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2.1指数函数教案



2.2.2 指数函数(1)
【自学目标】 1. 掌握指数函数的概念、图象和性质; 2. 能借助于计算机画指数函数的图象; 3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。 【知识描述】 1.指数函数的定义。 2.指数函数的性质

a ?1
y =a x (0<a<1) <1) y=1

0 ? a ?1

r />y

图 象

y y =a x(a > 1)

y=1 (0, 1) O x

(0, 1) O x

(1)定义域:R 性 质 (2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时 y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

【预习自测】 例 1.下列函数中是指数函数的是。 ⑴ y ? x 2 ;⑵ y ? 3x ; ⑶ y ? ?4 x ;⑷ y ? (?4) x ; ⑸ y ? x x ;⑹ y ? e x ; ⑺ y ? 3 x ?1 ;⑻ y ? (2a ? 1) x ( a ?

1 ,a ?1) 2

例 2.已知指数函数 y ? f ( x ) 的图象经过点(1, ? ) ,求下列各个函数值: ⑴ f (0) ;⑵ f (1) ;⑶ f (?) 。

例 3.比较大小: ⑴ 1.7 2.5 和 1.7 3 ;⑵ 0.8 ?0.1 与 1.250.2 ;⑶ 1.7 0.3 与 0.9 3.1 。

例 4.作出下列函数的图象,并说明它们之间的关系: ⑴ y ? 3x ;⑵ y ? 3 x ?1 ;⑶ y ? 3 x ?1 。

【课堂练习】 1.在下列六个函数中:① y ? 2a x ;② y ? a x ? 2 ;③ y ?a x ?3 ;④ y ? a x ;⑤ y ? (?a) x ;⑥
1 y ? ( ) x 。若 a ? 0 ,且 a ? 1 ,则其中是指数函数的有() a

A.0 个

B.1 个

C.2 个

D.3 个

2.函数 y ? 2 x ?3 ? 3 恒过定点。
1 3.函数 y ? ( ) x 和 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象关于对称。 a

4.已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[0,1]上的最大和最小值之和是 3,求实数 a 的值。

5.设 2 3?2 x ? (0.5) 3 x ?4 ,求 x 的取值范围。

【归纳反思】 1.要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质,并根据需要,对底数 a 分两 种情况加以讨论,体会其中的数形结合和分类讨论思想; 2.注意图象的的平移变换的方法和规律,并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象 的问题,加深对指数函数的图象和性质的认识和理解。 【巩固提高】 1.若集合 A ? {y | y ? 2 x , x ? R} , B ? {y | y ? x 2 , x ? R} ,则() A.A B B. A ? B C.B A D. A ? B

2.已知 0 ? a ? 1, b ? ?1 ,则函数 y ? a x ? b 的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.图中曲线 C1 , C 2 , C 3 , C 4 分别是指数函数 y ? a x , y ? b x , y ? c x , y ? d x 的图象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是() A. a ? b ? 1 ? c ? d B. a ? b ? 1 ? d ? c C. b ? a ? 1 ? c ? d D. b ? a ? 1 ? d ? c O 4.已知 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? a a A. M ? N C. M ? N
1 5.函数 y ? ( ) ? x 的值域是; 4
3

y
y ? cx
y ? bx y ? ax

y?d

x

1 x

? a ?1

, N ? a a ?a ?1 ,则() B. M ? N D.M、N 大小关系不确定

2

6.若指数函数 y ? (a 2 ? 1) x 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围是。 7.把函数 y=f(x) 的图象向左、向下分别平移 2 个单位得到 y ? 2 x 的图象,则 f(x)=。 8.比较 1.5 ? 0.2 , 1.3 0.7 , ( ) 3 的大小
2 3
1

9.已知函数 y ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )在[1,2]上的最大值比最小值大 2,求实数 a 的值

