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福建省三明市第一中学2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试题



三明一中 2015-2016 学年高一上学期第二次月考 数学试卷 (考试时间:120 分钟 满分:100 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,请把答案填在答题卷相应的位置上. 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , M ? ?2,3, 4? , N ? ?0,1, 2,3? ,则

图中阴影部分所表示的集 合为( A. ?2,3? ) B. ?0,1, 2? C. ?1, 2,3? D. ?0,1? )

2.已知 ? 角的终边过点 ?1, 3 ,则 tan ? ? ( A.

?

?

1 2

B. ?

1 2

C. ? 3

D.

3 2


3.已知四边形 ABCD 是平行四边形,对角线相交于点 O ,则下列等式中成立的是(

??? ? ??? ? ??? ? A. BC ? BA ? AC
C. AO ? 4. sin x ?

??? ? ??? ? ??? ? B. AB ? AC ? BC
D. AD ? CB

????

? 1 ???? 1 ??? AB ? AD 2 2

1 ?? ? ,则 sin ? ? x ? ? tan ?? ? x ? 的值为( 2 ?2 ?
B. ?



A.

1 2
3

1 2
x

C.

3 2
C. y ? sin x ) D. 3

D. ? )

3 2
D. y ? tan x

5.下列函数是奇函数,且在定义域内是增函数的是( A. y ? x B. y ? 2
x

6. 函数 f ?x ? ? e ? 2 x ? 2 的零点个数为( A. 0 B. 1 C. 2

7.已知函数 f ? x ? ? Asin ?? x ? ? ? ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? 则 f ?x ? 的解析式为( )

?
2

)的部分图象如下图所示,

A. f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

? ?

??
? 6?

B. f ? x ? ? 2sin ? ? x ? D. f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

? ?

??
? 3? ? 6?


C. f ? x ? ? 2sin ? 2? x ?

? ?

??
? 6?

? ?

??

8. 函数 y ? log a ? x ?1? ( a ? 0 且 a ? 1 )的图象恒过点为(

A. ?1, 0 ? 9. y ? cos ?

B. ? 0,1?

C. ? ?1, 0 ?

D. ? 0, 0 ? ( )

?x ?? ? ? ( ?? ? x ? ? )的值域为 ?2 6?
B.

A.

? 1 1? ? , ? ? 2 2? ?

??1,1?

C. ? ? ,1 ? ? 2 ?

? 1

?

D. ? ?

? 1 3 ? , ? ? 2 2 ?

10. f ( x ) 为定义域 R,图象关于原点对称,当 x≥0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ( b 为常数), 则

x ? 0 时, f ( x) 解析式为(
A、 f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1 C、 f ( x) ? 2
?x

) B、 f ( x) ? ?2 ? x ? 2 x ? 1 D、 f ( x) ? ?2
?x

? 2x ? 1

? 2x ? 1
f ( x ) ? f (? x ) ? 0 解集为 x

? ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 11.设奇函数 f ( x ) 在 (0,
( )

(?1, 0) ? (1, ??) A.

(??, ?1) ? (0,1) B.

(??, ?1) ? (1, ??) C.

(?1,0) ? (0,1) D.

12.已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数,且满足 f ? x ? 2? ? ? f ? x ? ,当 x ? ?0, 1? 时, f ?x ? ? 2 x ,则

? 19 ? f? ? ?( ? 2?
A. ?1

) B. 1 C. ? 19 D. 19

二、填空题:本大题共 4 小题中,每小题 3 分,共 12 分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.若 tan ? ? 2 ,计算:
2

sin ? = sin ? ? cos ?

.

14.已知函数 f ?x? ? ax ? b sin x ? a cos x 为偶函数,其定义域为 [a ? 1,2a] ,则

a?b ?

.

15.函数 f ? x ? ? lg ? sin x ?

? ?

1? ? 的定义域为 2?

. .

16.下面五个命题中,其中正确的命题序号为 ① 函数 y ? sin x ?

1 的最小正周期 T ? 2? ; 2

② 函数 f ( x) ? 4 cos(2 x ?

?
6

) 的图象关于点 (?

?
6

, 0) 对称;

③ 函数 y ? sin ? 2 x ? ④在 ( ?

? ?

??

? ? 的图象关于直线 x ? 对称; 3 3?

? ?

, ) 内方程 tan x ? sin x 有 3 个解; 2 2

⑤ 在 ?ABC 中,若 A ? B 则 sin A ? sin B .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 8 分) 已知全集 U ? R , A ? ? x

? 1 ? ? 2 x ? 8? , B ? ? x x ? 0? , C ? ? x m ? x ? m ? 2? ? 2 ?

(Ⅰ)求 A ? ? CU B ? ; (Ⅱ)若 A ? C ? ? ,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 8 分) (Ⅰ) 计算: 1.10 ? 3 512 ? 0.5?2 ? lg 25 ? 2 lg 2 ; (Ⅱ) 在 ?ABC 中,sin A ? cos A ?

