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高中数学文科第一轮复习课件55



了解双曲线的定义、掌握双曲线的几何图 形和标准方程,理解它的简单几何性质.

x2 y 2 1.   双曲线 ? =1的焦距为? 10 2 A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3

?

解析: 由已知得c 2 ? a 2 ? b 2 ? 12, 所以c ? 2 3,故焦距为4 3.

/>   2.已知双曲线的离心率为2,焦点是 ? ?4,0 ?,

? 4,0 ?,则双曲线方程为?
x2 y 2 A. ? ?1 4 12 x2 y 2 C. ? ?1 10 6

?

x2 y 2 B. ? ?1 12 4 x2 y 2 D. ? ?1 6 10

c 4 解析: 由已知有c ? 4,e ? ? ? 2, a a 所以a ? 2,b 2 ? 12. x2 y 2 所以双曲线的方程为 ? ? 1. 4 12

3.过双曲线x 2 ? y 2 ? 8的左焦点F1有一条弦PQ 在左支上,若 PQ ? 7,F2是双曲线的右焦点, 则?PF2 Q的周长是 ? A. 28 B. 14 ? 8 2

?
C. 14 ? 8 2 D. 8 2

解析: 由双曲线的定义知, PF2 ? PF1 ? 4 2, QF2 ? QF1 ? 4 2, 所以 PF2 ? QF2 ? ? PF1 ? | QF1 |? ? 8 2, 又 PF1 ? QF1 ? PQ ? 7, 所以 PF2 ? QF2 ? 7 ? 8 2, 所以?PF2 Q的周长为14 ? 8 2 .

x 2   4.已知双曲线 ? y ? 1,则其渐近线方程 4 是 ,离心率e ?   .
x 1 2 解析: 由 ? y ? 0,得y ? ? x, 4 2 即为渐近线的方程. 又a ? 2,b ? 1,所以c ? a 2 ? b 2 ? 5, c 5 所以e ? ? . a 2
2

2

x2 y 2   5.若双曲线C的焦点和椭圆 ? ?1 25 5 的焦点相同,且过点(3 2,,则双曲线 2) C 的方程是   .

解析: 由已知,c ? 25 ? 5 ? 20,
2

且焦点在x轴上,设双曲线C的方程为 ?a 2 ? b 2 ? 20 2 ?a ? 12 ? 求得 ? 2 , ? (3 2) 2 22 b ? 8 ? ? 1 ? ? b2 ? a2 2 2 x y 故所求双曲线的方程为 ? ? 1. 12 8

1.双曲线的定义 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值 为常数2a(且① _____________)的点的轨迹 叫双曲线,对该曲线上任一点M ,有 MF1 ? MF2 ||? 2a.在定义中,当② ______ 时表示两条射线,当③ ____________ 时, 不表示任何图形.

2.双曲线的标准方程

?1? 焦点在x轴上的双曲线:④ ________ ,其中 ⑤ __________ ,焦点坐标为F1 ? ?c,0 ?,F2 ? c,0 ?; ? 2 ? 焦点在y轴上的双曲线:⑥ ____________ ,
其中c 2 ? a 2 ? b 2,焦点坐标为F1 (0, ? c),F2 (0,c). x2 y 2 3.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的几何性质 a b ?1? 范围:⑦ __________ ,y ? R;

? 2 ? 对称性:对称轴x ? 0,y ? 0,对称中心 ? 0, 0 ?;

一般规律:双曲线有两条对称轴,它们分别 是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.

? 3? 顶点:A1 ? ?a,0 ?,A2 ? a,0 ?;实轴长⑧ ____ ,
虚轴长⑨ ________________ ; 一般规律:双曲线都有两个顶点,顶点是曲线 与它本身的对称轴的交点. c ? ?)内, ? 4 ?离心率e ? ,双曲线的离心率在(1, a 离心率确定了双曲线的形状.

x2 y 2 ? 5? 渐近线:双曲线 2 ? 2 ? 1的两条渐近线方程为 a b x2 y 2 ____ ;双曲线 2 ? 2 ? 1的两条渐近线方程为 ____. a b 双曲线有两条渐近线,它们的交点就是双曲线的中心 ;焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;有公共渐近线 的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线;b.放大的双曲线; c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准 方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准 方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程,即方程 x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 0就是双曲线 2 ? 2 ? 1的两条渐近线方程. 2 a b a b

