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高考总复习椭圆的标准方程



高考总复习 椭圆的标准方程
一、本小节主要介绍以下几种题型
题型一:已知 a,c,求椭圆方程 题型二:已知 a,b,求椭圆方程 题型三:已知椭圆过两点,求椭圆方程 题型四:已知椭圆过一点和 c,求椭圆方程 题型五:弦中点问题,求椭圆方程 题型六:平面图形的几何意义求椭圆方程 题型七:与准线相关的椭圆方程 题型八:与离心率有关的椭圆方程 题型九:与正余弦定理相关的椭圆方程 题型十:已知弦长求椭圆 题型十一:已知三角形面积最值求椭圆方程

1

二、典型例题
题型一:已知 a,c,求椭圆方程
例 1、已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并 且 PF1+PF2=2F1F2,求椭圆的标准方程。 解:由 PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 b2=3. 所以椭圆的标准方程是 + =1. 4 3 练习题: 1、已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且 2a=10,求椭圆 的标准方程. 解:由椭圆定义知 c=1,∴b= 52-1= 24. ∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 24

y2 x2

x2

y2

2、 已知 A(? 3,0), B( 3,0) , 动点 P 满足 PA ? PB ? 4 .求动点 P 的轨迹 C 的 方程; 解:动点 P 的轨迹 C 的方程为
x2 ? y 2 ? 1; 4

题型二:已知 a,b,求椭圆方程
0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆 例 2、椭圆的一个顶点为 A?2,

的标准方程.
0? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 , 解: (1)当 A?2,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 1

2

0? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 , (2)当 A?2,

椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 4 16

练习题:
0? , a ? 3b ,求椭圆的标准 1、已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3,

方程. 解:椭圆的方程为
x2 y2 x2 ? y 2 ? 1 或者 ? ?1. 9 81 9

题型三:已知椭圆过两点,求椭圆方程
例 3、焦点在坐标轴上,且经过点 A( 3 ,-2)和 B(-2 3 ,1) 解:设所求椭圆方程为 mx2+ny2=1,(m>0,n>0 且 m≠n). 由 A( 3 ,-2)和 B(-2 3 ,1)两点在椭圆上可得
2 2 ? ?m ? ( 3 ) ? n ? (?2) ? 1 ? 2 2 ? ?m ? (?2 3 ) ? n ?1 ? 1

1 ? m ? ? ?3m ? 4n ? 1 15 即? ,解得 ? ? 12 m ? n ? 1 1 ? ?n ? ? 5 ?

故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? =1. 15 5

题型四:已知椭圆过一点和 c,求椭圆方程
例 4、求过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方 9 4 程.

x2 y2

x2 y2 解:因为 c =9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 =1. a a -5
2

3

9 4 由点(-3,2)在椭圆上知 2+ 2 =1,所以 a2=15.所以所求椭圆的 a a -5 标准方程为 + =1. 15 10

x2

y2

练习题: 1、 (2009 辽宁卷文、 理) 已知,椭圆 C 经过点 A(1, ),两个焦点为(- 1,0),(1,0). 求椭圆 C 的方程; 解:由题意,c=1,可设椭圆方程为 因为 A 在椭圆上,所以 解得 b2=3, , . ,

(舍去).所以椭圆方程为

题型五:弦中点问题,求椭圆方程
例 5、 已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、
B 两点,M 为 AB 中点,OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭

圆的方程. 解:由题意,设椭圆方程为
x2 ? y 2 ? 1, 2 a

?x ? y ?1 ? 0 由? ,得 ?1 ? a?2 x 2 ? 2a 2 x ? 0 , ? x2 2 ? 2 ? y ?1 ?a
1 x1 ? x2 1 ? a 2 ? 2 , y M ? 1 ? xM ? ∴ xM ? , 1? a2 2 a

4

? k OM ?

