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初高中数学衔接学案





1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值 1.1.3.二次根式 1.1.2. 乘法公式 1.1.4.分式 1.2 分解因式




2.1

一元二次方程

2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)

2.2



二次函数
2.2.3 二次函数的简单应用

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法

3.1 3.2 3.3 圆

相似形
3.1.2 相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

三角形
3.2.2 几种特殊的三角形

3.2.1 三角形的“四心”

3.3.1 直线与圆,圆与圆的位置关系

- 1 -

1.1 数与式的运算 1.1.1.绝对值
?a, a ? 0, ? 一、概念:绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即 | a |? ?0, a ? 0, ??a, a ? 0. ?
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示在数轴上,数 a 和数 b 之间的距离.

二、典型例题: 例 1 解不等式: | x ? 1 |? 4

练 习A 1.填空: (1)若 x ? 5 ,则 x=_________;若 x ? ? 4 ,则 x=_________. (2)如果 a ? b ? 5 ,且 a ? ?1 ,则 b=________;若 1 ? c ? 2 ,则 c=________. 2.选择题: 下列叙述正确的是 (A)若 a ? b ,则 a ? b (C)若 a ? b ,则 a ? b 练习 B 3.解不等式: | x ? 2 |? 3 (B)若 a ? b ,则 a ? b (D)若 a ? b ,则 a ? ?b ( )

4、化简:|x-5|-|2x-13|(x>5) .

- 2 -

1.1.2. 乘法公式
一、复习:我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (2)完全平方公式 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)立方和公式

(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 .

必 (2)立方差公式 须 记 (3)三数和平方公式 住 (4)两数和立方公式

(5)两数差立方公式 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 二、典型例题 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) .

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 ; (a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2(ab ? bc ? ac) ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 ; (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 .

例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a ? b ? c 的值.
2 2 2

练 习A 1.填空:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题:
2 2 2 2

) ;

); ).
( )

(1)若 x ?
2

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2

- 3 -

1 2 1 2 m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(A) m
2

(B)

(D)

1 2 m 16


(A)总是正数 (C)可以是零

( (B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式
一、概念:一般地,形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式 . 例如 3a ? a2 ? b ? 2b , a 2 ? b2 等 是无理式,而 2 x ?
2

2 x ? 1 , x2 ? 2xy ? y2 , a2 等是有理式. 2

1.分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式, 我们就说这两个代数式互为有理化因式, 例如 2 与 2 , 等等. 一 3 a 与 a , 3 ? 6 与 3 ? 6 ,2 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 , 般地, a x 与 x , a 与 a x? b y , a x? b 与 a x? b 互为有理化因式. x? b y 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子 中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ;而对于二次根式的除法,通常 先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式. 2. 二次根式 a2 的意义 二、典型例题 例 1 将下列式子化为最简二次根式: (1) 12b ; (2) a 2b (a ? 0) ;
6 (3) 4 x y ( x ? 0) .

a2 ? a ? ?

?a, a ? 0, ?? a, a ? 0.

- 4 -

例 2 计算: 3 ? (3 ? 3) .

例 3 试比较下列各组数的大小: (1) 12 ? 11 和 11 ? 10 ; (2)

2 和 2 2- 6 . 6?4

例 5 化简: (1) 9 ? 4 5 ;

(2) x ?
2

1 ? 2(0 ? x ? 1) . x2

练 习A 1.填空: (1)

1? 3 =__ 1? 3

___; ___;

2 (2)若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ,则 x 的取值范围是_ _

(3) 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ (4)若 x ?

___; __.

5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ,则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1

(提示先简化后代入)

- 5 -

2.选择题:

x ? x?2 (A) x ? 2
等式

x 成立的条件是 x?2 (B) x ? 0





4.比较大小:2- 3

(C) x ? 2 5- 4(填“>”,或“<”) .

(D) 0 ? x ? 2

1.1.4.分式
一、概念:1.分式的意义 形如

A A A A A? M 的式子,若 B 中含有字母,且 B ? 0 ,则称 为分式.当 M≠0 时,分式 具有下列性质: ? ; B B?M B B B

A A? M ? . B B? M

上述性质被称为分式的基本性质. 2.繁分式

a m?n? p 像 b , 这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式. 2m c?d n? p
二、典型例题: 例1 若

5x ? 4 A B ? ? ,求常数 A, B 的值. x( x ? 2) x x ? 2

例 2 (1)试证:

1 1 1 ? ? (其中 n 是正整数) ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? (2)计算: ; 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 ? ?? ? ? . (3)证明:对任意大于 1 的正整数 n, 有 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2

