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第六套 安徽省合肥一中2013年高考冲刺最后一卷数学试题(理科)1


合肥一中 2013 年高考冲刺最后一卷数学试题(理科) 暨 13 届岳西中学最后一次联考(6.2)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 z ? (1 ? 2sin ? ) ? (2cos? ? 3)i(0 ? ? ? ? )是纯虚数, 则? = A. ( )

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

?
6



5? 6

2.如图是将二进制数 111111(2)化为十进制数的一个程序框图, 判断框内应填入的条件是 ( ) A. i ? 5 B. i ? 6 C. i ? 5 D. i ? 6 3.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)(a ? x) ? 0}, 集合B ? {x || x ? 1| ?

| x ? 2 |? 3}, 且(CR A) ? B ? R, 则实数a 的取值范围是
( A. (??, 2) C.[—1,2] B. (?1, ??) D. [?1,1) ? (1, 2] )

4.已知向量 OA ? (3,1), OB ? (2, ?1), OC ? OA, AC / / OB , 则向量 OC = A. (1,—3) 5.已知函数 f ( x) ? sin( B. (—1,3)

??? ?

??? ?

????

??? ? ????

??? ?

????



) D. (—6,2) ( )

C. (6,—2)

?
3

? 2 x)( x ? R) ,下面结论错误的是
B.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ?

A.函数的最小正周期是 ? C.函数 f ( x) 的区间 [

? ?

, ] 上是增函数 D.函数 f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称 6 4 6
0若 . 存 在 正 整 数 m(m ? 3 )使得 , am ? Sm 则 ,
( B.充分不必要条件 D.充要条件 )

?

5? 对称 12

的前n项和为Sn 公差 , d? 6 . 等 差 数 列 {an }
“ n ? m(n ? N ) ”是“ S n ? an ”的
*

A.既不充分也不必要条件 C.必要不充分条件

x2 y 2 2 2 7.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与圆 ( x ? 3) ? y ? 1 只有一个公共点, a b
则双曲线的离心率为 ( )

A.

3 2

B.3

C.

6 2

D. 3

8.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,与直线 AD、B1C、 A1C1 都相交的直线 ( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有且仅有三条 D.有无数条 9.第四届全国体育大会期间,5 名志愿者被安排参加三个 不同比赛项目的接待服务工作,则每个项目至少有一 人参加的安排方法有 ( ) A.60 种 B.150 种 C.240 种 D.540 种

?1? | x ? 1 |, x ? (??, 2) ? , 则函数 F ( x) ? xf ( x) ? 1 的零点个数为( 10.已知函数 f ( x) ? ? 1 f ( x ? 2), x ? [2, ??) ? ?2
A.4 B.5 C.6 D.7



第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量分别为(单位:克)x、127、y、125、123,且平均 质量为 125,则该样本方差 s2 的最小值为 。

?2 x ? y ? 0 1 x 1 y ? 12.已知实数 x、y 满足 ? 4 x ? 3 y ? 12 ? 0, 则z ? ( ) ? ( ) 的最小值为 2 4 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?



13.对任意的实数 a、b, a ? 0, 不等式 | 2a ? 3b | ? | 2a ? 3b |?| a | (| x ? 1| ? | x ? 1|) ,则实数 x 的取值范围是 14.由 x 轴、y 轴和直线 。

? x ? a ? cos ? x y (? 为参数) 共有 4 ? ? 1 围成的三角形的三边与曲线 ? 3 4 ? y ? b ? sin ?

个公共点,则动点(a,b)所形成区域的面积为 。 15.已知矩形 ABCD 中 AB=4,BC=3,将其沿对角线 AC 折起,形成四面体 ABCD,则以下命题 正确的是: (写出所有正确命题的序号) ①四面体 ABCD 体积最大值为

24 ; 5

②四面体 ABCD 中,AB⊥CD; ③四面体 ABCD 的侧视图可能是个等腰直角三角形; ④四面体 ABCD 的外接球表面积是 25π 三、解答题(本题共 75 分) 16. (本题满分 12 分) 已知△ABC 中, (b ? a)(sin B ? sin A) ? a sin B, 又cos 2 C ?cos C ?1 ?cos( A ? B).

(I)试判断△ABC 的形状; (II)求 cos C 的值。

17. (本题满分 12 分) 如图所示, 是合肥一中教学区示意图, 现有甲乙丙丁 4 人来校加全国中学语文十校论坛, 4 人只能从校门进入校园,甲丁必从同一校门进校,甲乙丙 3 人从哪个校门进校互不影响, 且每人从任何一校门进校都是等可能的。 (I)求仅有一人从西大门进入学校的概率; (II)设 4 人中从西大门进入校园的人数为随机变量 ? ,求 ? 的数学期望和方差; (III)设随机变量 ? ( x) ? ?

