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双曲线的简单几何性质PPt



x y 1.已知方程 m -1+ 3-m =1
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的 取值范围是
2 2

2

2

.

x y ? ? 1 表示双曲 2.如果方程 4? m m ?1 线,求m的取值范围.

x2 y2 3.已知方程 ? ?1 8?k k ?2

(1)方程表示椭圆,则k的取值范围是 ________________ ; (2)方程表示双曲线,则k的取值范围是_______________.

双曲线的 简单几何性质(1)

一、复习回顾:
1.双曲线的标准方程: 形式一: x 2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b F1 -c,0)、F( (焦点在x轴上,( 2 c,0)) 形式二: y 2
x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

F1 0,-c)、( (焦点在y轴上,( F2 0,c))
其中 c ? a ? b
2 2 2

2.椭圆的图像与性质:
标 准 方 程
范 围

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

Y
B2

|x|?a,|y|≤b
关于X,Y轴, 原点对称

对称性

顶点 焦 点
对称轴 离心率

(±a,0),(0,±b) (±c,0) X轴、Y轴
e? c a

A1

F1

o

A2

F2

X

B1

二、讲授新课:
x2 y 2 一、研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的简单几何性质 a b

1、范围

y
(-x,y) -a (-x,-y) (x,y)

x 2 2 ? 2 ? 1,即x ? a a ? x ? a, x ? ?a 2、对称性

2

o a
(x,-y)

x

关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心。

3、顶点
(1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点

顶点A1 (?a,0)、A2 (a,0)

只有两个!

(2)如图,线段 A1A2叫做双曲

线的实轴,它的长等于2a,

a叫做双曲线实半轴长;
线段 B1B2 , 叫做双曲线的 虚轴,它的长为 2b,b 叫做 双 曲 线 的 虚 半 轴 长
b

y

B2
o a A2 x

A1 -a

-b B 1

4、渐近线

x2 y 2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b

把两条直线 y ? ? b x 叫做双曲线的渐近线。

a

y
B2

b y? x a

A1

O

A2

x
b y?? x a

B1

x y 特殊地, 在方程 2 ? 2 ? 1中, a b

2

2

如果 a=b, 那么双曲线的方程为 x ? y ? a
2 2

2

它的实轴和虚轴都是2a, 渐近线方程y=±x, 他们互相垂直且 平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长 的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围:

? c>a>0 ? e >1
(3) e是反映双曲线开口大小的一个量,

e越大开口越大!

双曲线的渐近线的求法:

x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) a b b 直线y ? ? x叫做双曲线的渐进线. a
x2 y2 3 ? ? 1的渐进线为:y ? ? x 4 3 2

y

b y? x a

O

x
b y?? x a

x2 y2 ? ? 1的渐进线为: 2 2

y ? ?x

等轴双曲线 e ? 2
反之,e= 2的双曲线一定是等轴双曲线吗?

焦点在x轴上的双曲线的几何性质
x2 y2 双曲线标准方程: 2 ? 2 ? 1 a b

1、 范围: x≥a或x≤-a 2、对称性: 关于x轴,y轴,原点对称。 3、顶点: A1(-a,0),A2(a,0)
A1

Y
B2

X
A2

4、轴:实轴 A1A2 虚轴 B1B2

b 5、渐近线方程: y ? ? x a c
e= 6、离心率:

B1

a

B2

. .
B2 A2

图形

. .
F1(-c,0)
F1

y

y
F2

A1 A2
O

F2(0,c)
B1

B1 F2(c,0)

F2

x

A1 O F1

x F1(0,-c)