- 6 -

例 3 设e ?

c ,且 e>1,2c2-5ac+2a2=0,求 e 的值. a

练习 A 1.填空题: 对任意的正整数 n, 2.选择题: 若

1 ? n(n ? 2)

(

1 1 ? ); n n?2


2x ? y 2 x ? ,则 = x? y 3 y 5 (A)1 (B) 4

( (C)

3.正数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 2 xy ,求

x? y 的值. x? y

4 5

(D)

6 5

4.计算

1 1 1 1 ? ? ? ... ? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?100

习题 1.1
A 组 1.解不等式: x ? 1 ? 3

- 7 -

2.已知 x ? y ? 1 ,求 x3 ? y3 ? 3xy 的值.

3.填空: (1) (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 =________;
2 2 (2)若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ,则 a 的取值范围是________;

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________. 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6 1 1 3a 2 ? ab ? ____ ____; 4.填空: a ? , b ? ,则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2 y y 1 1 5.已知: x ? , y ? ,求 的值. ? 2 3 x? y x? y
(3)

1.2 分解因式
一、复习引申:因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法. 1.十字相乘法

- 8 -

例 1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ;

(2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

2.提取公因式法与分组分解法 例 2 分解因式: (1) x ? 9 ? 3x ? 3x ;
3 2

(2) 2 x2 ? xy ? y 2 ? 4 x ? 5 y ? 6 .

3.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式 ax ? bx ? c(a ? 0) 就可分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) .
2

2

例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x ? 2 x ? 1;
2

(2) x 2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

二、练习 A 1.选择题: 多项式 2 x ? xy ?15 y 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y (B) x ? 3 y
2 2

( (C) x ? 3 y (2)8a3-b3;

) (D) x ? 5 y

2.分解因式: (1)x2+6x+8;

- 9 -

(3)x2-2x-1;

(4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

练习 B 组 1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x ? 4 xy ? y ;
2 2

- 10 -

3.分解因式:x2+x-(a2-a).

2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式
一、概念:我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为

因为 a≠0,所以,4a2>0.于是 (1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根 x1,2= (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个相等的实数根 x1=x2=-

b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? . 2a 4a 2



?b ? b2 ? 4ac ; 2a

b ; 2a

(3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ?

由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有

b 2 ) 一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根. 2a

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=- ; 2a
(1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根 x1,2= (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 二、典型例题: 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数) ,如果方程有实数根,写出方程的实数根.

- 11 -

(1)x2-3x+3=0; (3) x2-ax+(a-1)=0;

(2)x2-ax-1=0; (4)x2-2x+a=0.

说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类 讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
一、概念:1、若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

?b ? b2 ? 4 ac ?b ? b2 ? 4 ac , x2 ? , 则有 2a 2a ?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b x1 ? x2 ? ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a x1 ?
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ?

b c ,x1· x2= .这一关系也被称为韦达定理. a a

2、特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1· x2=q, 即 p=-(x1+x2),q=x1· x2, 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x +x1· x2=0 的两根,因此有 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1· x2=0. 二、典型例题: 例 2 已知方程 5 x
2

? k x? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值.

- 12 -

例3

已知关于 x 的方程 x2+2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值.

例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数.

注意: ...
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

x1 ?

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a
?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ? ? 2a 2a 2a

∴| x1-x2|=

?

b2 ? 4 a c ? . ? |a | a | |
? (其中 Δ=b2-4ac) . |a|

于是有下面的结论: 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=

今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围.

- 13 -

练习 A 1.选择题: (1)方程 x2 ? 2 3kx ? 3k 2 ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 (2)若关于 x 的方程 mx2+ (2m+1)x+m=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 (A)m<





(3)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2 (4)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

1 4

(B)m>-

1 4

(C)m<

1 ,且 m≠0 4

(D)m>- )

1 ,且 m≠0 4

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2 2 (5)关于 x 的一元二次方程 ax -5x+a +a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是 (4)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= (5)方程 2x -x-4=0 的两根为 α,β,则 α +β =
2 2 2 2

7 ; 3



1 1 ? = x1 x2
. . .

. .

(6)已知关于 x 的方程 x -ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 (7)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|=
2
2





3.已知 a ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx +ax+b=0 有两个不相等的实数根?

- 14 -

4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

5.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没有实数根?

6.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

练习 B 组 1.选择题: 若关于 x 的方程 x2+(k2-1) x+k+1=0 的两实根互为相反数,则 k 的值为 ( ) (A)1,或-1 (B)1 (C)-1 (D)0 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围.