10.试比较 a 2 x

2

? 3 x ?1

与ax

2

? 2 x ?5

( a ? 0 ,且 a ? 1 )的大小

2.2.2 指数函数(2)
【自学目标】 1.进一步深刻地理解指数函数的定义、图象和性质,能熟练地运用指数函数的定义、图象和 性质解决有关指数函数的问题; 2.能熟练地解决与指数函数有关的复合函数的定义域、值域、单调性和奇偶等问题,提高综 合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 【知识描述】 1. y ? a f ( x ) 性质 ⑴定义域:与 f ( x ) 的定义域相同。 ⑵值域:其值域不仅要考虑 f ( x ) 的值域,还要考虑 a ? 1 还是 0 ? a ? 1 。 求 y ? a f ( x ) 的值域,先求 f ( x ) 的值域,再由指数函数的单调性求出 y ? a f ( x ) 的值域。 ⑶单调性:单调性不仅要考虑 f ( x ) 的单调性,还要考虑 a ? 1 还是 0 ? a ? 1 。若 a ? 1 , 则 y ? a f ( x ) 与 y ? f ( x ) 有相同的单调性; 若0 ? a ?1, 则 y ? a f ( x ) 与 y ? f ( x ) 有相反的单调性。 ⑷奇偶性:奇偶性情况比较复杂。若 y ? f ( x ) 是偶函数,则 y ? a f ( x ) 也是偶函数;若

y ? f ( x ) 是奇函数,则 y ? a f ( x ) 没有奇偶性。
2. y ? g(a x ) 类型的函数的性质 可采用换元法:令 a x ? t ,注意 t 的取值范围,根据 y ? g ( t ) 与 y ? a x 的的性质综合进 行讨论。 【预习自测】

2 ? 3 例 1.将六个数 ( ) 3 , ( ) 2 3 5

1

1

3 5 5 ? , ( ) 3 , ( ) 0 , (?2) 3 , ( ) 3 按从小到大的顺序排列。 2 6 3

2

1

例 2.求函数 y ? ( ) x

1 3

2

? 4 x ?1

和 y ? 2 ?2 x

2

? 4 x ?7

的单调区间。

例 3.求下列函数的定义域和值域。
1

⑴ y ? 2 x ? 4 ;⑵ y ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1 .

例 4.判断下列函数的奇偶性: (1) (2) y ? ( ) ?|x| ; (2) y ?

2 3

a x ? a ?x (a ? 0,a ?1) ; 2

例 5.若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值。

【课堂练习】 1.函数 y ? 3 2 x ?1 ? A. (-2,+∞) C. (-∞,-1]
1 的定义域为( 27

) B.[-1,+∞) D. (-∞,-2]

2.函数 y ? e ?| x| 是() A.奇函数,且在(-∞,0]上是增函数 B.偶函数,且在(-∞,0]上是减函数 C.奇函数,且在[0,-∞)上是增函数 D.偶函数,且在[0,-∞)上是减函数
1 3.函数 f ( x) ? ( ) 2
? x ?3

的增区间是

4.求 y ?

e x ?1 的值域。 e x ?1

5.已知函数 y=4x-3·2x+3 的定义域是(-∞,0],求它的值域

【归纳反思】 1. 指数函数是单调函数, 复合函数 y ? a f ( x ) 的单调性由 y ? a u 和 u ? f ( x ) 的单调性综合确定; 2.比较两个幂式的大小主要是利用指数函数的单调性,但是在应用时要注意底数与 1 的关 系。 3.利用指数函数的性质比较大小 ⑴同底数幂比较大小直接根据指数函数的单调性比较; ⑵同指数幂比较大小,可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1 得结论; ⑶既不同底也不同指数幂比较大小,可找中间媒介(通常是 1 或是 0) ,或用作差法, 作商法。 【巩固提高】 1.函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 , a ? 1 )对于任意的实数 x,y 都有() A.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) 2.下列函数中值域为 (0, ??) 的是() A. y ?
1 2 ? 5 x

B.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)

B. y ? ( )1?x

1 3

1 C. y ? ( ) x ? 1 2
3.函数 y=a|x|(a>1)的图像是 ( y 1 0 A. x 0 B. x y

D. y ? 1 ? 2 x ) y 1 0 C. x 1 0 D. x y

4.若集合 P ? { y | y ? 3 x , x ? R} , Q ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? R} ,则 P ? Q 是() A.P B.Φ
x

C.Q

D.R

5.若函数 f ( x) ? a ? 6.函数 y ? 2 ? x
2

1 是奇函数,则实数 a 的值为。 2 ?1

? ax?1

在区间(-∞,3)内递减,则实数 a 的取值范围是。

7.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | 的图象与直线 y ? a 的图象恰有一个交点,则实数 a 的值为。 8.若函数 y ? a x ? b ( a ? 0 , a ? 1 )的图象不经过第一象限,求 a,b 的取值范围

9.已知 2 x

2

?x

1 ? ( ) x ?2 ,求函数 y ? 2 x ? 2 ? x 的值域 4

10.设 f ( x) ?