(? ? x, x ? {0,1, 2,3}) ?3 x , 求E? 的最大值。 ?4? ? x (? ? x, x ? {0,1, 2,3})

18. (本题满分 12 分) 如图,△ABC 和△A1AC 是正三角形,平面 A1AC⊥底面 ABC,A1B1⊥//AB,A1B1=AB=2, (I)求直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值大小; (II)已知点 D 是 A1B1 的中点,在平面 ABCD 内搁一点 E,使 DE⊥平面 AB1C,求点 E 到 AC 和 B 的距离。

19. (本题满分 12 分) 过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线,叫做曲线在该点的法线. 已知抛物线 C 的方程为 y ? ax (a ? 0, x ? 0).点M ( x0 , y0 ) 是 C 上任意点, 过点 M 作 C
2

的切线 l,法线 m。 (I)求法线 m 与抛物线 C 的另一个交点 N 的横坐标 xN 取值范围; (II)设点 F 是抛物线的焦点,连接 FM,过点 M 作平行于 y 轴的直线 n,设 m 与 x 轴的交点 为 S,n 与 x 轴的交点为 K,设 l 与 x 轴的交点为 T,求证∠SMK=∠FMN

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

a 2 x ? 4 x ? ln x 有两个极值点。 2

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若存在实数 a,使函数 f ( x)在区间[b, b ? 2] 上单调递增,求实数 b 的取值范围。

21. (本题满分 14 分) 数列 {an }满足a1 ? 1, a2 ? 2,
2 an ? 2 an 2 ?1 ? ? , n ? 1, 2,3,? 2 an an ? 1

(I)求证: an ?1 ? an ?

1 , (n ? 1, 2,3?) an
3n ? 2 ;

(II)求证: 2n ? 1 ? an ? (III)令 bn ?

an ?1 n

, (n ? 1, 2,3,?), 判断bn 与bn ?1 的大小,并说明理由。

合肥一中 2013 年冲刺高考最后一卷数学(理)参考答案
一、选择题:ACCBC 8 二、填空题:11. 5 三、16. B ? 90? ; 17.
8 ; 27

DDDBC 1 12. 64

13. [?2, 2]
?1 ? 5 . 2

14.

47 ? 6? 12

15.①③④

cos C ?

D? ?

340 243

当 x ? 2 时, ( E? ) max ? E? (2) ?

66 27

18.解:∵平面 A1 AC ? 底面 ABC ,作 A1O ? AC 于点 O , ∴ A1O ? 底面 ABC . 又 A1 B1 ? AB ? 2 , ?ABC 和 ?A1 AC 是正三角形,知 ?ABC ? ?A1 AC ? 60? , ∴ AO ? 1 , OA1 ? OB ? 3 , BO ? AC ?????2 分

故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,则
???? A(0, ?1, 0) , B( 3, 0, 0) , A1 (0, 3, 0) , C (0,1, 0) , AA1 ? (0,1, 3) . ???? ???? 由 AA1 ? BB1 ,可得 B1 ( 3,1, 3) .

??? ? ???? ∴ AB1 ? ( 3, 2, 3) , AC ? (0, 2, 0)

? ???? ? ? ? n ? AB1 ? 3x ? 2 y ? 3 ? 0 设平面 AB1C 的法向量为 n ? ( x, y,1) ,则 ? ? ???? , ? ?n ? AC ? 2 y ? 0
? 解得 n ? (?1,0,1)

???? ? ???? ? AA ? n 3 6 ? 由 cos ? AA1 , n ?? ???? 1 ? ? 4 | AA1 | ? | n | 2 2

?????6 分

???? 而 AA1 与平面 AB1C 所成角,即向量 AA1 与平面 AB1C 的法向量所成锐角的余角,

所以 直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 (几何方法也,对照给分)

6 ;?????7 分 4

(Ⅱ)连接 A1 B ,取 AC 中点 O ,连接 A1O 、 BO , 易得 A1O ? AC ,所以 AC ? 平面 A1OB ,

AC ? A1 B ,又四边形 AA1 B1 B 是正方形,所以 AB1 ? A1 B ,

又 A1 B ? AC ,∴ A1 B ? 平面 AB1C ,过 D 作 DF // A1 B ,很明显 DF 交 AB 于 E ,此时点 E 到 AC 和 B 的距离分别是 1 、
3 3 . 2

?????12 分
1 ( x ? x0 ) 与 y ? ax 2 联立得 2ax0

19.解:(Ⅰ)易得直线 m 的方程: y ? y0 ? ?

ax 2 ?

