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4-1.4.2.2正弦、余弦函数l图象与性质小结(1)--高一上学期必修四【理教案】


高一数学【理】教案

高一数学组

一、 三角函数的图像与性质 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ?? 2 ? ?
R

值域

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ? ??
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

时, ymax ? 1 ; 最值 当 x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ? ??

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1.
2?
偶函数

既无最大值也无最小值

时, ymin ? ?1. 周期性 奇偶性

2?
奇函数 在 ? 2k? ?

?
奇函数

? ?

?
2

, 2k? ?

??
2? ?
在 ? 2k? ? ? ,2k? ? ? k ??? 上 是增函数; 在 ?2k? ,2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.

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对称中心 ? k? ,0?? k ??? 对称性 对 称 轴

















x ? k? ?

?
2

?k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ?? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

1、画三角函数的图象应先求函数的周期,然后用五点法画出函数在一个周期内的图象, 再通过平移拓展得到整个定义域内的图象. 2、函数 y ? sin x 的图象关于点 ( k? , 0 ) 中心对称,关于直线 x ? k? ? ? 轴对称; y ? cos x 图象
2

k? 关于点 (k? ? ? , 0 ) 中心对称,关于直线 x ? k? 轴对称; y ? tan x 的图象关于点 ( , 0 ) 中心 2 2 对称,无对称轴.其中 k ? Z . 3、函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象关于点 ( k? ? ? , 0) 中心对称,关于直线 x ? k? ? ? ? ? 轴对称, ? ? 2? 其中 k ? Z .

4、三角函数的周期性 (1)对周期函数的定义,要抓住两个要点: ① 周期性是函数的整体性质,因此 f ( x ? T ) ? f ( x) (T ? 0 ) 必须对定义域中每一个自变 量 x 成立时,非零常数 T 才是 f ( x) 的周期.周期是使函数值重复出现的自变量 x 的增加值. 正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 都是以周期 2? 为最小正周期的周期函数; 正切函 数 y ? tan x 和余切函数 y ? cot x 都是以 ? 为最小正周期的周期函数. ② 在没有特别说明的情况下,周期一般是指最小正周期. (2)熟记周期公式: y ? A sin(? x ? ? ) , y ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 ) 的最小正周期为: T ? 2? ;
|? |

y ? A tan(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期为: T ? ? . |? |

(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用 先在一个周期内研究其图象和性质,再由周期性推广到整个定义域内. 周期函数 f ( x) 的常见表现形式: ① 对定义域内的每个 x ,都有 f ( x ? T ) ? ? f ( x) (T ? 0 ) 成立,则 2T 是函数 f ( x) 的一个 周期. ② 对定义域内的每个 x ,都有 f ( x ? T ) ? 1 或 f ( x ? T ) ? ? 1 (T ? 0) 成立,则 2T 是
f ( x) f ( x)

函数

f ( x) 的一个周期.

③ 对定义域内的每个 x ,都有 f ( x ? T ) f ( x) ? b (b ? 0) ,则 2T 是函数 5. 与三角函数有关的常用一些函数的值域要熟悉.

f ( x) 的一个周期.

① y ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) , 当 x ? R 时,y ? [? 2 , 2 ] ; 当 x ? ( 0 , ? ) 时,y ? (1, 2 ] ;
4
2

当 x 为三角形的一个内角时, y ? ( ? 1, 2 ] .

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② y ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ? ) ,当 x ? R 时, y ? [? 2 , 2 ] ;当 x ? ( 0 , ? ) 时 y ? ( ?1, 1) .
4

2

③ y ? tan x ? cot x ? (?? , ? 2 ] ? [ 2 , ? ? ) . 二、典型例题: 1.三角函数的图象 例 1.函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

变式 1.函数 y=x+sin|x|,x∈[-π,π]的大致图象是(



变式 2.函数 y ? ln cos x( ?

?

? x ? ) 的图象是 2 2

?





A

B

C
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D
2

变式 3:函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 ( ? , 3? ) 内的图象是
2

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y

y

y
?
2

y

2 -

?
?
2

2 -

?
?
2

o ?2 -

?

3? 2

?
2

x

o

?
A

3? 2

x

o

?
B

3? 2

x

?

o ?2 -

?