. .

4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ; (2)x13+x23. 2

- 15 -

5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质
一、复习引申:问题 1 函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y= 的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x x
2 2

2.2

1 2 x ,y=-2x2 的图象,通过这些函数图象与函数 y=x2 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax2 与 y=x2 2

… … …

-3 9 18

-2 4 8
2

-1 1 2

0 0 0

1 1 2
2

2 4 8 y=2x
2

3 9 18 y

… … 的值扩大两倍就可以了. 象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可以得到这两个函数图象之间 的纵坐标变为原来的两倍得到.

2x

从表中不难看出,要得到 2x 的值,只要把相应的 x 再描点、连线,就分别得到了函数 y=x2,y=2x2 的图 的关系:函数 y=2x2 的图象可以由函数 y=x2 的图象各点 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y= 之间的关系.

y=x

2

y

y=2(x+1)2+1 y=2(x+1)2

1 2 x ,y=-2x2 的图象,并研究这两个函数图象与函数 y=x2 的图象 2

通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 1、二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各 项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中 问题 2 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之 同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间 与 y=2x2 的图象(如图 2-2 所示) ,从函数的同学我
-1

y=2x2 O 图 2.2-1 x 点的纵坐标变为原来的 a 倍得到.在二次函数 y=ax2(a≠0)中,二次 的开口的大小. 间存在怎样的关系? 的关系来研究它们之间的关系. 同学们可以作出函数 y=2(x+1)2+1 们不难发现,只要把函数 y=2x2 的图象向左平移一个单位,再向上

O 图 2.2-2

x

- 16 -

平移一个单位,就可以得到函数 y=2(x+1)2+1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x2,y=-3(x-1)2+1 的图象,研究它们图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 2、二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次 函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法: 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+

b b b2 b2 x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a

所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: 3、 (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (?

b 2 b2 ? 4ac ? a( x ? ) ? , 2a 4a

b b b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x 2a 2a 2a 4a

b b 4ac ? b 2 >? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= . 2a 2a 4a b b b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- ;当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x (2)当 a<0 时,函数 y=ax +bx+c 图象开口向下;顶点坐标为 (? 2a 2a 2a 4a 2 b b 4ac ? b >? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= . 2a 2a 4a
2

上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的 思想方法来解决问题. y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

O

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) A (? 2a 4a
图 2.2-3

b 2a

- 17 -

二、典型例题: 例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y 随 x 的增大而增大(或减小)? 并画出该函数的图象.

例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图像,求 b,c 的值.

三、练习 A 1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) 2 2 (A)y=2x (B)y=2x -4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . (2)已知二次函数 y=x2+(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 图象经过原点. (3) 函数 y=-3(x+2)2+5 的图象的开口向 y 随着 x 的增大而减小. , 对称轴为 , 顶点坐标为 ; 当 x=

时,函数图象的顶点在 x 轴上;当 m=

时,函数

时, 函数取最

值 y=

; 当x

时,

3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象. (1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2.

- 18 -

2.2.2 二次函数的三种表示方式
一、复习引申:通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐标为零) ,于是,不难发现,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程 ①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ= b2-4ac 存在下列关系: (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成 立. (3)当 Δ<0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx+c=0 的两根,所以 x1+x2= ?

b c ,x1x2= , a a

b c =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 2 所以,y=ax2+bx+c=a( x ? x ? ) a a
即 = a[x2-(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.

- 19 -

今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 二、典型例题: 例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求二次函数的解析式.

例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式.

例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.

三、练习 A 1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: (1)已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为 y=a (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. .

(a≠0) .

- 20 -

(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

4、将下列二次函数式配方: (1) y ? x 2 ? 2 x ? 3 (3) y ? ?3x 2 ? 6 x ? 1 (2) 2 x ? 5 x ? 1
2

(4) y ? 1 ? 4 x ? 5x 2

5、求下列二次函数的最大(或最小)值: (1) y ? 2 x 2 ? 3x (3) y ? (2) y ? 1 ? 6x ? x 2 (4) y ? ?

1 2 x ? 2x ? 1 2

1 2 x ? x?4 4

四、练习 A 组 将下列二次函数配方 (1) y ? x ? 3x
2

(2) y ? 2x ? 4x ? 1
2

- 21 -

(3) y ? ?2 x 2 ? 6 x ? 1

(4) y ?

1 2 2 x ? x ?1 3 3

(5) y ? x( x ? 4)

(6) y ? ( x ? 2)(x ? 4)

(7) y ? ?( x ? 2)(x ? 1)

(8) y ?