【要点指南】 ①0<2a< F1 F2 ;② 2a ? F1 F2 ; x2 y 2 ③ 2a ? F1 F2 ;④ 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0); a b 2 2 y x 2 2 2 ⑤c ? a ? b ;⑥ 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0); a b ⑦ x ? a;⑧ A1 A2 ? 2a;⑨ B1 B2 ? 2b; b y ? ? x; a a y?? x b

题型一

双曲线定义的应用

x2 y 2 例1.如果双曲线 ? ? 1上一点P到双曲线右焦 4 2 点的距离是10,那么点P到左焦点的距离为(     ) A. 6 B. 14 C. 6或14 D. 2或18

解析: 因为 PF1 ? PF2 ||? 2a ? 4, PF2 ? 10, 所以 PF1 ? 6或14,故选C.

评析:本小题主要是应用双 曲线的第一定义求解问题.

2 素材1:已知动圆M 与圆C1: x ? 5 ? y ? 49 ? ? 2 2 和圆C2: x ? 5 ? y ? 1都外切,求动圆圆心 ? ? 2

M的轨迹方程.

?| MC1 |? R ? 7 解析: 设动圆半径为R,则 ? , ?| MC2 |? R ? 1 则 MC1 ? MC2 ? 6,可知动点M 的轨迹是 以C1,C2为焦点的双曲线的右支, x y 其方程为 ? ? 1? x ? 0 ?. 9 16
2 2

题型二

求双曲线的标准方程

例2. 根据下列条件,分别求出双曲线 的标准方程: x2 y 2 ?1? 与双曲线 ? ? 1有共同的渐近线, 9 16 且过点(?3, 2 3); x y ? 2 ? 与双曲线 ? ? 1有公共焦点, 16 4 且过点(3 2, 2).
2 2

解析: ?1? 方法1:由双曲线的方程 得a ? 3,b ? 4 4 所以渐近线方程为y ? ? x. 3 4 4 当x ? ?3时,y ? ? x ? ? ? ? ?3? ? 4>2 3, 3 3 所以所求的双曲线的焦点在x轴上. x2 y 2 设所求双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1. a b

解析:由题意,得 ?b 4 ? ? 2 9 ? ?a 3 ?a ? ,解得 ? 4, ? 2 2 2 ? ??3? ? ? 2 3 ? ? 1 ? b ? 4 ? ? b2 ? a2 x2 y 2 所以所求双曲线的方程为 ? ? 1. 9 4 4

x2 y 2 4 方法2:双曲线 ? ? 1的渐近线方程为y ? ? x, 9 16 3 x2 y 2 所以设所求双曲线的方程为 ? ? ?? ? 0). 9 16 1 将点(?3,2 3)代入得? ? ,故所求双曲线的 4 2 2 2 2 x y 1 x y 方程为 ? ? ,即 ? ? 1. 9 9 16 4 4 4

x y ? 2 ? 方法1:设所求双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1. a b 由题意易求得c ? 2 5. 又双曲线过点(3
2 2

2

2

3 2? ? 2,,所以 2) a
2 2 2

2

4 ? 2 ? 1. b
2

因为a ? b ? (2 5) ,所以a ? 12,b ? 8. x y 故所求双曲线的方程为 ? ? 1. 12 8
2 2

? 2 ? 方法2:设所求双曲线的方程为
x y ? ? 1? ?4 ? k ? 16 ?, 16 ? k 4 ? k 将点(3 2, 2)代入得k ? 4, x2 y 2 故所求双曲线的方程为 ? ? 1. 12 8
2 2

评析:待定系数法求双曲线方程最常用的设法: x2 y 2 ?1? 与双曲线 2 ? 2 ? 1有共同渐近线的双曲线 a b x2 y 2 方程可设为 2 ? 2 ? t (t ? 0); a b b ? 2 ? 若双曲线的渐近线方程为y ? ? x,则双曲线 a x2 y 2 方程可设为 2 ? 2 ? t (t ? 0); a b x2 y 2 ? 3? 与双曲线 2 ? 2 ? 1共焦点的双曲线方程可设 a b x2 y2 为 2 ? 2 ? 1? ?b 2 ? k ? a 2 ?; a ?k b ?k

评析: ? 4 ? 过两个已知点的双曲线方程可设为 x2 y 2 ? ? 1? mn ? 0 ?; m n x2 y 2 ? 5? 与椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 共焦点的双曲 a b x2 y2 2 2 线方程可设为 2 ? ? 1 b ? k ? a . ? ? 2 a ?k k ?b 合理利用上述结论求双曲线的方程可简化解 题过程,提高解题速度.

