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高一数学教案:4


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题:4 8
新疆 王新敞
奎屯

正弦函数、余弦函数的图象和性质( 正弦函数、余弦函数的图象和性质(4)

教学目的: 教学目的: 1 理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间;
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3 掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点: 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点: 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型: 授课类型:新授课 课时安排: 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 教学过程
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一、复习引入: 复习引入: 1.y=sinx,x∈R 和 y=cosx,x∈R 的图象,分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 y 0 π 2π 3π 4π 5π 6π x

f(x) = sin(x)
1 -6π -5π -4π -3π -2π -π -1 y 0 π 2π 3π 4π 5π 6π x

f(x) = cos(x)
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是: 关键点

(0,0) ( ,1) (π,0)
2

π

(

3π 2

,-1) (2π,0)

余弦函数 y=cosx (0,1) (

x∈[0,2π]的五个点关键是
3π ,0) 2

π
2

,0) (π,-1) (

(2π,1)

3.定义域: . 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R[或(-∞,+∞)] , 分别记作: y=sinx,x∈R y=cosx,x∈R 4.值域 正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1] 其中正弦函数 y=sinx,x∈R
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①当且仅当 x=

π
2

+2kπ,k∈Z 时,取得最大值 1

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②当且仅当 x=-

π
2

+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1

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而余弦函数 y=cosx,x∈R ①当且仅当 x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值 1 ②当且仅当 x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1
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6

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5.周期性 正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2

π

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6.奇偶性 y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数 正弦曲线关于原点 O 对称,余弦曲线关于 y 轴对称 7.单调性 正弦函数在每一个闭区间[- 增大到 1;在每一个闭区间[
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π
2

+2kπ,

π
2

+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1

π
2

+2kπ,

3π +2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 2

到-1 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1 讲解范例 范例: 二、讲解范例:
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例 1 求函数 y=sin 误解:令u=

1? x π 2

1? x π的单调增区间 2

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∵y=sinu在[2kπ- ∴2kπ-

π
2

,2kπ+

π
2

](k∈Z)上递增 Z

π
2



1? x π π≤2kπ+ 2 2

解得-4k≤x≤-4k+2 ∴原函数的单调递增区间为[-4k,-4k+2](k∈Z) Z 分析:上述解答貌似正确,实则错误,错误的原因是,令u= 的减函数,未考虑复合后单调性的变化 正解如下: 解法一:令u=
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1? x π,忽视了u是 x 2

1? x π,则 u 是 x 的减函数 2 π 3π 又∵y=sinu在[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z)上为减函数, Z 2 2 π 3π ∴原函数在[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈Z)上递增 Z 2 2 π 1? x 3π 设 2kπ+ ≤ π≤2kπ+ 2 2 2

解得-4k-2≤x≤-4k(k∈Z) Z ∴原函数在[-4k-2,-4k](k∈Z)上单调递增 Z 解法二:将原函数变形为 y=-sin 因此只需求 sin

x ?1 π=y 的减区间即可 2

x ?1 π 2

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∵u=

x ?1 π为增函数 2

∴只需求 sinu的递减区间 ∴2kπ+

π
2



x ?1 3π π≤2kπ+ 2 2

解之得:4k+2≤x≤4k+4(k∈Z) Z ∴原函数的单调递增区间为[4k+2,4k+4](k∈Z) Z 一、利用三角函数的有界性 利用三角函数的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1 来求三角函数的最值 例 2 a、b 是不相等的正数
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求 y= a cos x + b sin x +
2 2
2

a sin 2 x + b cos 2 x 的最大值和最小值

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解:y 是正值,故使 y 达到最大(或最小)的 x 值也使 y 达到最大(或最小)

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y2=acos2x+bsin2x+2 a cos 2 x + b sin 2 x · a sin 2 x + b cos 2 x +asin2x+bcos2x
=a+b+ 4ab + ( a ? b) sin 2 x
2 2

∵a≠b,(a-b) >0,0≤sin 2x≤1 ∴当 sin2x=±1 时,即 x= 当 sinx=0 时,即 x=

2

2

kπ (k∈Z)时,y 有最小值 a + b Z 2

kπ π + (k∈Z)时,y 有最大值 2(a + b) ; Z 2 2
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二、利用三角函数的增减性 如果 f(x)在[α,β]上是增函数,则 f(x)在[α,β]上有最大值 f(β),最小值 f(α);如果 f(x)在[α,β]上是减函数,则 f(x)在[α,β]上有最大值 f(α),最小 值 f(β)
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例 3 在 0≤x≤