2 ? A 的值,并判断三角形 ABC 的形状. ,求 sin Acos 3

19. (本小题满分 8 分) 已知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

?, 3?

(Ⅰ)求 f ? x ? 图象的对称轴方程; (Ⅱ) 若将函数 f ? x ? 的图象向右 解析式; (Ⅲ)请通过列表 、描 点 、连线 ,在所给的平面直角坐标系中画出函数 g ? x ? 在 ? 0, ? ? 上的简 .. . . .. 图.

? 个单位长度后得到函数 g ? x ? 的图象, 请写出函数 g ? x ? 的 4

20. (本小题满分 8 分) 某车间生产一种仪器的固定成本是 7500 元,每生产一台该仪器需要增加投入 100 元, 已知总收入满足函数: H ( x) ? ? (利润=总收入-总成本). (Ⅰ)将利润表示为月产量 x 的函数; (Ⅱ)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?

?400x ? x 2 , (0 ? x ? 200), ,其中 x 是仪器的月产量. 40000 , ( x ? 200 ) ?

21. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin(2? x ? ? ) ( x ? R ) ,其中 ? ? 0 , ? ? 个条件:两条相邻对称轴之间的距离为 ? ;② f (0) ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 ? 0, ? ? 内的单调递增区间;

?
2

, f ( x ) 满足以下两

? (Ⅲ)若方程 f ? x ? ? a ? 0 在 ?0, ?

5? ? 内有 2 个不等实根,求实数 a 的取值范围. 8 ? ?

22. (本小题满分 10 分) 已知定义域为 R 的函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)判断函数 f ? x ? 的单调性,并用定义证明;
x x (Ⅲ)若对任意的 x ??0,1? ,不等式 f 4 ? 1 ? f a ? 2 ? 0 恒成立,求实数 a 的取值

2x ? b 是奇函数. 2x ? 1

?

?

?

?

范围.

三明一中 2015-2016 学年上学期第二次月考 高一数学参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 A 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 11 D 12 B

二、填空题: 13. 2 三、解答题: 17.解: (Ⅰ) A ? x ?1 ? x ? 3 14.

1 3

15. ? x

5? ? ? ? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z ? 6 ? 6 ?

16.①②⑤

?

?

………………1 分 ………………2 分 ………………4 分

CU B ? ?x x ? 0?

A ? ?CU B? ? ?x ?1 ? x ? 0?
(Ⅱ) ∵ A ? C ? ? ∴ m ? 2 ? ?1 或 m ? 3 . 所以 m 的取值范围为 m m ? ?3或m ? 3 .

?

?

………………8 分

18. 解: (Ⅰ)原式 ? 1 ? 8 ? 4 ? 2 lg 5 ? 2 lg 2 ? 5 ? 2?lg 5 ? lg 2? ? 5 ? 2 lg10 ? 7 (Ⅱ) ∵ sin A ? cos A ?

…3 分

2 3
2

∴ ?sin A ? cos A? ?
2 2

4 9

…………………4 分

∴ sin A ? cos A ? 2 sin A cos A ?

5 4 即 sin A cos A ? ? . 18 9

……6 分

又∵ 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 0 ,而 sin A cos A ? 0 ,所以 cos A ? 0 . ∴

?
2

? A ? ? ,即 A 为钝角,
………………8 分

∴ ?ABC 为钝角三角形.

19.解: (Ⅰ) 令 2 x ?

?
3

?

?
2

? k? , k ? Z

……………1 分

得函数 f ?x ? 图象的对称轴方程为 x ?

?
12

?

k? , k ? Z ……………2 分 2

(Ⅱ) g ?x ? ? 2 sin ?2? x ?

? ? ? ?

?? ??
?
6

?? ? ? ? ? ? 2 sin? 2 x ? ? 4 ? 3? 6? ?
? 2x ?

……………4 分

(Ⅲ)因为 0 ? x ? ? ,所以 ? 列表如下:

?
6

?

11? . 6

2x ?

? 6

?

?
6

0

? 2 ? 3

?
7? 12
0 0

3? 2 5? 6

11? 6

x

0

? 12
0 0

?
? 1 2

?? ? sin ? 2 x ? ? 6? ?
g ? x?

?

1 2

1
2

?1
?2

?1

?1

描点、连线,得出所要求作的图象如下:

……………8 分

20.解:(Ⅰ)设月产量为 x 台时的利润为 f ? x ? . 则总成本 t ? 7500 ? 100 x , 又 f ( x) ? H ( x) ? t , 利润 f ( x) ? ?



?? x 2 ? 300 x ? 7500, (0 ? x ? 200), ? ?100 x ? 32500, ( x ? 200).
2

………………4 分

(Ⅱ)当 0 ? x ? 200 时, f ? x ? ? ? ? x ? 150 ? ? 15000 , ∴ f ? x ?max ? f ?150? ? 15000 ; …………………5 分

当 x ? 200 时, f ? x ? ? ?100x ? 32500 在 ? 200, ? ? ? 上是减函数, ∴ f ? x ? ? f ? 200? ? 12500 . …………………6 分

而 12500 ? 15000 ,所以当 x ? 150 时, f ? x ? 取最大,最大为 15000 元. 答:当月产量为 150 台时,该车间所获利润最大,最大利润是 15000 元. ………8 分

21.解:(Ⅰ)

T?