yM 1 1 ? 2 ? ,∴ a 2 ? 4 , xM a 4



x2 ? y 2 ? 1 为所求. 4

练习题:
1、已知中心在原点,一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线 l : y ? 3x ? 2 截得 的弦的中点的横坐标为 ,求椭圆的方程。 解:设椭圆的方程为
y2 x2 ? 2 ? 1 ,则 a 2 ? b 2 ? 50 ┅┅① 2 a b

1 2

设弦端点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,弦 PQ 的中点 M ( x0 , y0 ) ,则
1 1 ? x1 ? x2 ? 2x0 ? 1 , y1 ? y2 ? 2 y0 ? ?1 x0 ? , y0 ? 3 x0 ? 2 ? ? 2 2

y x y x 又 12 ? 12 ? 1 , 22 ? 22 ? 1 a b a b

2

2

2

2

两式相减得 b2 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? a 2 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 即 ? b2 ( y1 ? y2 ) ? a2 ( x1 ? x2 ) ? 0
?

y1 ? y2 a 2 ? x1 ? x2 b 2

?

a2 ? 3 ┅┅② b2

联立①②解得 a 2 ? 75 , b 2 ? 25
? 所求椭圆的方程是
y2 x2 ? ?1 75 25

2、已知椭圆
?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线方程是 x ? 1 ,有一条倾斜 a 2 b2

? 角为 的直线交椭圆于 A、 B 两点,若 AB 的中点为 C ? ? ? , ? ,求椭圆 2 4 4 1 1 ? ?

方程.

5

解 设 A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?1, y1 ? y2 ? , 且
x12 y12 x2 2 y2 2 ? ? 1 ? 2 ? 1, , ( 1 ) (2) a 2 b2 a2 b

1 2

?1? ? ? 2? 得:

b 2 ? x1 ? x2 ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 y1 ? y2 b 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? , , a2 b2 x1 ? x2 a 2 ? y1 ? y2 ? a2 1 2

?1 ? k AB ?

y1 ? y2 2b2 (3) ? 2 ,? a 2 ? 2b 2 , x1 ? x2 a



a2 ? 1 ,? a 2 ? c , (4)而 a 2 ? b2 ? c 2 , (5) c
1 2 1 4

由(3) , (4) , (5)可得 a 2 ? , b 2 ? , 所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 1 1 2 4

题型六:平面图形的几何意义求椭圆方程
例 6、已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离 分别为
4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一 3 3

个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF1 ?
2a ? PF 1 ? PF 2 ? 2 5 .即 a ? 5 .
4 5 2 5 , PF2 ? .从椭圆定义知 3 3

从 PF1 ? PF2 知 PF2 垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt?PF2 F1 中,
sin ?PF1F2 ? PF2 PF1 ? 1 , 2

可求出 ?PF1F2 ?

?
6

, 2c ? PF1 ? cos ?
6

?

2 5 10 ,从而 b 2 ? a 2 ? c 2 ? . 3 3

6

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 5 10 10 5

例 7、已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 64 (F 为圆 心)上一点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P.求动点 P 的轨迹方程; 解: (1)由题意:∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8 ∴|PA|+|PF|=8>|AF| ∴P 点轨迹为以 A、F 为焦点的椭圆 设方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

? 2a ? 8, a ? 4, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 22 ? 4 ? b 2 ? 12 x2 y 2 ? P点轨迹方程为 ? ?1 16 12

例 8、已知椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ,过原点和 x 轴不 a2 b2

重合的直线与椭圆 E 相交于 A ,B 两点,且 AF ? BF ? 2 2 , AB 最小 值为 2 。求椭圆 E 的方程; 解:设 A ?x0 , y 0 ? B( ? x0 , y 0 )F(c,0) ?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 则
AF ? BF ? 2a ? 2 2 ? a ? 2
AB ?

?2 x0 ?

2

? ?2 y0 ? ? 2 x0
2

2

2 ? x0 2 ? 2 c 2 x0 2 2 ? ? ? ?1 ? 2 ?b ? 2 b ? 2 ? 0 ? x0 ? a 2 a ? a ?