1 ( x ? 3)( x ? 5) 2

(9) y ? ( x ? 1) 2 ? 2( x ? 1)

(10) y ? ( x ? 1) 2 ? 4x ? 3

(11) y ? 1 ? 3 x ?

1 2 x 2

(12) y ? 0.1x 2 ? 0.4x ? 0.6

(13) y ?

3 2 6 x ? x 5 5

(14) y ? x 4 ? 2 x 2 ? 3

(15) y ? 2 x 4 ? 2 x 2 ? 1

- 22 -

2.3.2
一、引入:二次函数 y=x2-x-6 的对应值表与图象如下:

一元二次不等式解法

x y 由对应值表及函数图象(如图 2.3-1)可知 当 x=-2,或 x=3 时,y=0, 当 x<-2,或 x>3 时,y>0, 当-2<x<3 时,y<0,

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

即 x2-x-6=0; 即 x2-x-6>0; 即 x2-x-6<0.

这就是说,如果抛物线 y= x2-x-6 与 x 轴的交点是(-2,0)与(3,0),那么 一元二次方程 x2-x-6=0 的解就是 x1=-2,x2=3; 同样,结合抛物线与 x 轴的相关位置,可以得到一元二次不等式 x2-x-6>0 的解是 一元二次不等式 x2-x-6<0 的解是 -2<x<3. 上例表明:由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集. 那么,怎样解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)呢? 我们可以用类似于上面例子的方法,借助于二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象来解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0). 二、典型例题: 例 3 解不等式: (1)x2+2x-3<0; (2)x-x2+6<0; (3)4x2+4x+1≥0; (4)x2-6x+9≤0; 2 (5)-4+x-x <0. x<-2,或 x>3;

- 23 -

例 4 已知不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解是 x ? 2, 或 x ? 3 求不等式 bx ? ax ? c ? 0 的解.
2

三、练习 A 1.解下列不等式: (1)3x2-x-4>0; (3)x2+3x-4>0; (2)x2-x-12<0; (4)16-8x+x2 ≤ 0.

3.解下列不等式: (1)3x2-2x+1<0;

(2)3x2-4<0;

(3)2x-x2≥-1;

- 24 -

1.1.1.绝对值(答案)
练习 A 1. (1) ?5 ; ?4 (2) ?4 ; ?1 或 3 2.D 3. ? 5 x ? x ? 1

13 ? 8 ? x(5 ? x ? ) ? ? 2 练习 B 4、 ? ?3 x ? 18( x ? 13 ) ? 2 ?

1.1.2.乘法公式
1. (1)

1 1 a? b 3 2

(2)

1 1 , 2 4

(3) 4ab ? 2ac ? 4bc

2. (1)D

(2)A

1.1.3.二次根式
练习 A 1. (1) 3 ? 2 (2) 3 ? x ? 5 练习 B 3.1 4.> 1 练习 A 1. 2 (3) ?8 6 (4) 5 .2.C

1.1.4.分式
2.B 3.0 4.

99 100

习题 1.1
A组 1. x ? ?2 或 x ? 4 4. (1) B组 2.1 3. (1) 2 ? 3 (2) ?1 ? a ? 1 (3) 6 ? 1

3 7

5.4. 2.

1. (1)D (2)C

36 55

- 25 -

1.2 分解因式(答案)
A组 1. B (2) (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) (4) (2 ? y)(2 x ? y ? 2) . B组 2. (1)(x+2)(x+4)

(3) ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 1. (1) ? a ? 1? a ? a ? 1
2

?

?

(2) ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1?

(3) ? b ? c ??b ? c ? 2a ? 2. (1) ? x ?

? ? ?

5 ? 13 ?? 5 ? 13 ? x ? ?? ? ; (2) x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ; 2 ?? 2 ? ?? ?

?

??

?

? 2? 7 ? 3 ? 3. ( x ? a ? 1)( x ? a)
(3) 3 ? x ?

?? 2? 7 ? y? x ? y? ? ?? ?; 3 ?? ?

2.1 一元二次方程(答案)
1. (1)C (2)D (3)C 练习 A (4)B 提示:②和④是错的,对于②,由于方程的根的判别式 Δ<0,所以方程没有实数根;对于④,其两根之和应为

2 - . 3
(5)C 2. (1)-3 (5) (2)有两个不相等的实数根 (6)6 (7) 3 (3)x2+2x-3=0 (4)2

17 4

3.k<4,且 k≠0 4.-1 提示:(x1-3)( x2-3)=x1 x2-3(x1+x2)+9 5.当 m>-

1 1 1 ,且 m≠0 时,方程有两个不相等的实数根;当 m=- 时,方程有两个相等的实数根;当 m<- 时,方程没有实数根. 4 4 4

6.设已知方程的两根分别是 x1 和 x2,则所求的方程的两根分别是-x1 和-x2,∵x1+x2=7,x1x2=-1,∴(-x1)+(-x2)=-7,(-x1)× (-x2)=x1x2=-1,∴ 所求的方程为 y2+7y-1=0.

