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高中数学必修4综合测试题及答案



必修 4 综合检测 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题中正确的是( A.第一象限角必是锐角 C.相等的角终边必相同 2.将分针拨慢 5 分钟,则分钟转过的弧度数是 A. ) B.终边相同的角相等 D.不相等的角其终边必不相同 ( D.- )

? 3

B.-

? 3

C.

? 6

? 6

2 5

3.已知角 ? 的终边过点 P?? 4m, 3m? , ?m ? 0? ,则 2 sin ? ? cos ? 的值是( A.1 或-1 B.
2 2 或? 5 5

C.1 或 ?

2 5

D.-1 或 )

4、若点 P(sin ? ? cos ? , tan ? ) 在第一象限,则在 [0, 2? ) 内 ? 的取值范围是(

? 3? 5? A. ( , ) (? , ) 2 4 4 ? 3? 5? 3? C. ( , ) ( , ) 2 4 4 2

? ? 5? B. ( , ) (? , ) 4 2 4 ? 3? 3? D. ( , ) ( , ? ) 2 4 4
( )

5. 若| a |? 2 , | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 (A)
? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

5 ? 12

6. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的一部分图象如右图所 示,如果 A ? 0,? ? 0, | ? |? A. A ? 4 B. ? ? 1

?
2

,则( C. ? ?



?
6

D. B ? 4 )

7. 设集合 A ? ?( x,y) | y ? 2 sin 2 x?,集合 B ? ?( x,y) | y ? x?,则( A. A ? B 中有 3 个元素 C. A ? B 中有 2 个元素 8.已知 x ? ( ? A.
7 24

B. A ? B 中有 1 个元素 D. A ? B ? R
4 , 则 tan 2 x ? ( 5

?
2

,0), cos x ?

) D. ?
24 7

B. ?

7 24

C. 24
7

π π π 9. 同时具有以下性质: “① 最小正周期实 π;② 图象关于直线 x=3对称;③ 在[-6,3]上是增 函数”的一个函数是 ( A. x π y=sin(2+6) B. ) π y=cos(2x+3) C. π y=sin(2x-6) D. π y=cos(2x-6)

10. 设 i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki-4j,若 a⊥b,则实数 k 的值为( A.-6 11. 函数 y ? 3 sin( A. 2?
3

) D.6 )

B.-3

C.3

?
4

? 3x) ? 3 cos(

?
4

? 3x) 的最小正周期为 (

B. ?

3

C.8

D.4

12. 2002 年 8 月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三角 形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ? ,大正方形的面积 是 1,小正方形的面积是 A.1
1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值等于( 25 24 7 7 B. ? C. D.- 25 25 25



二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 ,那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为
12 ,则 a· b= 5

。 。

14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量 a 在向量 b 方向上的投影为

15. 已知向量 OP ? (2,1),OA ? (1,7),OB ? (5,1),设X是直线OP 上的一点 (O 为坐标原点) , 那么 XA ? XB 的最小值是___________________。 16.给出下列 6 种图像变换方法: ①图像上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 横坐标伸长到原来的 2 倍;③图像向右平移 右平移
1 ;②图像上所有点的纵坐标不变, 2

2? 2? 个单位;⑥图像向左平移 个单位。请写出用上述变换将函数 y = sinx 的图像变 3 3 x ? 换到函数 y = sin ( + )的图像的一个变换______________.(按变换顺序写上序号即可) 2 3

? ? 个单位;④图像向左平移 个单位;⑤图像向 3 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应有证明或演算步骤) 17、 (12 分)已知 cos(α- 18. (12 分)已知 值. 19. (12 分) 已知向量 a ? (cos
3x 3x x x ,sin ) , b ? (cos ,? sin ) , 其中 x ? R . (Ⅰ) c ? ( 3,? 1) , 2 2 2 2
? ? ? ? ? ?? 1 2 )= ? ,sin( ? ? )= ,且 α∈ ( ,π),β∈ (0, ),求 cos 的值. 2 2 2 2 2 9 3

? ? 3 3? 5 ? 3? ??? , 0 ? ? ? , cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ?) ? ,求 sin?? ? ? ? 的 4 4 5 4 13 4 4

当 a ? b 时,求 x 值的集合; (Ⅱ)求 | a ? c | 的最大值。

20、 (12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2x ? 1, x ? R. (1)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最大值时 x 的集合; (2)在平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的图象. 21、 (12 分)设 a 、 b 是两个不共线的非零向量( t ? R )
1 (1)记 OA ? a, OB ? t b, OC ? (a ? b), 那么当实数 t 为何值时,A、B、C 三点共线? 3

(2)若 | a |?| b |? 1且a与b夹角为 120? ,那么实数 x 为何值时 | a ? xb | 的值最小? 22、 (14 分)某沿海城市附近海面有一台风,据观测,台风中心位于城市正南方向 200km 的 海面 P 处,并正以 20km/h 的速度向北偏西 ? 方向移动(其中 cos ? ?
19 ),台风当前影响半径 20

