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高二数学-直线与方程典型习题(学生版)



【知识点一:倾斜角与斜率】 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点:1、与 x 轴相交;2、x 轴正向;3、直线向上方向。 ②直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0 ③倾斜角 ? 的范围 00 ? ? ? 1800 (2)直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为 90 的直线斜率不存在. 记作 k ? tan ? (? ? 900 )

/>0 ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 , k ? tan 00 ? 0
0
0

0 ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, ? ? 90 , k 不存在.

②经过两点 P 的直线的斜率公式是 k ) x1 ? x2) 1 ( x1 , y1 ), P( x2 , y2( ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率. (3)求斜率的一般方法: ①已知直线上两点,根据斜率公式 k ?

?

y2 ? y1 x2 ? x1

y2 ? y1 ( x2 ? x1 ) 求斜率; x2 ? x1

②已知直线的倾斜角 ? 或 ? 的某种三角函数根据 k ? tan ? 来求斜率; (4)利用斜率证明三点共线的方法: 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ) ,若 x1 ? x2 ? x3或k AB ? kBC ,则有 A、B、C 三点共线。 【知识点二:直线平行与垂直】 (1)两条直线平行:对于两条不重合的直线 l1 , l2 ,其斜率分别为 k1 , k2 ,则有 l1 // l 2 ? k1 ? k 2 特别地,当直线 l1 , l2 的斜率都不存在时, l1与l2 的关系为平行 (2)两条直线垂直:如果两条直线 l1 , l2 斜率存在,设为 k1 , k2 ,则有 l1 ? l 2 ? k1 ? k 2 ? -1 注:两条直线 l1 , l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确; 由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果 l1 , l2 中 有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时, l1与l2 互相垂直. (2)线段的中点坐标公式

若点P 1, P 2的坐标分别是( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),

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x1 ? x2 ? x ? ? ? 2 且线段PP 1 2的中点M ( x, y )的坐标为 ? y ? y ? 1 ? y2 ? ? 2
【知识点四 直线的交点坐标与距离】 (1)两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 两条直线的交点坐标就是方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解。 ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

①若方程组有唯一解,则这两条直线相交,此解就是交点的坐标; ②若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行. (2)几种距离 两点间的距离:平面上的两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式

|P 1P 2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

特别地,原点 O (0, 0) 与任一点 P ( x, y ) 的距离 | OP |?

x2 ? y2

点到直线的距离:点 P 0 ( xo , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离

d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

两条平行线间的距离:两条平行线 Ax ? By ? C1 ? 0与Ax ? By ? C2 ? 0 间的距离

d?

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

注:1 求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; 2 求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。 需要更多的高考数学复习资料

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精讲精练
【例 1】已知 的取值范围是( ) ) , ,直线 l 过原点 O 且与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率

【例 2】在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有( A1条 B2条 C3条 D4条

【例 3】方程 x ? y ? 1 所表示的图形的面积为_________。

【例 4】设 a ? b ? k (k ? 0, k为常数) ,则直线 ax ? by ? 1 恒过定点



【例 5】一直线过点 M (?3, 4) ,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是__________.

【例 6】已知 A(1,2) ,B(3,4) ,直线 l1:x=0,l2:y=0 和 l3:x+3y﹣1=0、设 Pi 是 li(i=1,2,3)上 与 A、B 两点距离平方和最小的点,则△P1P2P3 的面积是________ 【例 7】已知直线(a﹣2)y=(3a﹣1)x﹣1,为使这条直线不经过第二象限,则实数 a 的范围是___ 【例 8】过点 A(?5, ?4) 作一直线 l ,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5 。 【例 9】已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ? ___

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

【例 10】求函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 ? x2 ? 4 x ? 8 的最小值。

【例 11】直线 l 过点 P(2,1) ,且分别与 x ,y 轴的正半轴于 A,B 两点,O 为原点. (1) 求△AOB 面积最小值时 l 的方程; (2)|PA|?|PB|取最小值时 l 的方程.

【例 12】已知直线 l:kx-y+1+2k=0 (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 负半轴于 A,交 y 正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,试求 S 的最小值并求出此时直线 l 的方程。

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