素材2.已知点P ? 0,6 ? 与双曲线 x y ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0)的两个焦 2 a b 点的连线互相垂直,且与两个顶 点连线的夹角为求双曲线 . 的方程.
2 2

解析:设F1、F2为双曲线的两个焦点, 依题意,它的焦点在x轴上. 因为PF1 ? PF2,且 OP ? 6, 所以2c ? F1 F2 ? 2 OP ? 12,所以c ? 6. 又P与两顶点连线的夹角为 , 3 所以a ? OP ? tan

?

?
6

? 2 3,所以b 2 ? c 2 ? a 2 ? 24,

x2 y 2 故所求双曲线的方程为 ? ? 1. 12 24

题型三

双曲线的几何性质

例3. 如图,F1和F2 分别是双曲线 x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的两个 2 a b 焦点,A和B是以O为圆心, 以 OF1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点, 且?F2 AB是等边三角形,则双曲线的离心率为(    ) A. 3 5 C. 2 B. 5 D.1 ? 3

解析: 连接AF1 . 由题意得?F1 AF2 ? 90?, ?AF2 F1 ? 30?, F1 F2 ? 2c, AF1 ? c, AF2 ? 3c, 2a ? AF2 ? AF1 ? 3c ? c, 2c 2c 则双曲线的离心率为e ? ? ? 3 ? 1, 2a 3c ? c 故选D.

评析:本题的关键是将平面几何的性 质转化为双曲线的特征量之间的关系.

x2 y 2 素材3.已知F1,F2为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) a b 的焦点,过F2作垂直于x轴 的直线交双曲线于点P, 且?PF1 F2 ? 30?,则双 曲线的渐近线方程为    .

解析:方法1:设F2 ? c,0 ? (c>0),P(c,y0 ),
2 c 2 y0 b2 b2 则 2 ? 2 ? 1,解得y0 ? ? ,所以 PF2 ? , a b a a 在Rt ?PF1 F2中,?PF1 F2 ? 30?

3b 2 所以 F1 F2 ? 3 PF2 ,即2c ? , a b 2 2 2 2 2 又c ? a ? b ,故有b ? 2a ,所以 ? 2, a 故所求双曲线的渐近线方程为y ? ? 2 x.

解析:方法2: PF1 ? 2 PF2 ,由双曲线的 定义可知 PF1 ? PF2 ? 2a,得 PF2 ? 2a. b2 b2 因为 PF2 ? ,所以 ? 2a, a a b 2 2 所以b ? 2a ,所以 ? 2, a 故双曲线的渐近线方程为y ? ? 2 x.

题型四

双曲线的综合应用

x2 y2 例3.已知双曲线C: ? ? 1(0 ? l ? 1)的右 1? ? ? 焦点为B,过点B作直线交双曲线C的右支于 M 、N 两点,试确定l的取值范围,使 OM ? ON ? 0,其中点O为坐标原点.

分析:联立直线方程与双曲线 方程,寻找交点坐标的关系.

由已知易求得B ?1,0 ?.

解析: 设M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ), ①当MN 垂直于x轴时,MN的方程为x ? 1.

