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高中数学一轮复习专题学案——指数函数与对数函数



12、指数函数与对数函数
一、知识点回顾 1、指数函数及其性质 1、 图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x

2、性质:指数函数: y ? a ?a ? 0, a ? 1? (1)图象恒过点(0,1)(2)单调性与 a 的值 , 有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图象 的简图(3)定义域是 (4)值域 2、对数函数及其性质
x

1、 图象: y ? log a x?a ? 0, a ? 1?

2、对数函数性质: y ? log a x?a ? 0, a ? 1?(1)图象恒过点(1,0)(2)单调性与 a 的 , 值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况进行讨论,要能够画出函数图 象的简图(3)定义域是 (4)值域 注意: (1) y ? a 与 y ? log a x 的图象关系是关于
x

对称;

(2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数,若底数不相同 时转化为同底数的指数或对数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 二、基础训练 1、 已知函数 y ? a
为 .
x

x?2

? 2( a ? 0, a ? 1)的图象恒过定点

A (其坐标与 a 无关) ,则定点 A 的坐标

2、如果指数函数 f ( x) ? (a ? 1) 是 R 上的单调减函数,那么 a 的取值范围是 3、已知函数 f ( x) ? lg(

.

2 ? a) 是奇函数,则 a ? 1? x
2

4、 f ( x) ? log 4 (2 x ? 3 ? x ) 的单调增区间是 5、函数 y ?

lg 2 x ? lg x 2 ? 3 的定义域是

6、关于 x 的方程 ( )

1 2

x

? log 1 x 的实数根的个数是
2

三、典型例题 例1、已知函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) 。
2

(1)若 f (x) 的定义域是 R ,求实数 a 的取值范围及 f (x) 的值域; (2)若 f (x) 的值域是 R ,求实数 a 的取值范围及 f (x) 的定义域。

例 2、已知函数 f ( x) ? 2

x ?1

?1

(1)作出函数 y ? f (x) 的图象; (2)若 a ? b ? c 且 f (a) ? f (b) ? f (c), 求证: 2 a ? 2 c ? 4

例 3、已知函数 f ( x) ? 的值域。

2x ? 1 2x ? 1

,试讨论(1)函数 f ( x) 的单调性;(2)函数的奇偶性; (3)求函数

例 4、设 f ( x) ? log 1

(1)求 f(x),并判断 f ( x) 在区间 ?1, ?? ? 内的单调性,证明之; (2)若对于区间 ? 3, 4 ? 上的每一个 x 值,不等式 f ( x) ? ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值
x

1 ? ax 为奇函数,为 a 常数. 2 x ?1

1 2

范围.

四、作业 1、函数 y=(

1 ) 3
x

x ?1

的值域是

. .

2、函数 y= a 在[-1,1]上最大值与最小值的差是 1,则 a= 3、 函数 y=3-|x|的单调递增区间是________. 4、直线 x=a(a>0)与函数 y=(

1 x 1 x x x ) ,y=( ) ,y=2 ,y=10 的图像依次交于 A、B、C、D 四点,则 3 2
。 个

这四点从上到下的排列次序是 5、方程 lgx=sinx 的实根有 6、关于函数 f ( x) ? lg

1? x ,有下列三个命题: 1? x

①对于任意 x ? (?1,1) ,都有 f ( x) ? f (? x) ? 0 ;② f (x) 在 (?1,1) 上是减函数; ③对于任意 x1 , x 2 ? (?1,1) ,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (

x1 ? x 2 ); 1 ? x1 x 2

其中正确命题的是 7、函数 y=f(x)的图像与函数 g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点对称,则 f(x)的表达式为

? 2? x x ? 1 1 8、设函数 f ( x ) ? ? ,满足 f ( x ) = 的 x 的值为 4 ?log 4 x x ? 1
9、若函数 f ( x) ? log a (
x

1 )(a ? 0且a ? 1 的定义域和值域都是[0,1],则 a= ) x ?1
x ?1

10、设关于 x 的方程 4 ? 2

? b ? 0, (b ? R)

(1)若关于 x 的方程有实数解,求实数 b 的取值范围。 (2)当方程有实数根时,讨论方程实数根的个数,并求出方程的解。

11、已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1)( a ? 1), 若函数 y ? g (x) 图象上任意一点 P 关于原点对称 点 Q 的轨迹恰好是函数 f (x) 的图象。 (1)写出函数 g (x) 的解析式 (2)当 x ? [0,1) 时总有 f ( x) ? g ( x) ? m 成立,求 m 的取值范围。



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