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高三复习:排列组合问题的解题方法



排列组合问题的解题方法
一、特殊元素(或位置) “优先法” :排列组合问题无外乎“元素”与“位置”的关 系问题,即某个元素排在什么位置或某个位置上排什么元素的问题.因此,对于有限制条件 的排列组合问题,可从限制元素(或位置)入手,优先考虑. 例 1、在由数字 0、1、2、3、4、5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除 的数共有( )个. 解 1: (元素优

先法)根据所求四位数对 0 和 5 两个元素的特殊要求将其分为四类:①
1 3 1 3 含 0 不含 5,共有 C2 A4 =48(个);②含 5 不含 0,共有 C3 A4 =72(个);③含 0 也含 5,共有 1 1 2 4 =24(个).所以,符合条件的四位数共有 4 C2 C2 A4 =48(个);④不合 0 也不含 5,共有 A4

8+72+48+24=192(个). 解 2: (位置优先法)根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步:第一步:排
1 1 2 个位, 有 C4 种方法; 第二步; 排首位, 有 C4 种方法; 第三步: 排中间两位, 有 A4 种方法. 所 1 1 2 以符合条件的四位数共有 C4 =192(个). C4 A4

二、相邻问题“捆绑法” :对于元素相邻的排列问题,可先将相邻元素“捆绑”起来看 作一个元素(整体) ,先与其它元素排列,然后相邻元素之间再进行排列. 例 2、6 个人排成一排,甲、乙二人必须相邻的排法有多少种? 解:将甲、乙二人“捆绑”起来看作一个元素与其它 4 个元素一起排列,有 A5 种,甲、 5 乙二人的排列有 A2 种,共有 A2 · A5 =240 种. 2 2 5 三、不相邻问题“插空法” :对元素不相邻问题,可先不考虑限制条件先排其它元素, 再将不相邻元素插入已排好元素的空隙中(包括两端)即可. 例 3、用 1,2,3,4,5,6,7,8 组成没有重复数字的八位数,其中 1 与 2 相邻、3 与 4 相邻、5 与 6 相邻、7 与 8 不相邻的八位数共有 个. 解:先“相邻”排列成三个“大元素” ,再三个“大元素”排列,最后 7 与 8“插空” ,
2 2 3 2 共有 A2 2 A2 A2 A3 A4 ? 576 种.

四、有序问题“无序法” :对于元素顺序一定的排列问题,可先考虑没有顺序元素的排 列,然后除以有顺序的几个元素的全排列即可. 例 4、3 男 3 女排成一排,若 3 名男生身高不相等,则按从高到低的一种顺序站的站法 有多少种? 解:6 个人的全排列有 A6 种,3 名男生不考虑身高的顺序的站法有 A3 种,而由高到低 6 3 又可从左到右,或从右到左(这是两种不同的站法) ,故共有不同站法 2 A6 ÷ A3 =240 种. 6 3 五、分排问题“直排法” :n 个元素分成 m(m<n)排,即为 n 个元素的全排列. 例 5、将 6 个人排成前后两排,每排 3 人,有多少种排法.
3 解:6 个人中选 3 个人排在前排有 C3 种,剩下 3 人排在后排有 A3 种,故共有 3 6 A3

C6 A3 A3 = A6 =720 种.
六、分组与分配问题的解法 例 6、6 本不同的书,按以下要求各有多少种分法?⑴平均分成三组;⑵分成 1 本,2 本、3 本三组;⑶平均分给甲、乙、丙三人;⑷分给甲、乙、丙三人,一人拿 1 本,一人拿 2 本、一人拿 3 本;⑸甲得一本,乙得二本,丙得三本. 解:⑴此为平均分组问题,共有 C 6 C 4 C 2 ? 15 分法;⑵此为非平均分组问题,共有
3 !
2 2 2

3

3

3

6

CCC
1 2

1 6

2 5

3 ? 60 分法;⑶先分组,再排序,共有 3 3 1 2 3

C 6 C 4 C 2 ? 3!? 90 种分法;⑷先分组,再排序,
3 !