4x ,若 0 ? a ? 1 ,求: 4x ? 2 1 2 3 1000 (1) f (a) ? f (1 ? a)的值 ; (2) f ( )? f ( )? f ( )????? f ( )的值 1001 1001 1001 1001

2.2.2 指数函数(3)(习题课)

【自学目标】 1.掌握分数指数幂的概念与运算性质, 根式与分数指数幂的互化方法, 能正确地进行有关根 式和分数指数幂的化简、求值等问题,提高恒等变形的能力; 2.掌握指数函数的定义、 图象和性质及其应用, 体会利用函数图象研究函数性质的思想方法 以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程,充分认识指数函数是一类重要的函数模型, 了解指数函数在现代科技、生产、生活实际中的广泛应用,培养数学应用的意识和能力。 【知识描述】 1. 利用整体替换的思想,根据复合函数及对数函数的性质解决有关对数函数的复合问题。 平 时常常遇见一次、二次函数与指数函数、对数函数的复合。换元法是求解复合函数的常用方 法。 2.函数图象的应用,如利用指数函数与对数函数图像的对称性来解题。 3.指数对数方程与不等式的解法。这类问题应特别注意自变量的取值范围和底数大于 1, 还是大于 0 小于 1 的讨论。 【预习自测】 例 1.函数 y ? a x ? 1 的定义域为 (?? , 0] ,求 a 的取值范围

例 2.已知函数 f ( x ) ? 增函数

2x ?1 , (1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求证:函数 f ( x ) 是 R 上的 2x ? 1

例 3.有纯酒精 20 升,从中倒出 1 升,再用水加满;然后再倒出 1 升,再用水加满;如此 反复进行。问第九次和第十次各倒出多少升纯酒精?

例 4.2005 年人才招聘会上,有甲、乙两公司分别开出它们的工资标准,甲公司允诺第一年 月工资为 1500 元,以后每年月工资比上一年月工资增加 230 元;乙公司允诺第一年月工资 数为 2000 元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增 5%,若某大学生年初被甲、乙 两家公司同时录取,试问: ⑴若该大学生分别在甲公司或乙公司连续工作 n 年, 则他在第 n 年的月工资收入分别是 多少? ⑵该人打算连续在一家公司工作 3 年, 仅从工资收入总量较多作为应聘标准 (不记其他 因素) ,该人应选择哪家公司,为什么?

【课堂练习】 1.函数 y ? 5 x ? 5 ? x 是() A. R 上的增函数 C. 奇函数 B. R 上的减函数 D. 偶函数

2.某厂 1991 年的产值为 a 万元,预计产值每年以 5%递增,则该厂到 2003 年的产值是() A. a(1 ? 5%) 13 C. a(1 ? 5%)11 B. a(1 ? 5%) 12 D.
10 a(1 ? 5%) 12 9

3.一产品原价为 a 元,连续两年上涨 x%,现欲恢复原价,应降价%。
1 2 4.求函数 y ? ( ) x ?3x ? 2 的单调区间 3

5.已知函数 y ? a 2 x ? 2a x ? 1 ( a >0 且 a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值

【归纳反思】 解答数学应用题的关键有两点:一是认真读题,缜密审题,正确理解题意,明确问题的 实际背景,然后进行科学的抽象、概括,将实际问题归结为相应的数学问题;二是要合理选 取变量,设定变元后,寻找它们之间的内在联系,建立相应的函数模型。 【巩固提高】 1.若 2 2 x ? 4 ? 5 ? 2 x ,则 x 2 ? 1 等于() A.1 B.5 C.5 或 1 D.2 或 5

2.已知 0 ? a ? 1, x ? y ? 1 ,则下列各式中,正确的是() A. x a ? y a B. a x ? a y C. a ? a
x y

D. a x ? y a

3.函数 f ( x) ? 3 2? x ( ?1 ? x ? 3 )的值域是( A.(0,+∞) B. (0,9)

