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棒棒堂教育——2017高考数学一轮复习 第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念与线性运算课件 理



第四章 平面向量

考情分析 考点 平面向量的概念与线性运算

2015

2014

2013 2012 2011

新课标卷 Ⅰ,T7,选择 ; 平面向量的基本定理与坐标 新课标卷 表示 Ⅱ,T13,填 空

考情分 2015 析考点 平面向 量的数 量

积 平面向 量的综 合应用

2014

2013

2012

2011

新课标卷 新课标 Ⅰ,T13,填 新课标卷 卷 空; Ⅰ,T5,选择 Ⅱ,T3, 新课标卷 选择 Ⅱ,T13,填 空

新课标 新课标 卷,T13,填 卷,T10,选 空 择

第一节 平面向量的概念与线性运算

考纲概述

考查热点 考查频次 备考指导 平面向量的基本概 从近几年的考题 (1)了解向量的 ★★ 念 来看,向量的基本 实际背景; 概念与线性运算 平面向量的线性运 (2)理解平面向 ★★★★★ 及向量共线是高 算 量的概念和两 考中的常考点,多 个向量相等的 以选择题、填空 含义; 共线向量定理与应 题形式出现,难度 ★★★ (3)理解向量的 用 以中易档题为主 几何表示; 线,

考纲概述 (4)掌握向量加法、 减法的运算,理解其 几何意义; (5)掌握向量数乘的 运算及其几何意义, 理解两个向量共线 的含义; (6)了解向量线性运 算的性质及其几何 意义.

考查热点 考查频次 备考指导 而向量的运算与共线 的基本定理通常交汇 命题,但难度不大 ,因 此在复习中应把握三 点:一是分清基本概 念为主;二是以线性 运算与共线定理的小 题训练为主;三是该 题在高考中的命题思 想是送分,不要有太 重的思想包袱.

1.向量的有关概念 (1)向量的定义及表示: 既有 大小 又有 方向 的量叫做向量.以 A 为起点、B 为终点的向量记作 ,也可用 a,b,c,…表示. (2)向量的长度:有向线段 的长度,即 的长度(或称模),记作| |. 长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0. 长度等于 1 个单位 的向 量,叫做单位向量. (3)平行(共线)向量:方向 相同 或 相反 的 非零 向量叫做 平行(共线)向量(0 与任何向量平行(共线)). (4)相等向量: 长度相等且方向相同 的向量叫做相等向量,向量 a 与 b 相等 ,记作 a=b.

(5)相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量(0 的相反向 量为 0). 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 运算律

①交换律:
加法 求两个向量 三角形法则 和的运算 平行四边形法则 a+b=b+a; ②结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

向量运算 定义 法则 (或几何意义 ) 求a与b的 相反向量-b 减法 的和的运算 叫做 a 与 b 三角形法则 的差 |λa|=|λ||a|. 求实数 λ 与 当 λ>0 时,λ a 与 a 的 数乘 向量 a 的积 方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相 的运算 反;当 λ=0 时,λ a=0

运算律

a-b=a+(-b)

λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb

3.向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使 b=λa. 4.常用的数学方法与思想 数形结合思想、转化化归思想.

1.(2016· 河南中原名校联考) 在△ABC 中,若点 D 满足 =2 ,则 = ( ) 1 2 5 2 A. + B. ? C. ?
3 3 3 2 3 1

D. +
3 3

3 2

3 1

1.D 【解析】 = + , = + = ? , 所以 2 = + + ? = + + , 而 =
1 3 1 3

= ( ? ), 即有 2 = + + = + +
3

1

1

( ? ) = + , 即得 = + .
3 3 3 3

2

4

1

3 2

2.如图,在平行四边形 ABCD 中 ,对角线 AC 与 BD 交于点 O , + =λ ,则 λ= .

2.2

【解析】因为 + = = 2 ,所以 λ=2.

3.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=

.

3.

1 2

= , 1 【解析】设 + = ( + 2), 则 解得 = . 2 1 = 2,

考点1 平面向量的基本概念 典例1 下列命题中: ①相反向量就是方向相反的向量; ②λ,μ为任意实数,若λa=μb,则a与b共线; ③向量a与向量b平行,则a与b的方向相同; ④a∥b,c∥b,则a∥c. 其中错误命题的序号为 . 【解题思路】正确掌握相反向量、平行(共线)向量的概念,解题时勿忽视零向量.长度相 同且方向相反的向量才为相反向量,故①错误;若λ=μ=0,则λa=μb=0,但a与b可能不共线,故 ②错误;若两向量平行,则两向量的方向可能平行,也可能相反,故③错误;若b=0,则a与c不 一定平行,故④错误. 【参考答案】 ①②③④

考点 2 向量的线性运算 典例 2 (2015· 北京高考) 在△ABC 中,点 M,N 满足 =2, = .若=x+y ,则 x= ,y= . 【解题思路】连接 AN,利用三角形法则进行转化求解. 1 2 1 1 连接 AN, = ? = ( + ) ? = ? ,
2 3 2 6

又因为 = + , 1 1 故 x= , = ? .
2 6

【参考答案】

1 2

?