2

2

2

C6C5C3 A3 ? 360 分法;⑸共有 C6C5 C3 ? 60 分法.
【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题,搞清类型的归属对今后解题大有裨 益,其中:⑴均匀分组问题;⑵非均匀分组问题;⑶均匀不定向分配问题;⑷非均匀不定向 分配问题;⑸非均匀定向分配问题. 七、综合问题的解法:对排列组合的综合问题,由于限制条件较多而使问题较为复杂. 解此类问题时,应注意解题的基本策略与方法,抓住问题的本质,采用恰当方法求解. 1、分类分步法:解排列组合的综合问题,应遵循“按元素的性质进行分类,按事情的 发展过程进行分步”的原则,做到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏. 例 7、6 个人排成一排,甲不在排头,乙不在排尾的排法有多少种? 解:按元素甲分类:①甲在排尾,此时乙无任何限制条件地和其余 4 个元素排在一起, 有 A5 种排法;②甲不在排尾,而甲又不在排头,则甲有 A1 种排法,乙不在排尾也有 A1 种 5 4 4 排法,其它 4 人有 A4 种排法,共有 A5 + A1 4 5 4

3

A4 A4 =504 种.

1

4

2、排除法:对含有否定词的问题,也可从总体中把不符合条件的排法除去,此时应注 意不能多除,也不能少除. 例如:在例 8 中,6 个人的全排列有 A6 种,甲在排头的排法有 A5 种,乙在排尾的排 6 5 法有 A5 种,甲在排头且乙在排尾的排法有 A4 种,故共有 A6 - A5 - A5 + A4 =504 种. 5 4 6 5 5 4 3、集合思想 例 8、用 0、1、2、3、4、5、6 七个数字组成没有重复数字的五位数,若数字 3 不在百 位,数字 5 不在个位,共有多少个这样的五位数? 解:设 M={从七个数中任取五个数的排法},A={0 在首位的排法},B={3 在百位上的 排法},C={5 在个位上的排法},如图,则满足条件的五位数共有: card(M)-card(A)-card(B)-card(C)+card(A∩B)+card(B∩C)
4 3 2 +card(C∩A)-card(A∩B∩C)= A5 ? 3 A ? 3 A ? A ? 1608 个. 7 6 5 4

4、图示(表)法:对于某些综合问题,如暂无思路求解,可考虑回归课本,用树图、 框图或图表法求解. 例 9、同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人拿一张别人写的贺年卡,则四 张贺年卡的不同分配方法有多少种? 解: (树图法)如图,

共有 9 种不同的选法. 例 10、 3 男 3 女排成一排, 下列情形各有多少种排法.⑴男女相间.⑵甲乙之间恰隔二人. 解:⑴男女相间的站法有两类:男女男女男女,女男女男女男,共有 2 A3 · A3 =72 种; 3 3 ⑵甲乙之间恰隔二人有三类:甲××乙××,×甲××乙×,××甲××乙,因甲乙可
4 交换位置,故共有 3× A2 × A4 =144 种. 2

例 11、9 人组成的蓝球队中,有 7 人会打卫,3 人会打锋,现选 5 人,按 3 卫 2 锋组队 出场,有多少种不同的组队方法? 解:9 个人中 7 人会卫 3 人会锋,故有 1 人既会卫也会锋,则只会卫的有 6 人,只会锋 的有 2 人,见下表: 人数 6 人只会卫 2 人只会锋 1 人既卫又锋 结果 3 2 3 2 2 1 1(锋) 1(卫)

不 同 选 法

A6 A2
C6 A3 A2 A6C2 A2
3 1 2 2 3 2

3

2

2 3 2 2 3 1 2 故共有 A3 + C6 A3 A2 + A6C2 A2 =900 种方法. 6 A2

5、至多、至少问题间接法:对于含有 “至多” 、 “至少”的组合问题,分类讨论十分 麻烦,若用间接法处理,可使问题简化. 例 12、①某校要从 6 个班级中选出 10 人组成一个篮球队,要求每班至少选 1 人参加, 则这 10 个名额的不同分配方法有多少种? ②从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少含甲型与乙型电视机各一 台的不同选法有 种? 解:①(隔板法)因为名额之间无区别,所以可把它们视作排成一排的 10 相同的球, 要把这 10 个球分开成 6 段(每段至少有一个球) ,这样,第一种分隔方法都对应一种名额的 分配方法,这 10 个球之间(不含两端)共有 9 个空位,现要在这 9 个空位中放进 5 块隔板, 共有 C 5 =126 种放法,故共有 126 种分配方法. 9
3 ②(排除法)在被取出的 3 台中,不含甲型或不含乙型的取法分别为 C 3 4 与 C 5 种,故符