设M (1,y0 ),N (1, ? y0 ) ? y0 ? 0 ?. 由OM ? ON ? 0,得y0 ? 1,所以M ?1,1?,N (1, ? 1). 又M ?1,1?,N (1, ? 1)在双曲线C 上, 1 1 所以 ? ? 1,所以? 2 ? ? ? 1 ? 0, 1? ? ? ?1 ? 5 5 ?1 所以? ? .因为0 ? ? ? 1,所以? ? . 2 2

解析: ②当MN 不垂直于x轴时,设MN的 ? x2 y2 ? ?1 ? 方程为y ? k ? x ? 1?.由?1 ? ? ? , ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 得[? ? (1 ? ? )k ]x ? 2(1 ? ? )k x ? (1 ? ? )(k ? ? ) ? 0. 由题意知,? ? (1 ? ? )k 2 ? 0, ?2k 2 ?1 ? ? ? ??1 ? ? ?? k 2 ? ? ? 所以x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? , 2 2 ? ? ?1 ? ? ?k ? ? ?1 ? ? ?k
2 2 k ? 2 于是y1 y2 ? k ? x1 ? 1?? x2 ? 1? ? . 2 ? ? ?1 ? ? ?k

解析:因为OM ? ON ? 0, 且M、N在双曲线的右支上,

? ? 1 ? ? ? ? 2 x x ? y y ? 0 ? 1 2 k ? 2 1 2 ? ? ? ? ? ? ?1 所以 ? x1 ? x2 ? 0 ?? ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ? 1 2 ? 1? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 5 ?1 2 ? 2 ? ? ? ? ? ?1 1? ? ? ??? . 2 3 2 ? ?? ? ? ? 1 ? 0
5 ?1 2 由①②知, ?? ? 2 3

评析:直线与双曲线的位置关系与 直线与椭圆的位置关系有类似的处 理方法,但要注意联立后得到一元 二次方程的二次项系数能否为零.

x2 y 2 素材4. 双曲线C与椭圆 ? ? 1有相同的 8 4 焦点,直线y ? x为双曲线C的一条渐近线.

?1? 求双曲线C的方程; ? 2 ? 过点P ? 0, 4 ?的直线l,交双曲线C于A、B
两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合). 8 当PQ ? ?1 QA ? ?2 QB,且?1 ? ?2 ? ? 时, 3 求Q点的坐标.

x y 解析: ?1? 设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1. a b 2 2 x y 由椭圆 ? ? 1,求得两焦点为? ?2,0 ?, ? 2,0 ?, 8 4 所以对于双曲线C有c ? 2, 又y ? 3x为双曲线C的一条渐近线, b 所以 ? 3,所以a 2 ? 1,b 2 ? 3, a 2 y 2 所以双曲线C的方程为x ? ? 1. 3

2

2

解析: ? 2 ?由题意知,直线l的斜率k 存在且 不等于零.设l的方程为y ? kx ? 4,A( x1,y1 ), 4 B ( x2,y2 ),则Q ( ? ,.因为 0) PQ ? ?1 QA, k 4 4 所以(? , ? 4) ? ?1 ( x1 ? ,y1 ), k k 4 4 ? x1 ? ? ? 4 ? 4 ? k ?1 k ?? ? ?1 ( x1 ? ) ? 所以 ? k k ?? 4 ? ? y1 ? ? ??4 ? ?1 y1 ? ?1 ?

解析:因为A( x1,y1 )在双曲线C 上, 16 1 ? ?1 2 16 所以 2 ( ) ? 2 ? 1 ? 0, k ?1 3?1 16 2 2 2 所以16 ? 32?1 ? 16? ? k ? k ?1 ? 0, 3 16 2 2 2 所以 ?16 ? k ? ?1 ? 32?1 ? 16 ? k ? 0. 3 16 2 2 2 同理有 ?16 ? k ? ?2 ? 32?2 ? 16 ? k ? 0. 3
2 1

解析:若16 ? k 2 ? 0,则直线l过顶点, 不合题意.所以16 ? k 2 ? 0. 所以?1、?2是一元二次方程 16 2 ?16 ? k ? x ? 32 x ? 16 ? 3 k ? 0的两根. 32 8 2 所以?1 ? ?2 ? 2 ? ? ,所以k ? 4, k ? 16 3 此时,? ? 0,所以k ? ?2.
2 2

所以所求Q的坐标为(?2,0).

x 备选例题已知椭圆C1的方程为 ? y 2 ? 1,双 4 曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点, 而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

2

?1? 求双曲线C2的方程; ? 2 ? 若直线l:y ? kx ? 2与双曲线C2 恒有两个不
求k的取值范围.