1 x 1 1 2 2 , xN ? ? 2 ? x0 , ? ? ax0 ? 0 ,∴ xN ? x0 ? ? 2 ? x0 2a x0 2ax0 2a 2a

易得 xN ? (??, ?

2 2 ] ?[ , ??) 2 2
2 2 ]?[ , ??) ; 2 2

即 xN 取值范围是 (??, ?

?????6 分
x0 x ,∴ T ( 0 , 0) 2 2

(Ⅱ)由题意得 l 的方程 y ? y0 ? 2ax0 ( x ? x0 ) ,令 y ? 0 得 xT ?
x0 1 | ,又 MF 方程: y ? ? 2 4a

此时 T 到直线 n 的距离为 |

2 ax0 ?

x0

1 4a ( x ? 0) ,设 T 到 MF 距

离为 d ,则 d ?

2 | (ax0 ?

1 x0 x0 ) ? | 4a 2 4a ?| x0 | , 2 1 2 2 x0 ? (ax0 ? )2 4a

∴ ?TMK ? ?FMT , ?SMK ? ?FMN . 20.解(Ⅰ) f ?( x) ? ax ? 4 ? ①当 a ? 0 时,

?????13 分

1 ax 2 ? 4 x ? 1 ? ( x ? 0) ,由题意: a ? 0 ,又 x x

1 ? 0 , f ?( x) ? 0 两根异号,不合题意; a 2 ②当 a ? 0 时, ? 0 可知 ? ? 16 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 4 , a

此时由 f ?( x) ? 0 得 x1 ?

2? 4?a 2? 4?a , x2 ? , a a

?????4 分 ?????6 分

故当 0 ? a ? 4 时,函数 f ( x) 的两个极值点.

(Ⅱ)结合(Ⅰ)可得“ ?a ? (0, 4) ,使 ax 2 ? 4 x ? 1 …0 对 x ?[b, b ? 2] 恒成立” ,
1 1 1 1 由 [b, b ? 2] ? (0, ??) 得 b ? 0 ,又 4 ? ?( )2 ? 4 ? ? ?( ? 2)2 ? 4 恒成立,∴ x ? 2 x x x 1 1 1 ?????13 分 b ? 2 ? 或 b … ,从而 b … .(其它解法参照给分) 2 2 2 21. (本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由于 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,

2 an ? 2 an ?1 ? 1 ? 2 ,易知对 ?n …1 , an ? 0 . an an ? 1

当 n …1 时,

2 an ? 2 an a a a a an ? 2 an ?1 ?1 ? 1 ? 2 可得 n2? 2 n ?1 ? n2?1 n ,从而 , ? 1 1 an an ? 1 an ?1 ? 1 an ? 1 an ?1 ? an ? an ?1 an

依此递推可得

an ?1 an ?1 a2 2 ? ? ??? ? ? ? 1 ,从而 1 1 1 1 an ? an ? 2 ? a1 ? 1? an an ? 2 a1 1

an ?1 ? an ?

1 , (n ? 1, 2,3, ???) an

?????4 分
1 1 可知: ?n …1 , an …1 成立,即 0 ? 2 ? 1 , an an

(Ⅱ)显然,由 a1 ? 1 , an ?1 ? an ?

2 ? (an ?1 ? 当 n …2 时, an

1 2 1 2 2 2 ) ? an ?1 ? 2 ? 2 ,故 2 ? an ? an ?1 ? 3 ,于是 an ?1 an ?1
2 2 2 2 2 ? an ? 2 ? an ?3 ? 3 ? ? ? ? 2 ? a3 ? a2 ? 3

2 2 2 2 2 ? an ? an 2 ? an ?1 ? 3 ?1 ? an ? 2 ? 3

2 2 2 ? a2 ? a12 ? 3 将经上各式相加得 2(n ? 1) ? an ? a12 ? 3(n ? 1) ,即得

2n ? 1 剟an

3n ? 2 ;(亦可用数学归纳法)

?????9 分

(Ⅲ):

bn ?1 a n 1 n 1 n ? n?2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? ) bn an ?1 n ? 1 2n ? 1 n ? 1 an ?1 n ? 1

2 n(n ? 1) 2(n ? 1) n 4n 2 ? 4n ? ? ? ? 1 ,故 bn ?1 ? bn . ?????13 分 (2n ? 1) 4n 2 ? 4n ? 1 (2n ? 1) n ? 1

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