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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第46课时 空间图形的基本关系和公理 理



课题:空间图形的基本关系和公理
考纲要求:①理解空间直线、平面位置关系的定义;②了解可以作为推理依据的公理和定 理;③理解两条异面直线所成的角;④能证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 教材复习

1. 平面的基本性质:
名称 图示 文字表示 符号表示

公理 1

?
公理 2

A

B
l

? A?l ? ? B?l ?l ?? ? A ? ? ? ? ?B ? ?

B A C ?

P ?? 且 P ? ? ?

公理 3

?

? ? l 且 P ?l

公理 1 作用:①作为判断和证明是否在平面内的依据;②证明点在某平面内的依据;③检 验某面是否平面的依据. 公理 2 作用:①作为判断和证明两平面是否相交;②证明点在某直线上;③证明三点共 线;④证明三线共点. 公理 3 及其推论作用:公理 3 及其推论是空间里确定平面的依据,也是证明两个平面重 合的依据,还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.

①定义:设 a , b 是两条异面直线,经过空间中任一点 O 作直线 a? ∥ a , b ? ∥ b , a? 把 与 b ? 所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角). ②范围: . 3. 直线与平面的位置关系: 位置关系 直线 l 在平面 ? 内 直线 l 与平面 ? 相交 图示 符号表示 公共点个数 个

?1? 位置关系的分类:共面直线: ? 2 ? 异面直线所成的角:

2. 直线与直线的位置关系:



;异面直线:

.

?
l

l

l ??
l ??A



?

A

l

333

?

直线 l 与平面 ? 相交

l ∥?



4. 两个平面的位置关系:
位置关系 图示 符号表示 公共点个数

两平面平行



两平面相交



5. 平行公理:平行于 的两条直线 . 6. 定理: 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角
基本知识方法 1. 证明共线、共面、共点问题的方法:

.

2. 证明三点均在两个平面的交线上,可以推证三点共线. 3. 证明直线共面通常的方法: ?1? 先由其中两条直线确定一个平面,再证明其余的直线都
重合法) ;也可利用共面向量定理来证明.

在此平面内 (纳入法) ;? 2 ? 分别过某些点作多个平面, 然后证明这些平面重合 (同一法、

4. 公理 2 是证明直线共点的依据,应该这样理解: ?1? 如果 A 、 B 是交点,那么 AB 是交 线; ? 2 ? 如果两个不同平面有三个或者更多的交点,那么它们共面; ? 3? 如果 ? ? ? l , 点 P 是?、?的一个公共点,那么 P ? l 5. 证明两直线为异面直线的方法:
①定义法(不易操作).②反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行 或相交,
334

由假设的条件出发,经过严 密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法 在异面直线的判定中经常用到.③客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一 点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线 6. 求两条异面直线所成的角,首先要判断两条异面直线是否垂直,若垂直,则它们所成的 角为 90 ? ;若不垂直,则利用平移法求角,一般的步骤是“作(找)—证—算-取舍”.注 意,异面直线所成角的范围是 ? 0, ? ;求异面直线所成角的方法:①平移法:一般情况下 2

? ?

π? ?

应用平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法:设 a 、b

分别为异面直线 a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角 ? ? arccos

ab a b

;③补体法.

典例分析: 考点一 平面基本性质的应用 问题 1. ?1? ①空间中不同的三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合; ③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、 四边形都是平面图形;⑥两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的 命题是

? 2 ? ( 06 上海)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”
是“这四个点在同一平面上”的 A. 充分非必要条件; B. 必要非充分条件; C. 充要条件; D. 非充分非必要条件.

? 3? 如图, ?

? ? l , A 、 B ?? , C ? ? ,
A M

且 C ? l ,直线 AB l ? M ,过 A 、 B 、 C 三点 的平面记作 ? ,则 ? 与 ? 的交线必通过

B

?

A. 点 A ; B. 点 B ; C. 点 C 但不通过点 M ; D. 点 C 和点 M

l
C

?

? 4 ? ( 09 湖南文)平面六面体 ABCD ? A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的
条数为

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 o.m

335

? 5? ( 07 江苏)如图,已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长
为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上, ②略;③略. 且 AE ? FC1 ? 1 .①求证: E, B, F , D1 四点共面; ( 4 分) C1
B

B

D1

A1 B1
E

F
B B

D
B

A
B

问题 2. ?1? 如图所示,空间四边形 ABCD 中, E 、 F 、G 分别在 AB 、 BC 、CD 上, 且满足 AE : EB ? CF : FB ? 2 :1 ,CG : GD ? 3 :1 , 过E 、

C

B

F 、G 的平面交 AD 于 H , 连接 EH . ?1? 求 AH : HD ;? 2 ? 求证:EH 、 FG 、 BD 三线共点.

? 2 ? 空间四条直线,每两条都相交,每三条不共点,求证:这四条直线共面。

考点二:空间图形的基本关系 问题 3. ?1? ( 09 安徽文)对于四面体 ABCD ,下列命题正确的是_____ (写出所有正 确命题的编号).①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是 △BCD 的三条高线的交点; ③若分别作 △ ABC 和 △ ABD 的边 AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积; ⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

336

? 2 ? ( 2012 安徽文)若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等,即 AB ? CD , AC ? BD ,
AD ? BC ,则 (写出所有正确结论编号) ①四 面体 ABCD 每组对棱相互垂直;②四面体 ABCD 每个面的面积相等;
③从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90 ? 而小于 180? ;④连接四 面体 ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分;⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱 的长可作为一个三角形的三边长.