1 6

向量的线性运算时注意以下三点 (1)尽可能转化到平行四边形或三角形中; (2)充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似三角形的边长关系、特 殊点构成的比例等关系; (3)利用数形结合思想向结论方向进行转化.

【变式训练】 1.(2015· 河南八市重点检测) 已知点 M 是△ABC 的边 BC 的中点,点 E 在边 AC 上,且 =2 ,则向量 ? =( ) 1 1 1 1 A. ? B. ? C. ?
6 2
1 2 1 2 2 3 1 2

2 1

3 1

D. +
6 2
2 3 1 2 1 6 1 6

2 1

6 1

1.C 【解析】因为 = 2 , 所以 = + = + = + ( ? ) = + , 故 ? = ? .

2.在平面直角坐标中,△ABC 的三个顶点 A,B,C,下列两个命题中正确 的是 . ①平面内点 G 满足 + + =0,则 G 是△ABC 的重心;②平面 内点 M 满足 = = ,点 M 是△ABC 的内心. 2.① 【解析】对于①,设 D 为边 AB 的中点,则 + = 2 , 所以 + + = 得到 2 + = , 即 = 2 , 同理设 , 分别为 , 中点, 也有 = 2 , = 2 , 故点为 △ 的重心, 即①正确; 对于② , || = || = ||,即点 M 到三 顶点的距离相等,所以点 M 应为三角形 ABC 的外心,即②错误.

考点3 共线向量定理与应用 典例3 (2015· 北京朝阳区二模)已知非零平面向量a,b,则“a与b共线”是“a+b与a-b共线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题思路】利用充分、必要条件的定义分别进行判断.由“a与b共线”易得“a+b与a-b共 线”.当a+b与a-b共线且a≠b时,有a+b=λ(a-b),则(λ+1)b=(λ-1)a,由a,b为非零向量,则λ≠±1, -1 b= a, 所以a与b共线;当a+b与a-b共线且a=b时,则有a,b共线,综上可得C项正确.
+1

【参考答案】 C

共线向量定理与应用要注意三点 (1)向量b与非零向量a共线的充要条件是当且仅当存在唯一的实数λ,使b=λa; (2)证明三点共线问题可以利用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线是有区别 的,当两向量共线且有一个公共点时,才能得到三点共线; (3)利用共线求解问题时应注意待定系数法与方程思想的运用.

【变式训练】 已知不共线向量 a,b,=ta-b(t∈R), =a+b,若 A,B,C 三点共线,则 实数 t= .

-1 【解析】 因为 A,B,C 三点共线,所以 与 共线, 即 = , 又 = ? , = + , 所以 ? = ( + ), 比较系数得 = , 则 t=-1. -1 = ,

易错易混考点:对向量的线性运算的几何意义理解不透致误 典例 已知△ABC 和点 M 满足 + + =0.若存在实数 m 使 得 + =m 成立,则 m= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【错因分析】求解该题时不能根据 + + =0 分析出点 M 与 △ABC 的关系. 【正确解答】由 + + =0,知点 M 为△ABC 的重心,设点 D 为边 BC 的中点,则由向量加法,可知 + =2 .由重心的性质, 2 2 2 可知| |= | |,而且 与 同向,故 = ,所以 = ×
1 2 3

( + )= ( + ),所以 + =3 ,故 m=3,故选 B.
3

1

3

3

对于形如 = ( + )的等式,一般有两种处理方法 ,一是从几 何意义的角度思考问题 ;二是通过两边同时乘以同一向量 ,转化为实 数问题求解 .
2

1

【针对训练】 圆 O 为△ABC 的外接圆,半径为 2,若 + =2 ,且| |=| |,求 向量在向量 方向上的投影.
3 【解析】 由 + = 2 , 可得点 O 为线段 BC 的中点. 又因为点 O 为 △ABC 的外接圆的圆心, 由此可得△ABC 为以 BC 为斜边的直角三角形, 且| | = 2||=4. 又因为| | = | |, 可得| |=2,

根据勾股定理可得| | = 2 3, 所以 cos B= ,
2 3

根据投影的定义可知向量在向量 方向上的投影为|| · cos = 2 3 ×
3 2

=3.



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