f?x?-f?-x?=x+1 即有? , ?2f?-x?-f?x?=-x+1 ? x 解方程组消去 f(-x), f(x)= +1.……………………………………………………(8 分) 得 3 2 (3)由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b 1-b x 1 由 f(x)=x 得 =x,变形得 x( -1)=0,解此方程得 x=0 或 x= ,…(10 分) a ax+b ax+b 又∵方程有唯一解, 1-b 1 ∴ =0,解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , a 2 2x ∴f(x)= .……………………………………………………………………………(12 分) x+2 10.解 函数 f(x)的图象如图所示,

……………………………………(6 分)
?x2+2x-3 ?x≤-3或x≥1? ? g(x)=? …………………………………………………(12 分) ? ?-3<x<1? ?0

11.解 依题意,G(x)=x+2,设利润函数为 f(x),则 ?-0.4x2+3.2x-2.8,0≤x≤5, ? f(x)=? ………………………………………………(4 分) ? x>5. ?8.2-x, (1)要使工厂赢利,则有 f(x)>0. 当 0≤x≤5 时,有-0.4x2+3.2x-2.8>0, 得 1<x<7,所以 1<x≤5.………………………………………………………………(8 分) 当 x>5 时,有 8.2-x>0, 得 x<8.2,所以 5<x<8.2. 综上所述,要使工厂赢利,应满足 1<x<8.2,即产品应控制在大于 100 台小于 820 台的 范围内.……………………………………………………………………………………(10 分) (2)当 0≤x≤5 时,f(x)=-0.4(x-4)2+3.6. 故当 x=4 时,f(x)有最大值 3.6.…………………………………………………………(12 分) 而当 x>5 时,f(x)<8.2-5=3.2. R?4? 所以当工厂生产 400 台产品时,赢利最大,x=4 时,每台产品售价为 =2.4(万元/ 4 百台)=240(元/台).……………………………………………………………………………(14 分)



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