2? ? ? ,所以 ? ? 1 2?

∴ f ? x ? ? 2 sin ? 2x ? ? ? .

………1 分

又 f ? 0? ? 1,∴ f ? x ? ? 2 sin ? ? 1,∴ sin ? ? ∵?

2 2
………3 分

?
2

?? ?

?
2

, 所以 ? ?

?
4

.

∴ f ? x? ? (Ⅱ)令 ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 4? ?
?
4 ?

………4 分

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
2

? 2k ? , k ? Z ,得
………5 分

?

3? ? ? k? ? x ? ? k ? , k ? Z . 8 8

又因为 0 ? x ? ? , 所以 f ? x ? 在 ? 0, ? ? 的单调递增区间为 ? 0,

? ?

??

? 5? ? 和? ,? ? . ? 8? ? 8 ?

………7 分

? (Ⅲ)由题意知:函数 y ? f ? x? 与 y ? ? a 图象在 ?0, ?
分 由(Ⅱ)可知函数 f ? x ? 在 ? 0, 又 f ? 0? ? 1, f ? 10 分

5? ? 内有两个交点. 8 ? ?

………8

? ?

??

? ? 5? ? 上是增函数,在 ? , 上是减函数. ? 8? ?8 8 ? ?
? ? ? ? 2 ,所以 1 ? ?a ? 2 即 ? 2 ? a ? 1. ?
………

?? ? ?? 2, ?8?

? 5? f? ? 8

22.解(Ⅰ)法一:因为 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,所以 f ? 0 ? ? 0 ,即

20 ? b ? 0 ,所以 20 ? 1

b ? 1.
经检验,当 b ? 1 时 f ? x ? ? 分 法 二 : 因 为

2x ?1 是奇函数. 所以 b ? 1 . 2x ? 1

………3

f ? x?















f ? ?x? ? ? f ? x?



1 ?b 2? x ? b 2 x 1 ? b ? 2x 2x ? b , ? ? ? ? x x 1 2? x ? 1 2 ? 1 2 ? 1 ?1 2x
所以 1 ? b ? 2 ? ?2 ? b 恒成立,所以 b ? 1 .
x x

………3

分 (Ⅱ) f ? x ? ?

2x ? 1 ? 2 2 ? 1? x , f ? x ? 在 ? ??, ??? 上是增函数, x 2 ?1 2 ?1

………4 分

证明如下: 在 ? ??, ??? 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1 ?

1 1 ? 1 1 ? ? ?1 ? x2 ? x1 ? ? x2 2 ?1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ?1
x1

2 x1 ? 2 x2 ? x . ? 2 1 ? 1? ? ? 2 x2 ? 1?
因为 x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 1 ? 0 2 2 ? 1 ? 0 2 1 ? 2 2 ? 0 ,所以 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0
x x x x

即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? . 所以 f ? x ? 在 ? ??, ??? 上是增函数.
x x (Ⅲ)∵ f 4 ? 1 ? f a ? 2 ? 0

………6 分

?

?

?

?

x x x x ∴ f 4 ?1 ? f a ? 2 ? 0 即 f 4 ?1 ? ? f a ? 2 .

?

?

?

?

?

?

?

?

而 f ? x ? 是奇函数,所以 f 4 ? 1 ? f ?a ? 2
x

?

?

?

x

?.
………7

又∵ f ? x ? 在 ? ??, ??? 上是增函数, 所以 4 ? 1 ? ?a ? 2 即 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 在 ?0,1? 上恒成立.
x x x x


x 2 令 t ? 2 ,则 1 ? t ? 2 ,所以 t ? at ? 1 ? 0 在 t ??1, 2? 上恒成立.

?a ? 0 ? ? ?h ?1? ? 0 ?1 ? a ? 1 ? 0 法一:设 h ? t ? ? t ? at ?1,由图象可是 ? 即? 即? 3. 4 ? 2 a ? 1 ? 0 a ? ? h 2 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2
2

所以 a 的取值范围为 ?a a ? ? ? .
2 法二:设 h ? t ? ? t ? at ?1,函数的对称轴方程为 t ? ?

? ?

3? 2?

………10 分

a , 2

? a 3 ? a 3 3? ?? ? ?? ? ? 由题意得: h?t ?max ? 0 即 ? 2 2 或 ? 2 2 ,得 a 的取值范围为 ?a a ? ? ? .… 2? ? ? ?h?2? ? 0 ? ?h?1? ? 0
10 分 法三:因为 t ??1,2? , a ?

1 1? t2 1 ? ?t ? 恒成立,设 h ? t ? ? ?t ? ,所以 a ? h ? t ?min , t t t

显然 h ? t ? 在 ?1, 2? 上是减函数,所以 a ? h ? 2 ? ? ?

3 . 2

………10 分



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