3? 2

x

?

变式 4:已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是( ...

C

D



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2、三角 2、函数的性质 例 2.函数 y ?

?? ? log 1 sin ? ? 2 x ? 的定义域是( ?3 ? 2



A、 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

??k ? Z ? 6?

B、 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

C、 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ?k ? Z ? 3 ? ?

D、 ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

??k ? Z ? 6?

例 3、函数 y ? 3 sin( kx ?

?
3

) 的最小正周期 T 满足 T ? (1,3) ,求正整数 k ,并就最小的 k

值求出其单调区间及对称中心.

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例 4.如果函数 y ? sin 2 x ? a cos2 x 的图象关于直线 x ? 变式 1:下列命题:

? 对称,求 a 的值. 8

①若 f ( x) 是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数, ? ? (

? ?

, ) ,则 4 2

f (sin? ) ? f (cos? ) ;

④要得到函数 y ? cos( 其中真命题的个数有( A.1 A.13

x ? x ? ? ) 的图象, 只需将 y ? sin 的图象向左平移 个单位. 2 4 2 4
) C.3 C. 13 2 D.4
?(

B.2 B.2

9 9 ) () ? 2 , 变式 2.设定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ( x ? 2) ? 13 , 若 f1 则 f(



变式 3:给出四个命题:①存在实数 ? ,使 sin ? cos ? ? 1 ;②存在实数 ? ,使

D. 2 13

sin ? ? cos ? ?

3 5? ? 5? ( ? 2 x) 是偶函数;④ x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ) 的 ; ③ y ? sin 2 2 4 8

一条对称轴方程;⑤若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? 确命题的序号是_____。

? ,则 sin ? ? sin ? 。其中所有的正
?

变式 4:已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,

6

且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x ) 的单调递增区间是

?

2

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(A) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

变 式 5 . 已 知 函 数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ), g ( x) ? 3cos(? x ? ? ) 若 对 任 意 x ? R , 都 有

f(

?
3

? x) ? f (

?

? ? x) ,则 g ( ) =________. 3 3

1 ? cos ? x, (x ? ) ? ( x ? 0) ?sin ? x, ? 2 变式 6:设 f ( x) ? ? 和 g ( x) ? ? 1 ( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1, ? g ( x ? 1) ? 1, (x ? ) ? ? 2 1 1 5 3 求 g ( ) ? f ( ) ? g ( ) ? f ( ) 的值. 4 3 6 4 变式 7:设 f ( x) ? m sin(?x ? ?1 ) ? n cos(?x ? ? 2 ) ,其中 m、n、 ?1 、 ? 2 都是非零实数, ) ? 1, 则 f (2002) ? 若 f (2001 .
3.三角函数的最值

sin x ? a (0 ? x ? ? ) ,下列结论正确的是( 例5.设 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? ? sin x
A.有最大值而无最小值 C.有最大值且有最小值 变式 1.若将函数 y ? tan ? ? x ? B.有最小值而无最大值 D.既无最大值又无最小值



? ?

??

? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 6 个单位长度后,与函数 4?

?

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?
A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

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变式 2. (1)若 x ? [ ?

? ?

1 , ] ,求函数 y ? ? 2 tan x ? 1 的最值及相应的 x 的值. 3 4 cos 2 x
2

(2)求函数 y ? sin x ? a cos x ?

1 3 a ? 的最大值为 1 时 a 的值. 2 2

:变式 3:已知 f ( x) ? 2a sin( 2 x ? 为-5,求 a,b 的值. 4、数形结合思想的应用

?
3

) ? b 的定义域为[0, ? ],函数的最大值为 1,最小值
2

时 ,不等式 sin 例 6.当 0 ? x ? 1
? ?

?x
2

? kx 成立,则实数 k 的取值范围是_______________.

变式 1. 定义在区间 ? 0 ,

??

过点 P ? 上的函数 y=6cosx 的图像与 y=5tanx 的图像的交点为 P, 2?

作 PP1⊥x 轴于点 P1, 直线 PP1 与 y=sinx 的图像交于点 P2,则线段 P1P2 的长为____________。

变式 2.判断方程 sin x ?

x 的根的个数。 10


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