3 3 合题意的取法有 C 3 9 - C 4 - C 5 =70 种.

6、角色转换法:对元素可重复的排列组合问题,若将元素与位置互换,则可化为相异 元素的问题求解. 例 13、有 2 个 A,3 个 B,4 个 C 共 9 个字母排成一排,有多少种排法? 解:将字母作为元素,则这是九个元素排在九个位置上的“不尽相异元素的全排列” 问题.若将九个位置作为元素,则问题转化为“相异元素不许重复的组合问题” ,即共有

C9C7C4 ? 1260种不同的排法.

2

3

4

7、分组与分配问题的解法 例 14、6 本不同的书,按以下要求各有多少种分法?⑴平均分成三组;⑵分成 1 本,2 本、3 本三组;⑶平均分给甲、乙、丙三人;⑷分给甲、乙、丙三人,一人拿 1 本,一人拿 2 本、一人拿 3 本;⑸甲得一本,乙得二本,丙得三本. 解:⑴此为平均分组问题,共有 C 6 C 4 C 2 ? 15 分法;⑵此为非平均分组问题,共有
3 !
1 6 2 5 3 ? 60 分法;⑶先分组,再排序,共有 3
2 2 2

CCC

C 6 C 4 C 2 ? 3! ? 90 种分法;⑷先分组,再排
3 !

2

2

2

2 3 3 1 2 3 序, C1 ? 360 分法;⑸共有 C C C ? 60 分法. 3 6C5 C3 A 6 5 3

【注】此例中的每一个小题都提出了一种类型问题,搞清类型的归属对今后解题大有裨 益,其中:⑴均匀分组问题;⑵非均匀分组问题;⑶均匀不定向分配问题;⑷非均匀不定向 分配问题;⑸非均匀定向分配问题. 8、方程思想 例 15、球台上有 4 个黄球,6 个红球,击黄球入袋记 2 分,击红球入袋记 1 分。欲将此 十球中的 4 球击入袋中,且总分不低于 5 分,则击球方法有 种? 解:设击入黄球 x 个,红球 y 个,则有 x ? y ? 4 ,且 2 x ? y ? 5 (x,y ? N ) ,解得
?x ? 1 ?x ? 2 ? x ? 3 ?x ? 4 3 或? 或? 或? ,对应每组解的击球方法数分别为 C 1 1 ? x ? 4 ,∴ ? 4C 6 , y ? 3 y ? 2 y ? 1 y ? 0 ? ? ? ?

C 4C 6 , C 4C 6 , C 4C 6 ,∴不同的击球方法数为 C 4C 6 + C 4C 6 + C 4C 6 + C 4C 6 =195 种.
对排列组合的综合问题,常用方法是“先选之,再排之”.在分清分类与分步的标准与 方式的基础上,遵循两个原则:一是按元素的性质进行分类,二是按事情发生的过程进行分 步.在具体应用中,要注意“类”与“类”间的独立性与并列性和“步”与“步”间的连续 性.这要求我们要有周密的逻辑思维能力、 准确的计数能力和灵活正确运用基础知识的能力. 例 16、7 个人到 7 个地方去旅游,甲不去 A 地,乙不去 B 地,丙不去 C 地,丁不去 D 地,共有多少种旅游方案? 解: (排除法)7 个人去 7 个地方共有 A7 7 种可能.①若甲、乙、丙、丁都去各自不能去 的地方旅游,其余的人去剩下的地方有 A3 3 ? 6 种;②若甲、乙、丙、丁中有 3 人去各自不能
1 3 去的地方旅游,有 C 3 4 种,4 人中剩下的一人有 C 3 种,其余的人去剩下的地方有 A3 种,共

