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广西柳州市一中高三文科2013届数学文科模拟卷附答案


柳州市一中 2013 届高三第一次全市统测前数学模拟卷(文)(2012.10.20) 班别 姓名 学号 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U= ?1, 3 , 5 , 7 ? ,则集合 M 满足 C U M = ?5 , 7 ? ,则集合 M 为 C. ?1, 3 , 5 , 7 ? ( )

A. ?1, 3 ? 2.cos(—300 )等于
0

B. ?1? 或 ?3 ?

D. ?1? 或 ? 3? 或 ?1, 3? ( )

A. -

3 2

B.-

1 2

C.

1 2

D.

3 2

3.已知数列{ a n }为等差数列,且 a 1 ? a 7 ? a 13 ? 4 ? ,则 tan( a 2 ? a 12 )等于 ( A. 3 B.- 3 C.± 3 D.- 3 3



4.某校高一、高二、高三的学生人数分别为 3200 人、2800 人、2000 人,为了了解学生星期天的睡 眠时间,决定抽取 400 名学生进行抽样调查,则高一、高二、高三应分别抽取 ( ) A、160 人、140 人、100 人 B、200 人、150 人、50 人 C、180 人、120 人、100 人 D、250 人、100 人、50 人 5.已知 p:
1 x ? 2, q : x ? x,则 p是 q的

( C.充要条件



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

??? ??? ??? ? ? ? ???? P A ? P B ? P C ? A C ,那么一定有 6.已知 P、A、B、C 是平面内四点,且


??? ?



A. P B ? 2 C P

??? ?

??? ?

B. C P ? 2 P B
?

??? ?

??? ?

C. A P ? 2 P B

??? ?

??? ?

D. P B ? 2 A P

??? ?

7.把函数 y ? sin ( 2 x ? 来的
1 2

? ? ) ? 1 的图象按向量 a ? ( ,1) 平移, 再把所得图象上各点的横坐标缩短为原 6 6

,则所得图象的函数解析式是
2? 3 )?2


?
6 )


2? 3 )

A. y ? sin ( 4 x ?

B. y ? sin ( 4 x ?
y ? x (1 ? y )

C. y ? sin ( 2 x ?

?
6

)

D. y ? co s( 4 x ?

8.在 R 上定义运算 ? :x ? 取值范围是

,若不等式 ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 1 对任意实数 x 都成立,则实数 a 的 ( )
1

A. ? ? 1, ? 1

B. ?0,2 ?

C. ( ?

1 2

3 , ) 2

D.

(?

3 2

1 , ) 2

9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3, 4, x ,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,这个球面的 表面积为 125π 则 x 的值为 A.5 B.6
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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C.8

D.10

10.双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 左、右集点分别 F1 , F 2 ,过 F1 作倾斜角为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,

若 MF 2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为
3





A. 6

B. 3

C. 2

D. 3

11.从甲、乙等 10 名同学挑选 4 名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加,则不同的挑 选方法有 ( ) A.70 种 B.112 种 C.140 种 D.168 种 12.已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x ? R 都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,且 f(-4)=-2,当 x 1 ,x 2 ? [0,3],且 x 1 ? x 2 时,都有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0 。则给出下列命题: (1)f(2008)=-2;(2) 函

数 y=f(x)图象的一条对称由为 x=-6; (3)函数 y=f(x)在[-9,-6]上为减函数; (4)方程 f(x)=0 在 [-9,9]上有 4 个根;其中正确的命题个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D. 4 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案直接填在题中横线上. 13.函数 y ? 2 14.若 ? x ?
2
?x

? 3 ( x ? 0)的反函数解析式为______ ,
n

? ?

1 ? ? 展开式的各项系数和为 32,则展开式中的常数项为______ 3 x ?

15.若实数

x、 y

?x ? 3y ? 3 ? 0 2 2 ? 满足 ? x ? 0 ,则目标函数 z ? x ? ( y ? 2 ) 的最大值是_____ ?y ? 0 ?

16.在体积为 4 3π 的球的表面上有 A、B、C 三点,AB=1,BC= 2,A、C 两点的球面距离为 则∠ABC=_____ . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

3 π, 3

2

17.已知向量 p=(sin x, 3cos x),q=(cos x,cos x),定义函数 f(x)=p?q. (1)求 f(x)的最小正周期 T;(2)若△ABC 的三边长 a,b,c 成等比数列,且 c ? ac ? a ? bc ,求
2 2

边 a 所对角 A 以及 f(A)的大小.