π
2

条件下,求 y=cos x-sinxcosx-3sin x 的最大值和最小值

2

2

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解:利用二倍角余弦公式的变形公式,有

y=

1 + cos 2 x 1 ? cos 2 x -2sin2x-3· =2(cos2x-sin2x)-1 2 2

=2 2 (cos2xcos =2 2 cos(2x+ ∵0≤x≤

π

π
4

4

-sin2xsin

π

4

)-1

)-1

π
2



π
4

≤2x+

π
4



5π 4

cos(2x+

π
4

)在[0,

3π 8

)上是减函数

故当 x=0 时有最大值

2 2

6

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当 x=

3π 8

时有最小值-1

cos(2x+

π
4

)在[

3π 8



π
2

]上是增函数

故当 x=

3π 8

时,有最小值-1

当 x=

π
2

时,有最大值-

2 2

综上所述,当 x=0 时,ymax=1 当 x=

3π 8

时,ymin=-2 2 -1

三、换元法 利用变量代换,我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解 4 3 2 2 3 4 例 4 求 f(x)=sin x+2sin xcosx+sin xcos x+2sinxcos x+cos x 的最大值和最小值 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解:f(x)=(sin x+cos x) -2sin xcos x+2sinxcosx(sin x+cos x)+sin xcos x=1+ 2 2 2sinxcosx-sin xcos x
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令t=

1 sin2x 2 1 1 ∴- ≤t≤ 2 2
在①的范围内求②的最值

① ②

f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2
当t=

1 π 7 ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)max= Z 2 4 4 1 3π 1 当t=- ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,f(x)min=- Z 2 4 4
四、求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一,也是会考、高考必考内容,在求解 中欲达到准确、迅速,除熟练掌握三角公式外,还应注意以下几点: 1.注意 sinx、cosx 自身的范围 2 例 5 求函数 y=cos x-3sinx 的最大值
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解:y=cos x-3sinx=-sin x-3sinx+1=-(sinx+ ∵-1≤sinx≤1, ∴当 sinx=-1 时,ymax=3

2

2

3 2 13 )+ 2 4

说明:解此题易忽视 sinx∈[-1,1]这一范围,认为 sinx=- 造成误解 2.注意条件中角的范围
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3 13 时,y 有最大值 , 2 4

6

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例 6 已知|x|≤
2

π
4

,求函数 y=cos x+sinx 的最小值

2

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解:y=-sin x+sinx+1=-(sinx- ∵-

π
4

≤ x≤

π
4

1 2 5 )+ 2 4

∴-

2 2 ≤sinx≤ 2 2 2 时 2

∴当 sinx=-

ymin=-(-

2 1 2 5 1? 2 - )+ = 2 2 4 2

说明:解此题注意了条件|x|≤ 小值,产生误解 3.注意题中字母(参数)的讨论
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π
4

,使本题正确求解,否则认为 sinx=-1 时 y 有最

例 7 求函数 y=sin x+acosx+

2

5 3 π a- (0≤x≤ )的最大值 8 2 2

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解:∵y=1-cos x+acosx+

2

5 3 a a2 5 1 a- =-(cosx- )2+ + a- 8 2 2 4 8 2

∴当 0≤a≤2 时,cosx=

a a2 5 1 ,ymax= + a- 2 4 8 2

当 a>2 时,cosx=1,ymax=

13 3 a- 8 2 5 1 当 a<0 时,cosx=0,ymax= a- 8 2
说明:解此题注意到参数 a 的变化情形,并就其变化讨论求解,否则认为 cosx=

a 时, 2

y 有最大值会产生误解

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4.注意代换后参数的等价性 例 8 已知 y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求 y 的最大值、最小值 解:设 t=sinθ-cosθ= 2 sin(θ- ∴2sinθcosθ=1-t
2 2

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π
4

)

∴y=-t +t+1=-(t- 又∵t= 2 sin(θ-

π
4

1 2 5 )+ 2 4

),0≤θ≤π

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∴-

π
4

≤θ-

π
4



3π 4

∴-1≤t≤ 2 当t=

1 5 时,ymax= 2 4

当t=-1 时,ymin=-1 说明:此题在代换中,据θ范围,确定了参数t∈[-1, 2 ],从而正确求解,若 忽视这一点,会发生t= 三、课堂练习: 课堂练习 四、小结 三角函数最值的求解:三角函数最值是中学数学的一个重要内容,加强这一内容 的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识,沟通三角、代数、几何之间的联系,培 养学生的思维能力 本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 课后作业: 五、课后作业
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1 时有最大值而无最小值的结论 2

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六、板书设计(略) 板书设计 七、课后记: 课后记:

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