)
1 D. ( ,27) 3

1 C.[ ,27] 3

4.函数 f(x)=|2x-1|,当 a<b<c 时,有 f(a)>f(c)>f(b),则 A.a<0,b<0,c>0 B.a<0,b>0,c>0 C.2-a<2c D.2a+2c<2
1 5.若函数 f ( x) 的定义域是 ( , 1) ,则函数 f (2 x ) 的定义域是______________. 2

6.已知 a>0 且 a≠1,f(x)=x -a ,当 x∈(-1,1)时均有 f ( x) ? 范围是; 7.函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2 (a>0 且 a≠1)的最小值是。 8.已知函数 y ? a x
2

2

x

1 ,则实数 a 的取值 2

?3 x ?3

,当 x∈[1,3]时有最小值 8,求 a 的值

9.某种储蓄按复利计算利息,若本金为 a 元,每年利率为 r,设存期为 x 年,本利和(本 金加上利息)为 y 元。 (1)写出本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式; (2)如果存入本金 1000 元,每期利率为 2.25%,试计算 5 年后的本利和

10.已知定义在 R 上恒不为 0 的函数 y=f(x),当 x>0 时,满足 f(x)>1,且对于任意的实数

x,y 都有 f(x+y)=f(x)f(y)。 ⑴求 f(0) 的值;⑵证明 f (? x ) ? ? 上的增函数
f ( x) 1 ;⑶ f ( x ? y ) ? ;⑷证明函数 y=f(x) 是 R f ( x) f ( y)

2.2.2 指数函数(1) 例 1 (2)(6)(8) 例2 (1) 1; (2) ? ; (3) ? ? 例 3 <<> 课堂练习: 1. B 2. (3,4) 3. y轴 4. a = 2 x ?1 5. 巩固提高: 1-4 AADA [1,??) 5. 6. 7. 8. 9. 10.

(1, 2 ) ? (? 2 ,?1)
2 X ?2 ? 2
1

2 1.3 0.7 ? 1.5 ? 0.2 ? ( ) 3 3 a = 2
当 a ? 1 时, a 2 x
2

? 3 x ?1

>ax

2

? 2 x ?5

;当 0 ? a ? 1 时, a x

2

? 2 x ?5

> a 2x

2

? 3 x ?1

2.2.2 指数函数(2)
3 2 5 5 ? 例 1 ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( )0 ? ( ) 3 ? 2 3 6 3
3 ( ) 2 ? (?2)3 5
1

2

1

1

例2 例3

(1) (??,2] 增,(2,+ ? )减; (2)(- ? ,-1)增,(-1,+ ? )减 (1)定义域 {x x ? 4} ; 值域 { y y ? 1} ;

(2)定义域 R;值域(1,+ ? ) 例4 (1) 偶函数;(2)奇函数 例5 最大值 13,最小值 4 课堂练习: 1-2 BD 3. (- ? ,3] 4. (-1,1)

5. [1,3) 巩固提高: 1-4 CBBA 5. 6. 7. 8. 9. 10.

?

1 2

a?6

0 0 ? a ? 1, b ? ?1

3 [2 ? 4 ? 2 4 , ] 2
(1) 1; (2) 500

2.2.2 指数函数(3) 0 ? a ?1 例1 例2 奇函数 例3 例4 第九次

19 8 19 9 ;第十次 20 8 20 9

(1)甲: 230n+1270; 乙: 2000(1+5%) n ?1

(2)乙公司 课堂练习: 1-2 DB 3.

1?

1 (1 ? x%) 2

4.

(- ? ,

3 3 ]增; ( ,+ ? )减 2 2

5.

1 a? 或3 3

巩固提高: 1-4 CBCD 5. [-1,0] 6. 8. 9.

1 ? a ? 1或1 ? a ? 2 2
a=16 (1) y ? a(1 ? r ) x , x ? N * (2) y ? 1000(1 ? 2.25%) 5 ? 1117.68

7.

?

1 4

10.

(1)令 x=y=0,f(0)=1; (2)令 y=-x; (3)由(2)知 f(x-y)=f(x)f(-y)=

f ( x) ; (4)设 x1 ? x 2 ,则 x 2 ? x1 ? 0 , f ( y)

f ( x 2 ? x1 ) ?

f ( x2 ) >1,得证. f ( x1 )



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