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古典概型1



古典概型

教学目标
? 1:了解基本事件的特点; ? 2:明确古典概型 的定义; ? 3:会用古典概型的概率公式解决实际问题。 ? 重点:古典概型的定义以及概率公式的应用。 ? 难点:古典概型的定义的理解。

复习回顾
①什么叫做互斥事件?什么叫做对立事件? 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件; 如果两个互斥事件

有一个发生时另一个必不 发生,这样的两个互斥事件叫对立事件. ②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式 是什么? P(A+B)=P(A)+(B) ③若A与A为对立事件,则P(A)与P(A)关 系如何? P(A)+P(?)=1
22:32 3

考察两个试验: (1)抛掷一枚质地均匀的硬币的试验; (2)掷一颗质地均匀的骰子的试验. 在这两个试验中,可能的结果分别有哪些?

22:32

4

(1)掷一枚质地均匀的硬币,结果只有2个,即 “正面朝上”或“反面朝上
(2)掷一枚质地均匀的骰子,结果只有6个, 即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、 “5点”和“6点”.

它们都是随机事件,我们把这类随机事件称 为基本事件.
基本事件:在一次试验中可能出现的每一 个基本结果称为基本事件。
22:32 5

基本事件
基本事件的特点:

(1)任何两个基本事件是互斥的
(2) 任何事件都可以表示成基本事件的和。

22:32

6

例1.从字母a,b,c,d中任意取出两个 不同字母的试验中,有哪些基本事件? 解:所求的基本事件共有6个,分别是: A={a,b} B={a,c} C={a,d} D={b,c} E={b,d} F={c,d} 在这个实验中,所有可能出现的基本

事件只有有限个;(有限性)
(2)每个基本事件出现的可能性相

等。(等可能性)

我们将具有这两个特点的概率模型

称为古典概率概型,简称古典概型。

在这个实验中,所有可能出现的基本

事件只有有限个;(有限性)
(2)每个基本事件出现的可能性相

等。(等可能性)

古典概型:有限性、等可能性。 问题1:向一个圆面内随 机地投射一个点,如果该 点落在圆内任意一点都是等可 能的,你认为这是古典概型吗?为什么?
不是古典概型。因为试验的所有可 能结果数是无限的,虽然每一个试验结 果出现的“可能性相同”,但这个试验 不满足古典概型的第一个条件。

古典概型:有限性、等可能性。 问题2:如图,某同学 随机地向一靶心进行射击, 这一试验的结果只有有限个: 命中10环、命中9环……命中 5环和不中环.你认为这是古 典概型吗?为什么? 不是古典概型.虽然试验的所有可能 结果只有7个,但命中10环、命中9环…… 命中5环和不中环的出现不是等可能的, 即不满足古典概型的第二个条件。

判断下列试验是不是古典概型
1、种下一粒种子观察它是否发芽。N 2、上体育课时某人练习投篮是否投中。 N 3、掷两颗骰子,设其点数之和为 ? , N ? ? 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 则 。 4、在圆面内任意取一点。N 5、从规格直径为300 ? 1mm的一批合格产品中 任意抽一根,测量其直径,观察测量结果。N

?

?

22:32

题后小结:判断一个试验是否为古典概型, 在于检验这个试验是否同时具有有限性和 等可能性,缺一不可。

11

把一枚骰子抛6次,设正面出现的点数为x
1、求出x的可能取值情况

2、下列事件由哪些基本事件组成
(1)x的取值为2的倍数(记为事件A) (2) x的取值大于3(记为事件B) (3) x的取值为不超过2(记为事件C)

22:32

12

(1)x的取值为2的倍数(记为事件A) (2)x的取值大于3(记为事件B) (3)x的取值为不超过2(记为事件C) 解: (1) 点数 1
2 3 4 5 6

(2) 点数 1

2

3

4

5

6

(3) 点数
22:32

1

2

3

4

5

6
13

1、若一个古典概型有 n 个基本事件, 则每个基本事件发生的概率为多少?

m 个基本 2、若某个随机事件 A 包含 事件,则事件A 发生的概率为多少?
22:32 15

古典概型概率计算公式:
如果一次试验的等可能基本事件共 有n个,那么每一个等可能基本事件发 生的概率都是 :1/n。 如果某个事件A包含了其中m个等可 能基本事件,那么事件A发生的概率为: P(A)=m/n