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线

x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b
关于x轴、y轴、原点对称 A1(0,-a),A2(0,a)

x ? a 或 x ? ?a,y ? R y ? a 或 y ? ?a,x ? R
关于x轴、y轴、原点对称 A1(- a,0),A2(a,0)

c e? a

(e ? 1)

b y?? x a

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

例题讲解

例1 :求双曲线 9y ?16x
2

2

? 144 的实半轴长,虚半轴长,
y 4
2 2

焦点坐标,离心率,渐近线方程。 解:把方程化为标准方程
? x 3
2 2

? 1

可得:实半轴长a=4; 虚半轴长b=3 半焦距c= 离心率:
42 ? 32 ? 5

焦点坐标是(0,-5),(0,5)

c 5 e? ? a 4

渐近线方程:

4 y?? x 3

5 例2:已知双曲线顶点间的距离是16,离心率e ? 4 , 焦点在x轴上,中心在原点,写出双曲线的方 程,并且求出它的渐近线和焦点坐标.
x2 y2 解:依题意可设双曲线 的方程为 2 ? 2 ? 1 a b
c 5 又 ? e ? ? ,? c ? 10 a 4

? 2a ? 16,即a ? 8

?b2 ? c 2 ? a 2 ? 102 ? 82 ? 36
x2 y 2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 64 36 3 ? 渐近线方程为 y ? ? x 4

焦点F1 (?10,0), F2 (10,0)

例题讲解

例3 :求下列双曲线的标准方程:
x2 y2 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点 16 4

x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 ( ? 3, 2 3 ) ; 9 16

x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ∴? 解之得 ? ?1 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 9 2 2 4 ?b2 ? 4 ? ( ?3) ? (2 3) ? 1 ? 2 2 4 ? b ? a

法二:巧设方程,运用待定系数法 . 2 2 ⑴设双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,
9 16

( ?3)2 (2 3)2 ? ? ?? 9 16

1 ?? ? 4

x2 y2 ? 双曲线的方程为 ? ?1 9 4 4

根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) . ⑵与双曲线 ? 16 4
法一:直接设标准方程,运用待定系数法 x2 y2 ⑵解:设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) a b ? a 2 ? b 2 ? 20 ? a 2 ? 12 ? 则? 解之得 ? 2 ? (3 2 )2 2 2 或设 b ?8 ? ? ? ? 1 ? 2 2
? a b

x2 y2 ? ?1 ∴双曲线方程为 12 8

x2 y2 ? ? 1, 2 2 m 20 ? m 求得m2 ? 12(30舍去)

法二:设双曲线方程为
(3 2)2 22 ∴ 16 ? k ? 4 ? k ? 1

x2 y2 ? ? 1 ?16 ? k ? 0且4 ? k ? 0? 16 ? k 4 ? k
x2 y2 ? ?1 12 8

, 解之得k=4,

∴ 双曲线方程为

x y 巩固练习:1、求与椭圆 ? ? 1有公共焦点, 49 24 5 且离心率e ? 的双曲线方程。 4
解:由c 2 ? 49 ? 24 ? 25, 得c ? 5.? 焦点为( ? 5, 0), x2 y2 5 5 设共焦点的双曲线为 2 ? 2 ? 1, 然后由 ? 2 a 5 ?a a 4 2 2 x y 2 求得a ? 4, b ? 25 ? 16 ? 9, 可得 ? ? 1. 16 9

2

2

x2 y2 ? 1 有共同焦点,渐近线方程为 2、求与椭圆 ? 16 8

x ? 3y ? 0 的双曲线方程。
解: 椭圆的焦点在x轴上,且坐标为

F , 0),F ( , 0) 1 (?2 2 2 2 2
? 双曲线的焦点在x轴上,且c ? 2 2
3 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x 3 b 3 ? ? ,而c 2 ? a 2 ? b 2 , ? a 2 ? b 2 ? 8 a 3 解出 a 2 ? 6,b 2 ? 2 x2 y2 ? 双曲线方程为 ? ?1 6 2
?

练习:

3 x 1. 过点(1,2),且渐近线为 y ? ? 4 2 2 16 y ? 9 x ? 55 的双曲线方程是________.
2.求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点 P( 1,-3) 且离心率为
2

2的双曲线标准方程.
2

y x ? ?1 8 8



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