? AB min

x2 ? 2b ? 2 ?b ? 1所以有椭圆 E 的方程为 ? y 2 ? 1 2

7

例 9、已知椭圆的中点在原点 O,焦点在 x 轴上,点 A(?2 3,0) 是其左 顶点,点 C 在椭圆上且 AC ? CO ? 0, | AC |?| CO | . 求椭圆的方程; 解:设椭圆的标准方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), a2 b2

? 左顶点A(?2 3,0), AC ? CO, | AC |?| CO | . ? a 2 ? 12,点C(? 3, 3),

又∵C 在椭圆上,
?

x2 y2 3 3 ? 2 ? 1,? b 2 ? 4, ∴椭圆的标准方程为 ? ? 1. 12 b 12 4

练习题: 1、已知点 A、B、C 是椭圆 E:
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的三点,其中点 a 2 b2

A (2 3,0) 是椭圆的右顶点,直线 BC 过椭圆的中心 O,且 AC BC ? 0 ,
BC ? 2 AC ,如图。求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程;

解 : (I) O? OC ? AC

BC ? 2 AC

, 且
?
2

BC

过 椭 圆 的 中 心

AC BC ? 0 ??ACO ?

又 A (2 3,0) ? 点 C 的坐标为 ( 3, 3) 。 A (2 3,0) 是椭圆的右顶点,
x2 y2 ?a ? 2 3 , 则椭圆方程为: ? 2 ? 1将点 C ( 3, 3) 代入方程, 得 b2 ? 4 , 12 b

8

? 椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? ?1 12 4

题型七:与准线相关的椭圆方程
例 10、已知椭圆
e?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 a2 b

2 ,右准线方程为 x ? 2 .求椭圆的标准方程; 2
c 2 ? a 2 a2 ? 2 ,解得 a ? 2,c=1 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m c

解:有条件有

{

? b ? a 2 ? c2 ? 1 .

所以,所求椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

练习题: 1、椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0)
a2 (c>0)的准线 ? (准线方程 x= ? ,其中 a 为长半轴,c 为半焦距) c

与 x 轴交于点 A, OF ? 2 FA ,求椭圆方程; 解:由已知得 b ? 2, c ? 2( 所求椭圆方程为
a2 ? c) ,解得: c 2 ? 4, a 2 ? 6 c

x2 y2 ? ?1 6 2

9

2、已知椭圆 C 的中心为坐标原点,F1、F2 分别为它的左、右焦点, 直 线 x=4 为 它 的 一 条 准 线 , 又 知 椭 圆 C 上 存 在 点 M 使
2MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 |, | MF1 |?| MF2 | . 求椭圆

C 的方程;
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), c ? a 2 ? b 2 , a2 b2
a2 ∴ ?4 c

解: (1)据题意,设椭圆 C 的方程为 ∵直线 x=4 为椭圆 C 的准线,

又 | MF1 |?| MF2 | ,

∴M 为椭圆 C 短轴上的顶点,
MF1 ? MF2 | MF1 | ? | MF2 | ? 1 , 2

∵ | MF1 | ? | MF2 |? 2MF1 ? MF2 ,? cos?F1 MF2 ? ∴ ?F1 MF2 ? 60? ,△F1MF2 为等边三角形

∴ a ?| MF1 |?| MF1 |? 2c,故a 2 ? 4c ? 2a,? a ? 2, c ? 1 且 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 2 ? 11 ? 3 ,∴椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ?1 4 3

3、 (山东 06 文)已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭 圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 两准线间的距离为 4。 求椭圆的方程;
x2 y2 解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b
b?c

由已知得

2a ?4 c a2 ? b2 ? c2

2

a2 ? 2

?

b2 ? 1 c2 ? 1

x2 ? y 2 ? 1. ? 所求椭圆方程为 2

10

题型八:与离心率有关的椭圆方程
例 11、 (07 陕西理)已知椭圆
x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长 2 3 a b

轴长为 2 3 ,求椭圆的方程; 解: (1)设椭圆的半焦距为 c,
?c 6 , ? ? 依题意 ? a 3 解得 c ? 2 ?a ? 3 ?

由 a 2 ? b 2 ? c 2 , 得b ? 1.

? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

练习题: 1、已知椭圆 .求椭圆 C 的方程; 的离心率为 ,且经过点

解:根据题意有:

解得:

∴椭圆 C 的方程为 2、 已知椭圆

=1 的左焦点为 F (﹣ , 0) , 离心率 e= ,

M、N 是椭圆上的动点.求椭圆标准方程; 解:由题设可知: ∴b2=a2﹣c2=2…3 分 ,∴a=2,c= …2 分 …4 分

∴椭圆的标准方程为:

11

3、已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是 抛物线 y ? x 2 的焦点,离心率为
1 4

2 5 .求椭圆 C 的标准方程; 5

解: (I)设椭圆 C 的方程为

,则由题意知 b = 1. ∴椭圆 C 的方程为

题型九:与正余弦定理相关的椭圆方程
例 12、已知点 A(-1,0)、B(1,0)和动点 M 满足: ?AMB ? 2? ,且
| AM | ? | BM | cos2 ? ? 3 ,动点

M 的轨迹为曲线 C,过点 B 的直线交 C 于 P、

Q 两点.求曲线 C 的方程;
解:设 M (x,y),在△MAB 中,| AB | = 2, ?AMB ? 2? ∴ | AM |2 ? | BM |2 ?2 | AM | ? | BM | cos 2? ? 4 即 (| AM | ? | BM |)2 ? 2 | AM | ? | BM | (1 ? cos 2? ) ? 4 ? | AM | ? | BM | ? 4 因此点 M 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆,a = 2,c = 1 ∴曲线 C 的方程为 x
2

4

?

y2 ? 1. 3

题型十:已知弦长求椭圆
例 13、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆相交于点 P 和点 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 2

,求椭圆方程.

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) , 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,解方程组
12

y=x+1, mx2+ny2=1.
消去 y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0.

Δ=4n2-4 (m+n) (n-1) >0, 即 m+n-mn>0, OP⊥OQ ? x1x2+y1y2=0,
即 x1x2+ (x1+1) (x2+1) =0, 2x1x2+ (x1+x2) +1=0, ∴ 2(n ? 1) -
m?n
2n +1=0. m?n

m+n=2.
由弦长公式得 2· ②


4(m ? n ? mn) = ( 10 2 2 ( m ? n)
2 ) , 将 m+n=2 代入, 得 m· n= 3 .

4

m= 1 ,
解①②得

2 n= 3 2

m= 3 ,


2

n= 1 .
2
2

∴椭圆方程为 x + 3 y2=1 或 3 x2+ y =1..
2
2 2

2

2

题型十一:已知三角形面积最值求椭圆方程
例 14、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为
2 , F1 , F2 2

为其焦点,一直线过点 F1 与椭圆相交于 A, B 两点,且 ?F 2 AB 的最大面 积为 2 ,求椭圆的方程。 解:由 e =
2 得 a : b : c ? 2 : 1 : 1,所以椭圆方程设为 x 2 ? 2 y 2 ? 2c 2 2

设直线 AB : x ? m y ? c ,由 ?
(m 2 ? 2) y 2 ? 2mcy ? c 2 ? 0

?x ? m y ? c
2 2 2 ? x ? 2 y ? 2c

得:

? ? 4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) ? 4c 2 (2m 2 ? 2) ? 8c 2 (m 2 ? 1) ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 , y 2 是方程的两个根
13

2m c ? y1 ? y 2 ? 2 ? m ?2 由韦达定理得 ? 所以 ? 2 ?y y ? ? c ? 1 2 m2 ? 2 ?

2 2c m 2 ? 1 y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? m2 ? 2
2

S ?ABF2 ?

1 m2 ?1 F1 F2 y1 ? y 2 ? c ? 2 2c 2 2 m ?2



2 2c 2 m2 ? 1 ? 1 m2 ? 1

? 2 2c 2 ?

1 ? 2c 2 2

当且仅当 m ? 0 时,即 AB ? x 轴时取等号 ? 2c 2 ? 2, c ? 1
x2 所以,所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1 2

14



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