例:
同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验中, 有哪些基本事件? A={正,正 }, B={正,反} C={反,正} , D={反,反} 同时抛掷三枚质地均匀的硬币呢? 解:所有的基本事件共有8个: A={正,正,正}, B={正,正,反}, C={正,反,正}, D={正,反,反}, E={反,正,正}, F={反,正,反}, G={反,反,正}, H={反,反,反},

22:32

17

练习:
掷一颗均匀的骰子,求掷得偶数点的 概率。 解:掷一颗均匀的骰子,它的样本空 间是Ω ={1, 2, 3, 4,5,6} ∴n=6 而掷得偶数点事件A={2, 4,6} ∴m=3
22:32

3 1 ∴P(A) = ? 6 2

18

题后小结:
求古典概型概率的步骤: (1)判断试验是否为古典概型; (2)写出基本事件空间 ? ,求n (3)写出事件 (4)代入公式
22:32

A ,求m
m P ? A? ? n

求概率
19

例2、同时掷两个骰子,计算: (1)一共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种? (3)向上的点数之和是5的概率是多少?
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1

1, 4 ) ( 1, 5) ( 1, 6) ( 1, 1) ( 1, 2) ( 1, 3) (( 1, 4 ) ( ,3 3) ) (2,4)(2,5) (2,6) (2,1) (2,2)( 22 , ( ,2 2) ( 3, 1) ( 33 , ) ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 5) ( 3, 6) ( 4, ,1 ( 4 1) ) (4,2) (4,3) (4,4)(4,5) (4,6)

2
3 4 5 6

( 5, 1) ( 5, 2) ( 5, 3) ( 5, 4) ( 5, 5) ( 5, 6) ( 6, 1) ( 6, 2) ( 6, 3) ( 6, 4) ( 6, 5) ( 6, 6)

22:32

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

20

(2)在上面的结果中,向上的点数之和为5 的结果有4种,分别为: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1)。 (3)由于所有36种结果是等可能的,其中向 上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种, 则

P (A)=
22:32

A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数



4 36



1 9
21

为什么要把两个骰子标上记号?如 果不标记号会出现什么情况?你能 解释其中的原因吗?

如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3) 的结果将没有区别。
22:32 22

为什么要把两个骰子标上记号?如果不标记号

会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?
如果不标上记号,类似于(3,6)和(6,3)的结果 将没有区别。
1号骰子 2号骰子

1

2

3

4

5

6

1

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) ( 3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (3,2) ( 4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (4,1)

2
3 4 5 6

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

22:32

A所包含的基本事件的个数 2 P (A)= = 基本事件的总数 21

23

问题解决
意大利数学家卡当(1501-1576),他提出 这样一个问题:掷一蓝一绿两颗骰子,以两 颗骰子的点数和打赌, 卡当认为7最好,你 能根据今天所学的知识来说明这个问题吗?

22:32

24

解:(1)掷一个骰子的结果有6种,我们把两个骰子标 上记号1,2以便区分,它总共出现的情况如下表所示:
绿骰子 蓝骰子

1

2

3

4

5

6

1 2

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

3
4 5 6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
25

22:32

从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。

例3 单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A、 B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌 握了考察的内容,它可以选择唯一正确的答案。假设 考生不会做,他随机的选择一个答案,问他答对的概 率是多少?

解:这是一个古典概型,因为试验的可能结果 只有4个:选择A、选择B、选择C、选择D,即 基本事件只有4个,考生随机的选择一个答案是 选择A、B、C、D的可能性是相等的,由古典 概型的概率计算公式得:
P ( “答对” )= “答对”所包含的基本事件的个数
4
22:32

=1/4=0.25

26

假设有20道单选题,如果有一个考生答对了17道题, 他是随机选择的可能性大,还是他掌握了一定的知 识的可能性大? 答:他应该掌握了一定的知识
可以运用极大似然法的思想解决。假设他每道题都是 随机选择答案的,可以估计出他答对17道题的概率为

?1? ? ? ? 4?

17

? 5.82?10?11

可以发现这个概率是很小的;如果掌握了一定的知 识,绝大多数的题他是会做的,那么他答对17道题 的概率会比较大,所以他应该掌握了一定的知识。
22:32 27

例4:假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个 数字可以是0,1,2…,9十个数字中的任意一 个。假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码, 问他到自动提款机上随机试一次密码就能取到 钱的概 率是多少?