为 10km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风影响?影响时间多 长? 参考答案 C2. D3.B4、B5、B6、C7、A8、D 9、C. 10、D11、A12、D
1 7 13、 , 3 9

14、12

15.-8

16. ④②或②⑥

17、已知 cos(α- 18. 解:∵ ∴

? ? ? ? ? ?? 1 2 )= ? ,sin( ? ? )= ,且 α∈ ( ,π),β∈ (0, ),求 cos 的值. 2 2 2 2 2 9 3

? 3? ??? 4 4

? 4 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 又 cos( ? ?) ? ? ∴ sin( ? ?) ? 4 5 2 4 4 5 ? 3? 3? 3? 5 ? ? ? ? ? 又 sin( ? ?) ? ∵0 ? ? ? ∴ 4 4 4 4 13 3? 12 ∴ cos( ? ?) ? ? 4 13 ? 3? ∴sin(? + ?) = ?sin[? + (? + ?)] = ? sin[( ? ?) ? ( ? ?)] 4 4 ? 3? ? 3? 4 12 3 5 63 ? ?[sin( ? ?) cos( ? ?) ? cos( ? ?) sin( ? ?)] ? ?[ ? (? ) ? ? ] ? 4 4 4 4 5 13 5 13 65 3x x 3x x 19解: (Ⅰ)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,即 cos cos ? sin sin ? 0 .????4 分 2 2 2 2 kπ π ? (k ? Z) .?????????????5 分 则 cos 2 x ? 0 ,得 x ? 2 4



kπ π ? ? ? ,k ? Z? 为所求.?????????????6 分 ?x | x ? 2 4 ? ?
3x 3x 3x π ? 3 ) 2 ? (sin ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin( ? ) ,?????10 分 2 2 2 3

(Ⅱ) | a ? c |2 ? (cos

所以 | a ? c | 有最大值为 3.????????????????????12 分 20解: (I) f ( x) ? 2 sin 2 x ? sin 2x ? 1 ? sin 2x ? (1 ? 2 sin 2 x) ? sin 2x ? cos2x

? = 2 sin( 2 x ? ) ??????????5 分 4
所以 f ( x) 的最小正周期是 ? ?????6 分 所以当 2 x ? ? x ? R,

?
4

? 2k? ?

?
2

, 即x ? k? ?

3? (k ? Z) 8

时, f ( x) 的最大值为 2 . 即 f ( x) 取得最大值时 x 的集合为 {x | x ? k? ?
3? , k ? Z}??????8 分 8

(II)图象如下图所示: (阅卷时注意以下 3 点) 1.最小值 f (
3? ) ? 2, 8

最小值 f ( 2.增区间 [0,
3? 7? ], [ , ? ]; 8 8

7? ) ? ? 2 .??????10 分 8

3? 7? , ] ????????12 分 8 8 ? ? 3? 3.图象上的特殊点: (0,-1) , ( ,1 ) , ( ,1 ) , ( ,?1), (? ,?1) ???14 分 4 4 2

减区间 [

[注:图象上的特殊点错两个扣 1 分,最多扣 2 分] 21、解: (1)A、B、C 三点共线知存在实数 ?, 使OC ? ?OA ? (1 ? ?)OB
1 即 (a ? b) ? ? a ? (1 ? ? )t b ,???????????????????4 分 3 1 1 则 ? ? , 实数 t ? ????????????????????????6 分 3 2 1 (2) a ? b ?| a | ? | b | cos 120 ? ? ? , 2
?| a ? xb | 2 ? a ? x 2 ? b ? 2 x ? a ? b ? x 2 ? x ? 1, ?????9 分
10+10t
2 2

D A



1 3 当 x ? ? 时, | a ? xb | 取最小值 ?????????12 分 2 2

C 20t 200 θ P E 10

22、解:如右图,设该市为 A,经过 t 小时后台风开始影响该城市, 则 t 小时后台风经过的路程 PC=(20t)km,台风半径为 CD= (10+10t)km,需满足条件:CD≥AC

AC ? ( PC ? PA)2 ? PC ? PA ? 2PA PC | AC |2 ?| PC |2 ? | PA |2 ?2 | PA | | PC | cos ?
? 2002 ? (20t ) 2 ? 2 200 20t 19 ? 40000 ? 400t 2 ? 7600 20

2

2

2

∴ 40000 ? 400t 2 ? 7600t ? CD2 ? (10 ? 10t )2 整理得 300t 2 ? 7800t ? 39900 ? 0 即 t 2 ? 26t ? 133 ? 0 解得 7 ? t ? 19

∴7 小时后台风开始影响该市,持续时间达 12 小时。



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