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向量



§2.1.1 平面向量的概念及几何表示
【知识梳理、双基再现】
1、 向量的实际背景 有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,功都是既有_______________又有 _________________的量.路程,速率,质量,密度都是____________________的量. 2、平面向量是_____________________

____的量,向量__________比较大小. 数量是_________________________的量,数量_____________比较大小. 3、向量的几何表示 (1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_____________________表示,而且不同的 点表示不同的数量. (2) 向 量 常 用 带 箭 头 的 线 段 表 示 , 线 段 按 一 定 比 例 ( 标 度 ) 画 出 , 它 的 长 短 表 示 向 量 的 ____________,箭头的指向表示向量的________________. (3)有象线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向. 以 A 为起点,B 为终点的有向线段记作____________.起点要写在终点的前面. 有向线段 AB 的长度,记作___________________. 有向线段包含三个要素________________________________________________ 知道了有向线段的起点,长度,和方向,它的终点就惟一确定. (4)向量可以用有向线段表示.也可以用字母_________表示,或用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示,例如字母_____________ 4、向量的模的向量 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度,称_____________,记作__________. 5、零向量是_____________的向量,记作____________.零向量的方向任意. 6、单位向量是____________的向量. 7、平行向量 _________________________叫做平行向量,向量 a 与 b 平行,通常记作______________ 我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量 b ,都有_________________________. 1、判断下列命题的真假: (1) 向量 AB 的长度和向量 BA 的长度相等. (2)向量 a 与 b 平行,则 b 与 a 方向相同. (3) 向量 a 与 b 平行,则 b 与 a 方向相反. (4) 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同. (5) 若 a 与 b 平行同向,且 a > b ,则 a > b (6)由于 0 方向不确定,故 0 不能与任意向量平行。

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1

(7) 如果 a = b ,则 a 与 b 长度相等。 (8) 如果 a = b ,则与 a 与 b 的方向相同。 (9) 若 a = b ,则 a 与 b 的方向相反。 (10)若 a = b ,则与 a 与 b 的方向没有关系。 11 请写出初中物理中的三个向量_________________________ 12 关于零向量,下列说法中错误的是( ) A 零向量是没有方向的。 B 零向量的长度是 0 C 零向量与任一向量平行 D 零向量的方向是任意的。 13 如果对于任意的向量 a ,均有 a ? b ,则 b 为_________________ 14 给出下列命题: ①向量的大小是实数 ② 平行响亮的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段 正确的有_________________________ 15 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点,则这些向量的终点构成的图形是 _________________________ 16 把平面上的一切单位向量归结到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是 _______________

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§2.1.2
【知识梳理、双基再现】

相等向量与共线向量
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1 相等向量是_________________________向量 a 与 b 相等,记作_______________。任意两 个相等的非零向量,都可用一条有向线段来表示,并且与有向线段的___________无关。因 为有向线段完全是由______________确定。 相反向量是_____________________。若 a 与 b 是一对相反向量,则______________________ 2 共线向量 任一组平行向量都可以移动到同一直线上, 因此_________________叫做共线向量, 也就 是说,共线向量的方向相同或相反。若 a 与 b 共线,即 a 与 b 平行,记作 a 1 如图,在矩形 ABCD 中,可以用一条有向线段表示的向量是( A DA和BC )

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? ?? b

??? ??? ? ?

B DC和 AB

???? ??? ?

C

???? ??? ? DC和BC

D (

???? ??? ? DC和DA
) D )

2 在△ABC 中,DE ? BC,则下列结论中正确的是 A

??? ??? ? ? AB和CA

B BC和 AB

??? ??? ? ?

C

??? ??? ? ? DE和BC

???? ??? ? AD和DE

3 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,图中与 OA 共线的向量有 ( A 一个 B 两个 C 三个 D 四个
2

??? ?

此处有图三

4 下列命题中正确的是





? ? ? ? A 若 a = b , 则a =b
C 若 a = b ,则 a ? b

? ? ? ? B 若 a > b ,则 a > b
D 若 a =1 ,则 a =1

? ?

?

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?

5 下列说法正确的有 ( ) Ⅰ 零向量比任何向量都小 Ⅱ零向量的方向是任意的 Ⅲ零向量与任一向量共线 Ⅳ零向量只能与零向量共线 A0 个 B 1个 C 2个 D 3个 6 平行四边形 ABCD 中, AB = DC ,则相等的向量是( A AD 与 CB

??? ?

????



????

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B OB 与 OD

??? ?

????

C AC 与 BD

????

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D AO 与 OC

????

????


7 已知点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则下列向量中含有相等向量的是(

CD FE CB A OB, , ,

??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

CD FA DE B AB, , ,

??? ??? ??? ???? ? ? ? ???? ??? ???? ?

AB CB OF C FE, , ,


??? ??? ??? ??? ? ? ? ?

AB OC OD D AF, , ,

??? ??? ???? ???? ? ?