18.某汽车驾驶学校在学员结业前,对学员的驾驶技术进行 4 次考核,规定:学员必须按顺序 从第一次开始参加考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核。若学员小 李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为 的等差数列,他参加第一次考核合格的概率不超
8 1



1 2

,且他直到参加第二次考核才合格的概率为

9 32



(1)求小李第一次参加考核就合格的概率 p 1 ;(2)小李第四次参加考核的概率。

19. 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 中, 侧面 AA 1 CC 1 ? 侧面 ABB 1 A1 , 侧面 ABB 1 A1 的面积为
CA ? CA 1 ? AB ? BB 1 ? 1 , ? ABB
1

3 , 2

为锐角(1)求证: CB 1 ? AA 1 ;(2)求二面角 C ? BB 1 ? A 的大

小.

3

20.已知正数数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? (2)设 b n ?
8 a n .a n ? 1

1 8

?a n

? 2 ? , ? n ? N * ? (1)求数列 ?a n ? 的通项公式;
2
2

,且数列 ?b n ? 的前 n 项和为 T n ,如果 T n ? m ? m ? 5 对一切 n ? N * 成立,求

正数 m 的取值范围.

21.已知函数 f ? x ? ? ax ? bx
3

2

? cx ? d

?x ? R , a

? 0 ? ,? 2 是 f ? x ? 的一个零点, f ? x ? 在 x ? 0 处

有极值,若 f ? x ? 在区间 ? ? 6 , ? 4 ?和 ? ? 2 , 0 ? 上是单调的,且在这两个区间上的单调性相反, (1) c 的值, 求 并求
b a

的取值范围 (2) a ? 0 b ? 3 a 时, 当 求使 ? y / y ? f ? x ?, ? 3 ? x ? 2 ? ? ?? 3 , 2 ?

成立的实数 a 的取值范围;

22.已知方向向量为 v

? 1,

?

3

? 的直线 l 过椭圆 C: x
a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的焦点以及点(0, ? 2

3

),

椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上。(1)求椭圆 C 的方程。(2)是否存在过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N,使⊿MON 的面积为 线 m 的方程;若不存在,请说明理由。
2 3 6

,(O 为坐标原点)?若存在,求出直

4

文科数学答案 一、1-5 ACBAA 13. y ? log
1 2

6—10 DBCD
x ? 4?

11-12 CD 15.13 π 16. 2

? x ? 3 ?, ?3 ?

14.10

17. (本小题满分 10 分) 解:(1)f(x)=p?q=(sin x, 3cos x)?(cos x,cos x)=sin xcos x+ 3cos2x2 分 1 1+cos 2x 1 3 3 π 3 = sin 2x+ 3? = sin 2x+ cos 2x+ =sin(2x+ )+ . 2 2 2 2 2 3 2 ∴f(x)的最小正周期为 T= 2π =π . 2

(2)∵a、b、c 成等比数列,∴b2=ac,又 c2+ac-a2=bc. b2+c2-a2 ac+c2-a2 bc 1 π ∴cos A= = = = .又∵0<A<π ,∴A= . 2bc 2bc 2bc 2 3 π π 3 3 3 f(A)=sin(2? + )+ =sin π + = . 3 3 2 2 2 18. (⑴根据题意,得 (1 ? p1 )( p1 ? ) ?
8 1 9 32

,解得 p1 ?

1 4

或 p1 ?

5 8

.
1

4 1 3 1 5 ⑵由⑴的结论知,小李四次考核每次合格的概率依次为 , , , ……………(8 分) 4 8 2 8 1 3 1 15 ∴小李第四次参加考核的概率为 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? .……………(12 分) 4 8 2 64

∵ p1 ?

1 2

,∴ p1 ?