- 26 -

练习 B 组
1.C 提示:由于 k=1 时,方程为 x2+2=0,没有实数根,所以 k=-1. 2. (1)2006 提示:∵m+n=-2005,mn=-1,∴m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1× (-2005-1)=2006. (2)-3 提示;∵a+b=-1,ab=-1,∴a3+a2b+ab2+b3=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)( a2+b2)=(a+b)[( a+b) 2-2ab]=(-1)× [(-1)2-2× (-1)]=-3. 2 2 3. (1)∵Δ=(-k) -4× 1× (-2)=k +8>0,∴方程一定有两个不相等的实数根. (2)∵x1+x2=k,x1x2=-2,∴2k>-2,即 k>-1. 4. (1)| x1-x2|=

b 3abc ? b3 b 2 ? 4ac x1 ? x2 , =? ; (2)x13+x23= . 2 2a a3 |a|

5.∵| x1-x2|= 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ,∴m=3.把 m=3 代入方程,Δ>0,满足题意,∴m=3.

2.2.1
练习 A 1、 (1)D 2、 (1)4 (3)下 (2)A 0 (2)2 -2 x ? ?2 (-2,5)

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质(答案)

0 -2 大

5

? ?2

3、 (1) y ? ( x ? 1) 2 ? 4 (2) y ? ?( x ? 3) ? 10
2

开口向上,对称轴为 x=1 ,顶点坐标为(1,-4) ,当 x=1 时,y 取最小值-4。 开口向下,对称轴为 x=3,顶点坐标为(3,10) ,当 x=3 时,y 取最大值 10。

1(1)A

(2)C
2

2、 (1) ( x ? 1)(x ? 2) (2) y ?

2.2.2
(2)4

二次函数的三种表示方式(答案)

3、 (1) y ? ? x ? 2 x ? 3

3 3 37 ( x ? 3) 2 ? 5 = x 2 ? 9 x ? 2 2 2 2 (3) y ? 2( x ? 1 ? 2 )(x ? 1 ? 2 ) ? 2x ? 4x ? 2

2.2.3 二次函数的简单应用
(1) y ? ( x ? ) ?
2

3 2

9 4

(2) y ? 2( x ? 1) ? 1
2

- 27 -

(3) y ? ?2( x ?

3 2 7 ) ? 2 2

(4) y ?

1 4 ( x ? 1) 2 ? 3 3

(5) y ? ( x ? 2) 2 ? 4 (7) y ? ?( x ? ) ?
2

(6) y ? ( x ? 3) 2 ? 1

1 2

9 4

(8) y ?

1 ( x ? 1) 2 ? 8 2

(9) y ? x 2 ? 1

(10) y ? ( x ? 3) 2 ? 11 (12) y ? 0.1( x ? 2) 2 ? 1 (14) y ? ( x 2 ? 1) 2 ? 2

1 11 ( x ? 3) 2 ? 2 2 3 3 2 (13) y ? ( x ? 1) ? 5 5 1 3 2 2 (15) y ? 2( x ? ) ? 2 2
(11) y ? ?

2.3 方程与不等式 2.3.2 一元二次不等式解法
练 习
1. (1)x<-1,或 x> (4)x=4. 4 ; (2) ? 3 ? x ? 4 ; 3 (3)x<-4,或 x>1;

A组

? x1 ? 2, 2. (1) ? ? y1 ? 0,

10 ? x2 ? , ? ? x1 ? 0, ? 3 (2) ? ? ? y1 ? 0, ?y ? 4. 2 ? 3 ? ? x3 ? ? 3, ? ? x ? 3, ? ? x2 ? 3, ? ? ? x4 ? ? 3, (3) ? 1 ? ? ? ? y1 ? 1, ? ? y2 ? ?1, ? ? y4 ? ?1. ? y3 ? 1, ? ?

24 ? x2 ? , ? ? 5 ? ? y ? ? 12 . 2 ? 5 ?

- 28 -

3. (1)无解

(2) ?

2 3 2 3 ?x? 3 3

(3) 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2

- 29 -



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