22:32

28

解:这个人随机试一个密码,相当做1次随机试验, 试验的基本事件(所有可能的结果)共有10 000种, 它们分别是 0000 , 0001 , 0002 , … , 9998 , 9999. 由 于是随机地试密码,相当于试验的每一个结果试等 可能的.所以
P(“试一次密码就能取到钱”)

“试一次密码就能取到钱”所包含的基本事件的个数 = 10000
=1/10000 =0.0001

答:随机试一次密码就能取到钱概率是0.0001.
22:32 29

练习:某种饮料每箱装 6听,如果其中有 2 听不合格,问质检人员从中随机抽取 2 听,检测出不合格产品的概率有多大 ?

22:32

30

解:我们把每听饮料标上号码,合格的 4听分别记作: 1, 2, 3, 4,不合格的 2听分别记为 a, b,只要检测 的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品. 解法:可以看作不放回抽样2次,顺序不同,基本事件 不同.依次不放回从箱中取出2听饮料,得到的两个标记 分别记为x和y,则(x,y)表示一次抽取的结果,即基 本事件.由于是随机抽取,所以抽到的任何基本事件的 概率相等. 用A表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”, A1表示 “仅第一次抽出的是不合格产品”,A2表示“仅第二次 抽出的是不合格产品”,A12表示“两次抽出的都是不 合格产品”,则,和是互不相容的事件,且 A=A ∪A ∪A 1 2 12

从而P(A)= P(A1)+P(A2)+ P(A12)
22:32 31

全部基本事件的总数为30,

因为A1中的基本事件的个数为8, 1 1 2 2 a b 3 3 4 4

A2中的基本事件的个数为8,
1 a b 2 a b 3

a

b

4

a b

A12中的基本事件的个数为2,a
22:32

b

b

a

8 8 2 所以P(A)= 30 + 30 + 30 =0.6

32

例5

(2009天津卷文)为了了解某工厂开展群众体育活动的情况, 拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7个工厂进行调查, 已知A,B,C区中分别有18,27,18个工厂 (Ⅰ)求从A,B,C区中分别抽取的工厂个数;
(1)解: 工厂总数为18+27+18=63,
样本容量与总体中的个体数比为

7 1 ? 63 9

所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.

(Ⅱ)若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比, 用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率。
A ,A 在A区中抽得的2个工厂,为 1 2 .在B区中抽得的3个工厂,为 1 2 3 在C区中抽得的2个工厂,为 C1 , C 2 . 这7个工厂中随机的抽取2个,全部 的可能结果有:
( A1 , A2 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, B3 ),( A1, C1), ( A1 , C2 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , C1), ( A2 , C2 ),( B1, B2 ),( B1, B3 ),( B1, C1 ),( B1, C2 ), ( B2 , B3 ),( B2 , C1 ),( B2 , C2 ),( B3 , C1 ),( B3 , C2 ),(C1, C2 )共21种

B ,B ,B

随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有

( A1, A2 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, B3 ),( A1, C1),( A1, C2 ),( A2 , B1), ( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , C1 ),( A2 , C2 )共11种 11 所以所求概率为 21

自我评价练习:

1 (1)从一个不透明的口袋中摸出红球的概率为 5, 1
5 已知袋中红球有3个,则袋中共有除颜色外完全相同 的球的个数为 ( D ) A. 5 B. 8 C. 10 D.15

(2)一个口袋里装有2个白球和2个黑球,这4 个球除颜色外完全相同, 从中摸出2个球,则1个是白球,1个是黑球的概率是 ( A)
A.

2 3
1 8

B.

1 4
1 3

C.

3 4
7 8

D.

1 16

(3)先后抛3枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率为 ( c
A. B. C. D.

)

2 3

4、一个盒子里装有标号为1,2,?,5的5张标签,随 机地选取两张标签,根据下列条件求两张标签上的数字 为相邻整数的概率: 2 (1)标签选取是无放回的; 5 8 (2)标签的选取是放回。

25

5、在一个盒中装有6枝圆珠笔,其中3枝一等品,2枝 二等品和1枝三等品,从中任取3枝,分别求下列事件的 概率: 9 (1)恰有一枝一等品;20 9 (2)恰有两枝一等品; 1 20 (3)没有三等品。

2

1. 关于基本事件个数的确定:可借助列举法、列表法、
树状图法(模型),注意有规律性地分类列举.

2. 求事件概率的基本步骤.
(1)审题,确定试验的基本事件. (2)确认基本事件是否等可能,且是否有限个;若是,则为 古典概型,并求出基本事件的总个数.

n (3)确认所求事件所含基本事件的个数,由 P(A)=N计算.
【注意】当所求事件较复杂时,可看成易求的几个互斥事件 的和,先求各拆分的互斥事件的概率,再用概率加法公式求解.



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