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上海市静安区2016年高三数学二模(理)试卷及解析


静安区 2015 学年第二学期高三年级高考模拟 文理科数学试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2016.4

考生注意: 本试卷共有 23 道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.(文)已知全集 ,集合 ,则集合 的补集 .

(理)计算: 2. (文)指数方程 (理)设复数 满足

_. 的解是 ( 为虚数单位),则 . .

3. (文)已知无穷等比数列 穷等比数列 (理)若原点 范围是 4.函数 各项的和是 和点 .

的首项 .

,公比

,则无

在直线

的两侧,则 的取值

的递增区间为 .

.

5.算法流程图如图所示,则输出的 值是 6. 抛物线上一点到焦点的距离为 1,则点的横坐标是 7. (文)设函数 . ,则不等式

. 的解集为

(理)一盒中装有 12 个同样大小的球,其中 5 个红球,4 个黑球,2 个白球,1 个绿球.从中随机 取出 1 个球,则取出的 1 个球是红球或黑球或白球的概率为 8.关于? 的函数 解析式为 . 的最大值记为 , 则 . 的

1

9.(文)如图所示,是一个由圆柱和球组成的几何体的三视图,若 积等于 .

,则该几何体的体

(理)如图,正四棱锥 侧面积为

的底面边长为 .



,则它的体积为

10.(文) 圆心在直线 2x?y?7=0 上的圆 C 与 y 轴交于 A(0, ?4)、B(0, ?2) 两点,则圆 C 的方程为 .

(理)已知双曲线 圆 值范围为

的渐近线与

没有公共点, 则该双曲线的焦距的取 . , 且 , , 则 .

11.已知△ABC 外接圆的半径为 , 圆心为

12. (文)若不等式组 则 的值是 (理)若以过 .

所表示的平面区域被直线

分为面积相等的两部分,

点的直线的倾斜角 为参数,则圆

的参数方程



.

13. (文)掷两颗均匀的骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)(i 为虚数 单位)为实数的概率为 .

(理) 已知数列 和

满足

, . 对任意

, 则数列

的前 项

的最大值为

14. 设关于 的实系数不等式

恒成立,则

.

2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸 的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.(文) A. 1 的展开式中 B. 4 的系数为( C. 6 ) D. 12

(理)下列不等式一定成立的是 ( )

A.

B.

C.

D.

16. (文) 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若△ABC 的面积 ∠A 的弧 度数为( )



A.

B.

C.

D.

(理)在极坐标系中,圆

的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ( )

A.

B.

C. 17. 若函数 A.-1 B.1

D. 为奇函数, 且 g(x)= f(x)+2, 已知 f(1) =1, 则 g (-1)的值为 ( C.-2 D.2 )

18. (文)已知实数 A. 17

满足 B. 15

则 C. 9

的最大值为( D. 5



(理)袋中装有 5 个同样大小的球,编号为 1,2,3,4,5. 现从该袋内随机取出 3 个球,记被取 出的球的最大号码数为?,则 E?等于( A. 4 B.4.5 ) D. 5 C. 4.75

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. 19.(文)(本题满分 12 分)
3

如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P—ABCDEF(底面正六边形 ABCDEF 的中心为球心). 求:正六棱锥 P—ABCDEF 的体积和侧面积.

(理)(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.

已知 且与抛物线 (1)求椭圆 (2)过椭圆

分别是椭圆 有一个公共的焦点. 的方程;

(其中

)的左、右焦点,椭圆

过点

的右焦点且斜率为 1 的直线 与椭圆交于



两点,求线段

的长度.

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (文)题同理科第 19 题。 (理) 设点 坐标原点,射线 (1)求向量 (2)若点 若存在,求点 与 分别是棱长为 2 的正方体 、 、 分别是 轴、 的棱 的中点.如图,以 为

轴、 轴的正半轴,建立空间直角坐标系.

的数量积; 与线段 上的点,问是否存在直线 , 平面 ?

分别是线段

的坐标;若不存在,请说明理由.

4

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图, 、 是海岸线 、 上的两个码头 ,海中小岛有码头 到海岸线 、 的距离

分别为



.测得



.以点

为坐标原点,射线

为 轴 航

的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以 行(将航线 看作直线,码头 沿 在第一象限,航线 经过

的平均速度在水上旅游线 ).

(1)问游轮自码头 (2)海中有一处景点 游轮在水上旅游线

方向开往码头 在

共需多少分钟? ,且 ),游轮无法靠近.求

(设点

平面内, 最近的点 C 的坐标.

航行时离景点

22.(本题满 分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 数 ,若在区间 内有且只有一个实数 ( ),使得 成立,则称函

在区间 内具有唯一零点. (1) (文)判断函数 在定义域内是否具有唯一零点,并说明理由;

(理)判断函数

在区间

内是否具有唯一零点,并说明理由;

(2)已知向量 内具有唯一零点; (3)若函数





,证明

在区间

在区间

内具有唯一零点,求实数 m 的取值范围.