考点二:异面直线的判定 问题 4. ( 09 辽宁文)如图,已知两个正方形 ABCD 和

DCEF 不在同一平面内,M , N 分别为 AB , DF 的中 点. ?1? 若 CD ? 2 ,平面 ABCD ⊥平面 DCEF ,求直线 MN 的长;? 2 ? 用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异
面直线. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

问题 5.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 棱长 AA 1 ? a ,求证: AA 1 是异面直线; 1 与 BD

D1

C1 B1
D

A1

C
B

A
考点三:异面直线所成的角

337

E F AB 问题 6. ( 07 上海春)在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 、 分别是 A 1B 1、
的中点,求异面直线 A1F 与 CE 所成的角( 要求用传统方法和向量法,注意书写的规范 性). 解法 1(传统方法) :

D1

C1
E

A1

B1
D

C

A 解法 2(向量法) : B F

D1

C1
E

A1

B1
D

C

课后作业:

A B F b 是异面直线,直线 1. 若直线 a 与 b 与 c 是异面直线,则直线 a 与 c 的位置关系是 2. ( 09 年广东省湛江师范学院附中高考模拟)已知直线 a、 b 是异面直线,直线 c、 d 分别 与 a、 b 都相交,则直线 c、 d 的位置关系 A. 可能是平行直线 B. 一定是异面直线 C. 可能是相交直线 D. 平行、相交、异面直线都有可能

3. ( 09 年广东省湛江市实验中学高三第四次月考)给出下面四个命题: ①过平面外一点,作与该平面成 ? 角的直线一定有无穷多条
②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行 ④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等 其中正确的命题序号为

4. ( 08 届安徽省皖南八校高三第一次联考)已知 ABCD ? A1B1C1D1 G ,则 G 为 为长方体,对角线 AC1 与平面 A 1BD 相交于点 A △A1BD 的 A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心



C B

D1

C1 B1
338

A1
5. 如图, B 、 F 、 G 、 H 分别是空间四边形 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上的 /

点,且 EH 与 FG 相交于点 O .求证: B, D, O 三点共线.

D1 6. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,对角线 AC 1 与平面 BDC1 交于 O , AC 、 BD 交于点 M .求证:点 C1 、 O 、 M 共线. A1

C1 B1

7. 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别 是 AB 、 AA1 的中点,求证: ① E 、 C 、 D1 、 F 四点共面; A1 ② CE 、 D1F 、 DA 三线共点.
F A

D

O C M B

D1

A

C1

B1
D

C
B

E

8. 如图,在空间四边形 ABCD 中,已知 AD ? 1 ,

BC ? 3 ,且 AD ? BC ,对角线 BD ?
AC ? 3 ,求 AC 与 BD 所成的角. 2

13 , 2

A

B

D

C

339

走向高考: 1. ( 2013 安徽)在下列命题中,不是公理 的是 ..

A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B. 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 D. 如果两个不重合的平面 有一 个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

2. ( 2013 安徽)如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1 , P 为 BC 的中点, Q 为线 段 CC1 上的动点, 过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S .则下列命题正确的是
(写出所有正确命题的编号).

1 1 时,S 为四边形; ②当 CQ ? 时,S 2 2 3 为等腰梯形;③当 CQ ? 时, S 与 C1D1 的交点 R 满 4 1 3 足 C1 R ? ;④当 ? CQ ? 1 时, S 为六边形;⑤当 3 4
①当 0 ? CQ ?

CQ ? 1 时, S 的面积为

6 . 2

3. ( 2013 北京)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为 BC 的中点,点 P 在线段 DE 上,点 P 到直线 CC1 的距离的
最小值为

4. ( 2013 江西)如图,正方体的底面
与正四面体的底面在同一平面 ? 上,且 AB ∥ CD ,正方体的六个面所在的平面
340

与直线 CE , EF 相交的平面个数分别记 为 m, n ,那么 m ? n ?

5. ( 06 北京)平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? B. 一个圆 C. 一个椭圆 D. 双曲线的一支 于点 C ,则动点 C 的轨迹是 A. 一条直线 6. ( 06 北京文)设 A 、 B 、 C 、 D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确 的是 ... A. 若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B. 若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C. 若 AB ? AC , DB ? DC ,则 AD ? BC D. 若 AB ? AC , DB ? DC ,则 AD ? BC 7. ( 06 重庆)对于任意的直线 l 与平面 ? ,在平面 ? 内必有直线 m ,使 m 与 l A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 互为异面直线 8. ( 05 全国Ⅰ)在正方形 ABCD ? A? B?C?D? 中,过对角线 BD? 的一个平面交 AA? 于 E , 交 CC ? 于 F ,则 ① 四边形 BFD? E 一定是平行四边形; ② 四边形 BFD? E 有可能是正方形 ③ 四边形 BFD? E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形 BFD? E 有可能垂直于平面 BB? D
以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号)

9. ( 07 浙江)若 P 是两条异面直线 l , m 外的任意一点,则 A. 过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都平行 B. 过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都垂直 C. 过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都相交 D. 过点 P 有且仅有一条直线与 l , m 都异面
10. ( 05 天津)如图, PA ? 平面 ABC , ?ACB ? 90? , 且 PA ? AC ? BC ? a ,则异面直线 PB 与 AC 所成角
的余弦值为

P

11. ( 06 江西文)如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA 、 OB 、 OC 两两垂直,且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 ,
E 是 OC 的中点. ?1? 略; ? 2 ? 求异面直线 BE 与 AC 所成的角; A

A

C

? 3? 略.
O
E

B

C
341

B



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