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高中数学人教A版必修5同步练习:1.1 第3课《正、余弦定理的综合应用》



第一章

1.1 第 3 课《正、余弦定理的综合应用》

一、选择题 sinA cosB 1.在△ABC 中,若 = ,则角 B 等于( a b A.30° C.60° [答案] B sinA sinB sinA cosB [解析] 由正弦定理知 = ,∵ = , a b a b ∴sinB=cosB,∵0° <B<180° ,

∴B=45° . 13 2.在△ABC 中,若 a=8,b=7,cosC= ,则最大角的余弦值是( 14 1 A.- 5 1 C.- 7 [答案] C [解析] 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC 13 =82+72-2×8×7× =9, 14 所以 c=3,故 a 最大, 所以最大角的余弦值为 b2+c2-a2 72+32-82 1 cosA= = =- . 2bc 7 2×7×3 3.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角 A 等于( A.30° C.120° [答案] B [解析] ∵(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, ∴b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 1 ∴cosA= = ,∴A=60° . 2bc 2 4.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 B.等腰三角形 ) B.60° D.150° ) 1 B.- 6 1 D.- 8 ) B.45° D.90° )

C.等腰直角三角形 [答案] B

D.正三角形

[解析] ∵2sinAcosB=sin(A+B),∴sin(A-B)=0,∴A=B. 5. 在△ABC 中, 已知 a=x, b=2, B=60° , 如果△ABC 有两解, 则 x 的取值范围是( A.x>2 4 3 C.2<x< 3 [答案] C [解析] 欲使△ABC 有两解,须 asin60° <b<A. 即 3 4 3 x<2<x,∴2<x< . 2 3 ) B.x<2 4 3 D.2<x≤ 3 )

6.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为( A.75° C.45° [答案] B 1 [解析] ∵3 3= ×4×3sinC, 2 ∴sinC= 3 , 2 B.60° D.30°

∵△ABC 为锐角三角形, ∴C=60° ,故选 B. 二、填空题 7.已知 a,b,c 为△ABC 的三边,B=120° ,则 a2+c2+ac-b2=________. [答案] 0 [解析] ∵b2=a2+c2-2accosB =a2+c2-2accos120° =a2+c2+ac, ∴a2+c2+ac-b2=0. 8.在△ABC 中,A=60° ,最大边与最小边是方程 x2-9x+8=0 的两个实根,则边 BC 长为________. [答案] 57

[解析] ∵A=60° , ∴可设最大边与最小边分别为 b,C. 又 b+c=9,bc=8, ∴BC2=b2+c2-2bccosA

=(b+c)2-2bc-2bccosA =92-2×8-2×8×cos60° =57, ∴BC= 57. 三、解答题 B 9.在△ABC 中,S△ABC=15 3,a+b+c=30,A+C= ,求三角形各边边长. 2 B 3B 1 3 [解析] ∵A+C= ,∴ =180° ,∴B=120° .由 S△ABC= acsinB= ac=15 3得:ac 2 2 2 4 =60,由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cos120° ) =(30-b)2-60 得 b=14, ∴a+c=16 ∴a,c 是方程 x2-16x+60=0 的两根.
? ? ?a=10 ?a=6 所以? 或? ?c=6 ? ? ?c=10



∴该三角形各边长为 14,10 和 6. 1 10.在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= . 3 (1)求 sinA 的值; (2)设 AC= 6,求△ABC 的面积. π [解析] (1)由 sin(C-A)=1,-π<C-A<π,知 C=A+ . 2 π 又∵A+B+C=π,∴2A+B= , 2 π π 即 2A= -B,0<A< . 2 4 1 3 故 cos2A=sinB,即 1-2sin2A= ,sinA= . 3 3 (2)由(1)得 cosA= 6 . 3

ACsinA 又由正弦定理,得 BC= =3 2. sinB 1 1 ∴S△ABC= · AC· BC· sinC= AC· BC· cosA=3 2. 2 2

一、选择题 1.在钝角三角形 ABC 中,若 sinA<sinB<sinC,则( )