1 4

,即小李第一次参加考核就合格的概率为

.……………(6 分)

……………12 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵CA=CA1=AB=BB1=1,∴ABB1A1,ABB1A1 都是菱形,
1 ? 1 ? sin B ? 3 2 ,又∠ABB1 为锐角,∴∠ABB1=60°,

∵面积=

∴△ABB1,△AB1A1,△CAA1 均为边长为 1 的等边三角形. ………3 分 ∵侧面 AA1C1C⊥侧面 ABB1A1,设 O 为 AA1 的中点,则 CO⊥平面 ABB1A1, 又 OB1⊥AA1,∴由三垂线定理可得 CB1⊥AA1. ………… 7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,AA1⊥平面 CB1O(如图) , ∴BB1⊥平面 CB1O, ∴∠CB1O 是二面角 C-BB1-A 的平面角, ……………9 分
tan ? C B1 O ? CO O B1 ?1




5

∴二面角 C-BB1-A 的大小为 45°. 20. (本小题满分 12 分)
Sn ? 1 8 (an ? 2)
2

…………12 分

解: (I)∵ 两式相减得 ∴ ∴

,∴
2

S n ?1 ?

1 8

( a n ?1 ? 2 )

2


2

……………2 分 ,

8 a n ?1 ? a n ?1 ? a n ? 4 a n ?1 ? 4 a n
2

,∴

a n ?1 ? a n ? 4 a n ?1 ? 4 a n ? 0
2

( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 4) ? 0 a n ?1 ? a n ? 4 ? 0
1 8

,又

{a n }

是正数数列,
{a n }

,∴

a n ?1 ? a n ? 4

,∴

是等差数列.

……4 分



S1 ?

( a1 ? 2 )

2

,∴

a1 ? 2

,∴

a n ? 4 n ? 2, ( n ? N )
*


? 1 2n ? 1

……………6 分

(II)∵

an ? 4n ? 2

bn ?

2 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
1 3 1 5

?

1 2n ? 1

,∴
1 3


1

……7 分



T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? 1 ?

?

?

?? ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

? 1?

2 n ? 1 ,…9 分

∴对一切 n ? N ,必有
*

Tn ? 1



……10 分

2 故令 m ? m ? 5 ? 1 ,∴ m ? ? 2 或 m ? 3 ,

又 m ? 0 ,∴ m ? 3 .

…12 分

?

解:(Ⅰ)因为

,所以

.





处有极值,所以



……………………2 分

所以



所以



---------3 分

又因为

在区间

上是单调且单调性相反

6

所以

所以

-------------------------------5 分

(Ⅱ)因为

,且



的一个零点,

所以

,所以

,从而

.

所以

,令

,所以



.

------------------7 分

列表如下:

(-2,0)

0

(0,2)

2

+



0



+

0

+







0









所以当

时,若

,则



时,若

,则

-----------------------10 分

从而







所以存在实数

,满足题目要求.……………………12 分

7

22.解:⑴直线 l : y ? 解①②得 x ?
3 2

3 x ? 2 3 ①,过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ?

3 3

x



.

∵椭圆中心 O(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上, ∴a
2

? 2?

3 2

?3

, ………(3 分)

c

∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0), ∴ c ? 2, a ? 6, b ? 2 ,故椭圆 C 的方程为
2 2

x

2

?

y

2

?1

③……………(6 分)

6

2

⑵当直线 m 的斜率存在时,设 m : y ? k ( x ? 2 ) 代入③并整理得
(3 k ? 1) x ? 12 k x ? 12 k ? 6 ? 0 ,
2 2 2 2

设 M ( x1 , y1 ),N ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ?

x2 ?

12k
2

2

3k ? 1

,

x1 ? x 2 ?

12k ? 6
2

3k ? 1
2

…………………(8 分)
2

∴ M N ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 点 O 到直线 m 的距离 ∵ S ? OMN 解得
? 1 2 MN ? d

2 6 (1 ? k ) 3k ? 1
2

,………(10 分)

d ?

2k 1? k
2

, ……………………………………(11 分)
6

, ∴

MN ? d ?

4 3

,即 2

6 (1 ? k )
2

3k ? 1
2

?

2k 1? k
2

?

4 3

6

k ? ?

3 3

,此时 m : y ? ?

3 3

( x ? 2)

…………………………………(13 分)
? 2 3 6

当直线 m 的斜率不存在时, m : x ? ? 2 ,也有 S ? OMN

故存在直线 m 满足题意,其方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 或 x ? ? 2 .……………(14 分)

8



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