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参数方程解答题四


参数方程解答题四 1.在椭圆 7x2+4y2=28 上求一点,使它到直线 l:3x-2y-16 =0 的距离最短.

x2 y 2 2.设 AB 为过椭圆25+16=1 的中心的弦,F1 为椭圆的左焦点, 求△ABF1 面积的最大值.

3.连接原点 O 和抛物线 x2=2y 上的动点 M,延长 OM 到点 P, 使|OM|=|MP|,求点 P 的轨迹方程,并说明它是何种曲线.

1 解

x2 y2 椭圆 7x + 4y = 28 ,变形为 4 + 7 = 1 ,其参数方程为
2 2

? ?x=2cosθ, ? (θ 为参数). ?y= 7sinθ ?

设椭圆上点 P(2cosθ, 7sinθ). 由点到直线的距离公式,得 d= = |3×2cosθ-2× 7sinθ-16| 32+?-2?2

|6cosθ-2 7sinθ-16| 13

| 62+28cos?θ+φ?-16| = 13 = |8cos?θ+φ?-16| . 13 8 8 13 = 13 , 13

∴d 的最小值为

此时 cos(θ+φ)=1. ∴θ+φ=2kπ(k∈Z). 6 3 2 7 7 又 cosφ=8=4,sinφ= 8 = 4 , 3 ∴cosθ=cos(2kπ-φ)=cosφ=4, 7 sinθ=sin(2kπ-φ)=-sinφ=- 4 . 3 7 故 P 的坐标为(2,-4).
? ?x=5cosθ, x2 y2 2 解 椭圆25+16=1 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=4sinθ ?

∵AB 是过椭圆的中心(0,0)的弦, ∴设 A(5cosθ,4sinθ),B(5cos(θ+π),4sin(θ+π)). 1 ∴S△ABF1=2· c|4sinθ-4sin(θ+π)|=4c|sinθ|. 又 c= 25-16=3, ∴S△ABF1 的最大值为 4×3×1=12.

?x=2t, ? 3 解 设抛物线 x2=2y 的参数方程为? (t 为参数). 2 ? ?y=2t

∵点 M 在抛物线上, ∴M 的坐标为(2t,2t2). 设 P 的坐标为(x0,y0),由|OM|=|MP|知,M 为 OP 的中点,
? ?x0=4t, ∴? 消去参数 t,得 2 ? ?y0=4t .

1 2 y0=4x0 ,即点 P 的轨迹方程是 x2=4y,表示的为抛物线.


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