BO OC 8 设 O 是正方形的中心,则向量 AO, , 是 (
A 有相同起点的向量 B 有相同终点的向量

C 相等的向量 )

D 模相等的向量

? ? ? ? 9 若向量 a 与向量 b 不相等,则 a 与 b 一定(

A 不共线 B 长度不相等 C 不都是单位向量 D 不都是零向量 10 如图,四边形 PQRS 是菱形,下列可用同一条有向线段表示的两个向量是( A SP和QR



??? ??? ?
?

B SR和PQ

??? ??? ?
?

C SR和QR

??? ??? ?

D

??? ??? SR 和 SP

11 若 a =2 , b = a ,则 b =___________________ b 的方向与 a _______。若 b = - a ,则

?

?

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?

?

?

? ? ? b =____________, b 的方向与 a ___________
12 如图所示,O 是正方形 ABCD 的中心,图中与向量 OA 长度相等的向量有___________, 与向量 OA 相等的向量有________,与 OA 相反的向量有_____________ 13 在正方形 ABCD 中, 与向量 AB 相等的向量有________, OA 相反的向量有__________ 与 14 把所有相等的向量平移到同一个起点后,这些向量的终点将落在___________________

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

, OC 15 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出与 OA OB, 相等的向量。
16 在一个平行四边形的边上,作出所有可能的向量,并求其相等向量的对数。

??? ??? ???? ? ?

17 如图所示,四边形 ABCD 与 ABDE 都是平行四边形

3

(1)写出与向量 AB 共线的向量。 (2)若 AB =2.5,求向量 EC 的模。

??? ?

??? ?

??? ?

18 在直角坐标系中, 画出向量 a , 满足: a =5 ①

?

?

② a 的方向与 X 轴正方向的夹角是 30?

?

§2.2.1 向量的加法及其几何意义
【知识梳理、双基再现】
1 、 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 : 已 知 非 零 向 量 a ,b , 在 平 面 内 任 取 一 点 A , 作

? ?

??? ? ??? ? ? ? ? AB ? a ,BC ? b , 则 向 量 __________ 叫 做 a 与 b 的 和 , 记 作 _____________ , 即

a ? b =_______=__________这个法则就叫做向量求和的三角形法则。
2、向量加法的平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 a , b ( OA ? a ,OB ? B )为邻边作四边形 OACB, 则以 O 为起点对角线___________,就是 a 与 b 的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行 四边形法则。 3、对于零向量与任一向量 a ,我们规定 a + o =___________=_______. 4、我们知道,数的加法满足交换律和结合律,即对任意实数 a,b,有 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)那么对于任意向量 a , b 向量加法的交换律是:______________________ 结合律____________________________。

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AB ? a ,AC ? c , BC ? b , | a ? b ? c |为 1、 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 则 (
A.0 B.3 C. 2 D. 2 2 )

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2、在平行四边形 ABCD 中,下列各式中成立的是( A. AB ? BC ? CA C. AC ? BA ? AD

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B. AB ? AC ? BC

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??? ? ??? ? ??? ? ?? ?

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D. AC ? AD ? DC

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3、已知△ABC 中,D 是 BC 的中点,则 3AB ? 2BC ? CA =( A、 AD

???



???

B、 3AB

???

C、 O

? ? ??? ?

D、 2AD

???

4、若 C 是线段 AB 的中点,则 AC ? BC =( A、 AB

??? ?



???

B、 BA

???

C、 O

?

D、O
4

5、在平行四边形 ABCD 中, BC ? CD ? DA 等于( A. BD

??? ?

???

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???
???

B. AC

??? ?
???

C. AB

???

D. BA

???

6、向量(AB ? MB ) ? (BO ? BC ) ? OM 化简后等于( A. BC

???

??? ?

???



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B. AB

??? ??? ?

C. AC

??? ?

D. AM ) C. AD ? CD

??? ?

7、在矩形 ABCD 中, AC 等于( A. BC ? BA

??? ?

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B. AB ? DA

???

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??? ?

???

???
D.

? ? 8、在矩形 ABCD,| AB | 4,| BC | 2 ,则向量 AB ? AD ? AC 的长度等于(
A. 2 5 B. 4 5 C.12 D.6

???

???

???

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| 9、已知向量 a // b 且,| a |? b |? 0 ,则 a ? b 的方向(

?

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?

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A.与向量 a 方向相同 B.向量 a 方向相反 C.与向量 b 方向相反 D.与向量 b 方向相反 10、向量 a , b 皆为非零向量,下列说法不正确的是(

?

?

?

?

?

?



? A.向量 a 与 b 反向,且| a | | b |,则向量 a ? b 的方向与 a 的方向相同。 ? B.向量 a 与 b 反向,且| a | | b |,则向量方向相同。
C.向量 a 与 b 同向,则向量 a ? b 与 a 的的方向相同。 D.向量 a 与 b 同向,则向量 a ? b 与 b 的方向相同。 11、化简

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??? ??? ??? ? MB ? BA ? AC ? ____________ ??? ??? ??? ? ? MN ? NP ? PM ? ____________ ?? ??? ??? ??? ? OA ? OC ? BO ? CO ? ___________ ??? ??? ??? ? AB ? AC ? BA ? _______________
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? ? ? ?