A.cosA· cosC>0 C.cosA· cosB>0 [答案] C

B.cosB· cosC>0 D.cosA· cosB· cosC>0

[解析] 由正弦定理得,a<b<c,∴角 C 是最大角, ∴角 C 为钝角,∴cosC<0,cosA>0,cosB>0. 2.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则此三角形一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 [答案] B [解析] 由余弦定理,得 b2=a2+c2-ac, 又∵b2=ac, ∴a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,∴a=c, ∵B=60° ,∴A=C=60° . 故△ABC 是等边三角形. 3.在△ABC 中,有下列关系式: ①asinB=bsinA; ②a=bcosC+ccosB; ④b=csinA+asinC. B.等边三角形 D.钝角三角形 )

③a2+b2-c2=2abcosC; 一定成立的有( A.1 个 C.3 个 [答案] C )

B.2 个 D.4 个

[解析] 对于①③, 由正弦、 余弦定理, 知一定成立. 对于②, 由正弦定理及 sinA=sin(B +C)=sinBcosC+sinCcosB,知显然成立.对于④,利用正弦定理,变形得 sinB=sinCsinA +sinAsinC=2sinAsinC,又 sinB=sin(A+C)=cosCsinA+cosAsinC,与上式不一定相等,所 以④不一定成立.故选 C. π 3 4.△ABC 中,BC=2,B= ,当△ABC 的面积等于 时,sinC 等于( 3 2 A. C. 3 2 3 3 1 B. 2 D. 3 4 )

[答案] B 1 3 3 [解析] 由正弦定理得 S△ABC= · AB· BC· sinB= AB= , ∴AB=1, ∴AC2=AB2+BC2 2 2 2

1 1 3 1 -2AB· BC· cosB=1+4-4× =3,∴AC= 3,再由正弦定理,得 = ,∴sinC= . 2 sinC π 2 sin 3 二、填空题 5.△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为________. [答案] 15 3 4

[解析] 由余弦定理知 72=52+BC2+5BC,即 BC2+5BC-24=0, 1 15 3 解之得 BC=3,所以 S= ×5×3×sin120° = . 2 4 6.已知三角形两边长分别为 1 和 3,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆半径 为__________. [答案] 1 [解析] 如图,AB=1,BD=1,BC= 3,

设 AD=DC=x,在△ABD 中, x2+1-1 x cos∠ADB= = , 2x 2 x2+1-3 x2-2 在△BDC 中,cos∠BDC= = , 2x 2x ∵∠ADB 与∠BDC 互补, x2-2 x ∴cos∠ADB=-cos∠BDC,∴ =- , 2 2x ∴x=1,∴∠A=60° ,由 3 =2R 得 R=1. sin60°

三、解答题 1 7.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA= ,a=4,b+c=6,且 4 b<c,求 b,c 的值. 1 [解析] ∵a2=b2+c2-2bccosA,b2+c2=(b+c)2-2bc,a=4,cosA= , 4

1 ∴16=(b+c)2-2bc- bC. 2 又 b+c=6,∴bc=8.
? ?b+c=6, 解方程组? ?bc=8, ?

得 b=2,c=4,或 b=4,c=2. 又∵b<c,∴b=2,c=4. 8.(2014· 浙江理,18)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,C.已知 a≠b, c= 3,cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB. (1)求角 C 的大小; 4 (2)若 sinA= ,求△ABC 的面积. 5 [解析] (1)由已知 cos2A-cos2B= 3sinAcosA- 3sinBcosB 得. 1 1 3 3 (1+cos2A)- (1+cos2B)= sin2A- sin2B, 2 2 2 2 1 3 1 3 ∴ cos2A- sin2A= cos2B- sin2B, 2 2 2 2 π π 即 sin(- +2A)=sin(- +2B), 6 6 π π π π ∴- +2A=- +2B 或- +2A- +2B=π, 6 6 6 6 2π 即 A=B 或 A+B= , 3 2π π ∵a≠b,∴A+B= ,∴∠C= . 3 3 (2)由(1)知 sinC= 3 1 ,cosC= , 2 2

3 3+4 ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 10 a c 由正弦定理得: = , sinA sinC 4 8 又∵c= 3,sinA= .∴a= . 5 5 18+8 3 1 ∴S△ABC= acsinB= . 2 25



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