同的交点A和B,且OA ? OB ? 2(其中O为原点),

解析: ?1? 设双曲线C2的方程为: x y ? 2 ? 1(a>0,b>0), 2 a b 2 2 则a ? 4 ? 1 ? 3,c ? 4, 再由a ? b ? c ,得b ? 1,
2 2 2 2 2 2

x 故C2的方程为 ? y 2 ? 1. 3

2

x2 2 2 将 y ? kx ? 2 代入 ? y ? 1, ? ? 3 2 2 得 ?1 ? 3k ? x ? 6 2kx ? 9 ? 0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,
2 ? 1 ? 3 k ?0 ? 得? , 2 2 2 ? ? ?? 6 2 k ? ? 36 ? 1 ? 3 k ? ? 36 ? 1 ? k ??0 ? ? 1 2 所以k ? 且k 2 ? 1.①设A( x1,y1 ),B ( x2,y2 ), 3 6 2k ?9 则x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? . 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

所以x1 x2 ? y1 y2 ? OA ? OB ? ( x1,y1 ) ? ( x2,y2 ) ? x1 x2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2)
2 3 k ?7 2 ? ? k ? 1? x1 x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 2 ? 2 . 3k ? 1 又因为OA ? OB ? 2,得x1 x2 ? y1 y2 ? 2,

3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 所以 2 ? 2.即 2 ? 0,解得 ? k 2 ? 3,② 3k ? 1 3k ? 1 3 3 3 综合①②,得k的取值范围为(?1, ? ) ( , 1) 3 3

1.双曲线中的参变量a,b,c有关系式c 2 ? a 2 ? b 2 成立,且a ? 0,b ? 0,c ? 0.其中a与b的大小关系, 可以为a ? b,a ? b,a ? b. 2.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的 “六点” (两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点), “四线” (两条对称轴、两条渐近线),“两形” (中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形,双曲线上一点 和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系. 3.椭圆是封闭性曲线,而双曲线是开放性的. 又双曲线有两支,故在应用时要注意在哪一支上.

4.根据方程判定焦点的位置时,注意 与椭圆的差异性. 5.求双曲线的标准方程时应首先考虑 焦点的位置,若不确定焦点的位置时, 需进行讨论,或可直接设双曲线的方程 为Ax 2 ? By 2 ? 1? AB ? 0 ?. x2 y 2 6.与双曲线 2 ? 2 ? 1共渐近线的双 a b x2 y 2 曲线方程为 2 ? 2 ? ? (? ? 0). a b

7.双曲线的形状与e有关系: b c ?a c 2 k? ? ? ? 1 ? e ? 1, 2 a a a e越大,即渐近线的斜率的绝对值就
2 2 2

越大,这时双曲线的形状就从扁狭 逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的 离心率越大,它的开口就越开阔.

已知定圆F1:x ? y ? 10 x ? 24 ? 0,
2 2

定圆F2:x ? y ? 10 x ? 9 ? 0,
2 2

动圆M 与定圆F1,F2都外切, 求动圆圆心M 的轨迹方程.

错解:定圆F1: ? x ? 5? ? y 2 ? 1,
2

圆心F1 ? ?5,0 ?,半径r1 ? 1.
2 2 定圆F2: x ? 5 ? y ? 4 ,圆心F2 ? 5,0 ?,半径r2 ? 4. ? ? 2

设动圆M 的半径为R,则有 MF1 ? R ? 1, MF2 ? R ? 4, 所以 MF2 ? MF1 ? 3, 故M 点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线, 3 且a ? ,c ? 5, 2 4 2 4 2 所以双曲线方程为 x ? y ? 1. 9 91

错解分析:实际上本题所求的轨迹应该是 双曲线的一支,而非整条双曲线,上述解 法忽视了双曲线定义中的关键词“绝对值”.
正解: 由 MF2 ? MF1 ? 3,可得 MF2 ? MF1 , 即点M 到F2 ? 5,0 ?的距离大于点M 到F1 ? ?5, 0 ?的距 离,所以点M 的轨迹应该是双曲线的左支, 4 2 4 2 3 故轨迹方程为 x ? y ? 1( x ? ? ). 9 91 2



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