23.(文) (本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知各项为正的数列 有 (1)求数列 = 的通项公式; 是等比数列,且 . , ;数列 满足:对于任意 ,

5

(2)求数列 (3)在数列 列 . 求数列

的通项公式; 的任意相邻两项 与 之间插入 个 ( )后,得到一个新的数

的前 2016 项之和.

(理)(本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题 满分 8 分. 已知数列 (1)求数列 (2)求数列 满足 的通项公式; 的前 项和 ; ( ),首项 .

(3)数列

满足

,记数列

的前 项和为



是△ABC 的内角,若

对于任意

恒成立,求角

的取值范围.

6

静安区 2016 年高考模拟考解答与评分细则

1.文:

;理:



2.文:

;理:

3.文:12;理:

4. 5.5 6.点的横坐标为.

7.文:

;理:



8.

9.文: 10.文: 11.12

;理:4 ;理:

12.文:

;理:

1 13.文:6;理:127
14. 15.文理:C 16.文 D 理 B 17. A 18.文理 B 19.文: 设底面中心为 O,AF 中点为 M,连结 PO、OM、PM、AO,则 PO⊥OM, …………2 分

7

OM⊥AF,PM⊥AF, ∵OA=OP=2, ∴OM=,
1 ∴S 底=6×2×2×=6.

∴V=

×6×2=4. …………6 分

PM==. …………8 分
1 ∴S 侧=6×2×2×=6. …………12 分 理:(1)抛物线 的焦点为 ………1 分

所以椭圆

的左焦点为





………2 分



,得

,解得



舍去)………4 分

故椭圆

的方程为

。………6 分 . …………………7 分

(2)直线 的方程为

联立方程组 消去 设 并整理得 , . . …………………9 分(文 10 分)

故 则





…………………10 分(文 11 分) …………12 分(文 14 分)

20.文题同理 19,评分 标准见上。 理:(1)在给定空间直角坐标系中,相关点及向量坐标为

8

…………2 分 …………4 分 所以 (2)存在唯一直线 若 平面 , ,则 平面 与平面 。 。 …………6 分 …………8 分 平行,所以,可设

的法向量

…………10 分 又因为点 分别是线段 , 与线段 上的点,所以 ,即

…………12 分 , ,

所以



解得

所以点

的坐标分别是

, ,直线

。 …………14 分 的方程为 , ………1 分

21.解:(1)由已知得:

设 直线

,由 的方程为 ,即

及图

得 ,



………3 分 ………5 分





即 ,即水上旅游线

, 的长为

………6 分 .

游轮在水上旅游线自码头 (2)解法 1:点 到直线

沿

方向开往码头

共航行 30 分钟时间. ………8 分 。 ………10 分

的垂直距离最近,则垂足为

9

由(1)知直线 , 所以解直线

的方程为 ………12 分 和直线



,则直线

的方程为

的方程组,得点 上的点 处,

的坐标为(1,5).

……14 分

解法 2:设游轮在线段



, , ,则



………10 分

, 时, 当 5).



………1 2 分

时,离景点 最近,代入 ………14 分

得离景点

最近的点的坐标为(1,

22.文:(1)函数 因为当 时,都有

在定义域内不具有唯一零点, ………2 分 ; ………4 分

理:(1)函数 理由:当 时,有 是增函数,有 ,且当

在区间 时,有 .

内具有唯一零点. …2 分 ;当 …………4 分 时,

(2) 因为

,所以

,

…………7 分

10

的解集为

; 因为

,所以在区间

内有且

只有一个实数

,使得

成立,因此

在开区间

内具有唯一零

点; …………10 分 (3) 函数 .以下分?m 与区间 1)当 即 时, 在开区间 内具有唯一零点,该二次函数的对称轴为

的位置关系进行讨论. 在开区间 是增函数,只需

解得 2) 当 所以

; 即

…………12 分 时,若使函数在开区间 时,符合题意;当 内具有唯一零点, 时, 空集; 当 , 时,

。分三种情形讨论:当

只需

解得

; …………14 分

3)当 解得 ;



时,

在区间

是减函数,只需

综上讨论,实数 m 的取值范围是 23.文:(1)由 ………4 分 (2) 当 于是 时, . ………10 分 的第 项是数列 的第 ,得 . 得,





. …………16 分

。 ………2 分

………5 分 . ………8 分

(3)设数列

项,即

.

11



时,

. ………12 分

, 设 则 其中 , 表示数列 的前 n 项之和.





………14 分

. 。又 ,则

= =

= 因此, 理:(1)数列 满足 . ………18 分 ( )



,∵

,∴

为常数,…………2 分

∴数列

是等差数列,首项为

,公差为 …………4 分

∴ (2)

…………6 分

…………10 分

12

(3)数列

满足

,则

,…………11 分

因此有:

=

…………13 分

∴由题知△ABC 中,

恒成立,而对于任意



成立,

所以 又

即 ,即



…………16 分



,即



…………18 分

13


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