2

2

3

1

4

0

1

3

2

2

3

1

4

0

1 2 3 有 C3 4 C 3 A3 =72 种;③若甲、乙、丙、丁中有 2 人去各自不能去的地方旅游,有 C 4 种,余

下的 5 人去 5 个不同的地方有 A5 5 种,但其中又包括了有条件的 4 人中的两人(不妨设为甲
1 3 乙)同时去各自不能去的地方有 A3 3 种和这两人中有一人去各自不能去的地方有 2 A3 A3 种,

3 1 3 故共有 C 2 ( A5 5 - A3 - 2 A3 A3 )=468 种;④若甲、乙、丙、丁中有 1 人去各自不能去的 4·

地 方 旅 游 , 有 C1 4 种,而余下的 6 个人的旅游方案仍与③的想法一致,共有

C 4[ A6 ? A3 ? C 3( A4 ? A3) ? C 3( A5 ? A3 ? 2 A3 A3)] ? 1704 种.
1 6 3 2 4 3 1 5 3 1 3

故满足条件的不同旅游方案共有 A7 7 -(6+72+468+1704)=2790 种. 例 17、三个学校分别有 1 名、2 名、3 名学生获奖,这 6 名学生排成一排合影,则同校 的任何两名学生都不能相邻的排法有 种. 解: 由题意可分两类: ①先在 6 个位置上排第一个学校的三名学生, 两两不相邻 (如图) , 3 名学生每两名隔一个空位有 2 种排法,剩下 的三个空位中再选 2 个排第二个学校的 2 名同学,最后一名同学自动确定位子,此时有
2 2 ②第一个学校的 3 名同学中有两名中间隔两个位子的有两种排法 (如 2 A3 3C 3 A2 ? 72 种排法;

图) , 剩下的 3 个位子中,挨着的两个不能同时选,所以从另外两个中选,最后一名同学自动确定
1 2 位子,此时有 2 A3 3C 2 A2 ? 48 种排法.故满足题设条件的排法共有 120 种排法.

试题集粹: 1、从数字 0、1、3、5、7 中取出不同的三个作系数组成一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 , 其中有实根的方程共有 个. 2、 将 6 名运动员分成 4 组, 由 5 名教练员分成 4 组分别辅导, 不同的分配方法有 种. 3、身高互不相同的 6 个人排成 2 横行 3 纵列,在第一行的每个人都比他同列的身后的 人个子矮,则所有不同排法共有 种. 4、 乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员, 派 5 名参加比赛.3 名主力队员要安排在第 一、 三、 五位置, 其余 7 名队员中选 2 名安排在第二、 四位置, 则不同的出场安排有 种. 5、用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶 性不同,且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是__________(用数字作答) . 6、某小组 12 位同学毕业前夕要留影,要求排成前 5 后 7 两排,组长站在前排正中间, 两位女生甲、乙站前排且不相邻,则共有排法种数有 种. 7、5 个人有相应的 5 个指纹档案,每个指纹档案上都记录有相应人的指纹痕迹,并有检 测指示灯和检测时的手指按扭.5 个人中某人把手指按在键扭上,若是他的档案,则指示灯 出现绿色,否则出现红色.现在这 5 人把手指按在 5 个指纹档案的按扭上去检测,规定一个 人只能在一个档案上去检测, 且两个人不能在同一档案上去检测, 此时指示灯全部出现红色 的情况共有 种. 8、如图,某城市开发旅游资源,现开发出 A、B、C、D、E、F 六个旅游景点.该城市某 旅行社根据游览景点次序不同而制定团体旅游方案,因为 A 景点离火车 站最近,根据团体来的时间,决定最先或最后旅游 .对于同一交通线路 上的 B、C,可按先远后近或先近后远的方式方式游览,其余不作要求. 则可制定不同的旅游方案 种. 参考答案:⑴18;⑵15600;⑶90;⑷252;⑸40;⑹2903040;⑺44;⑻96.



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