? 12、当向量 a 与 b _______________________时,| a ? b | | a | ? | b | ? 当向量 a 与 b ________________________时,| a ? b | | a | ? | b | ? 当向量 a 与 b ________________________时,| a ? b | | b | ? | a |
当 向 量 a , b 不 共 线 时 , | a ? b | _______________ | a | ? | b | , 因 此 我 们 有
5

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? ? ? ? | a ? b |______________| a ? b |。
13、设 a 表示“向东走 3km” b 表示“向北走 3km”则 a + b 表示什么意义?

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§2.2.2
【知识梳理、双基再现】
1、相反向量:

向量减法运算及其几何意义

规定与 a __________________________的向量,叫做 a 的相反向量,记作_____________, 向量 a 与 ?a 互为相反向量,于是___________________________。 任 一 向 量 与 其 相 反 向 量 的 和 是 ___________ , 即

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a ?(

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)

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2、向量的减法 我们定义,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量,即 a ? b 是互为相反的向量,那 么 a =______________, b =_________________, a ? b =________________________。 3、向量减法的几何意义: 已知 a ,b , 在平面内任取一点 O, OA ? a ,OB ? b , 作 则__________= a ? b , a ? b 即

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可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量, 如果向 量 a 的终点,到 b 的终点作向量那么得向量是__________________ 1、在菱形 ABCD 中,下列各式中不成立的是( )

?

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A. AC ? AB ? BC B. AD ? BD ? AB C. BD ? AC ? BC 2、下列各式中结果为 O 的有(

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D. BD ? CD ? BC

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① AB ? BC ? CA ② OA ? OC ? BO ? CO ③ AB ? AC ? BD ? CD A.①② B.①③

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??? ??? ? ???

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④ MN ? NQ ? MP ? QP C.①③④ D.①②③ )

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3、下列四式中可以化简为 AB 的是( ① AC ? CB A.①④

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② AC ? CB B.①②

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③ OA ? OB

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???

④ OB ? OA

???

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C.②③

D.③④ )

4、在下面各式中,不能化简为 AD 的是(

???

6

A.(AB ? CD ) ? BC B.(AD ? MB ) ? (BC ? CM ) C. MB ? AD ? BM

???

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D. OC ? OA ? CD )

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5、在△ABC 中,向量 BC 可表示为( ① AB ? AC A.①②③

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② AC ? AB B.①③④

??? ?

???

③ BA ? AC C.②③④

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??? ?

④ BA ? CA

?? ?

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D.①②④

6、 已知 ABCDEF 是一个正六边形, 是它的中心, O 其中 OA ? a ,OB ? b ,OC ? c 则 EF = A. a ? b

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???

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B. b ? a

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C. c ? b

?

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D. b ? c )

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7、当 C 是线段 AB 的中点,则 AC ? BC =( A. AB

??? ??? ? ?

??? ?

B. BA

??? ?

C. AC

????

D. O

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8、在平行四边形 ABCD 中, BC ? CD ? AD 等于( A. BA

??? ??? ???? ? ?



??? ?

B. BD

??? ?

C. AC

????

D. AB

??? ?

9、化简: AB ? DA ? BD ? BC ? CA =_______________。 10、一架飞机向北飞行 300km 后改变航向向西飞行 400km,则飞行的总路程为___________, 两次位移和的和方向为____________,大小为______________。

??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ?

§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
【知识梳理、双基再现】
1、 一般地, 我们规定___________________是一个向量, 这种运算称做向量的数乘记作 ? a , 它的长度与方向规定如下: (1) | ? a | =___________________________________; (2)当________________时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当____________时, ? a 的方向 与 a 方向相反,当_____________时, ? a = O 。 2、向量数乘和运算律,设 ? , ? 为实数。 (1) ? ( ? a ) ? _____________________________________________; (2) (? ? ? )a ? __________________________________________;

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7

(3) ? (a ? b) ? __________________________________________; (4) (? )a ? ____________________=________________________; (5) ? (a ? b) ? _________________________________________;

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?向量的加法 ? 3、向量的线性运算 ?向量的减法 ?向量的数乘 ? ? ? ? ? ( ) 对于任意向量 a , b , 任意实数 ?、?1、? 2 恒有 ? ?1 a +?2 b =_________________________。
4、两个向量共线(平行)的等价条件,如果 a(a ? 0)与b 共线,那么_________________。

? ?

?

【小试身手、轻松过关】 ? ? 1、 (?4) ? 2.5a =___________。2、 2 ? 4a =_____________。
3、 5 ? (a ? b) =__________。4、 6 ? (a ? b ? c) =___________。 5、 8(a ? c) ? 7(a ? c) ? c =___________。6、 (a ? 9b ? 2c) ? (b ? 2c) =_________ 。 7、 ? (2a) ? 8b ? (4a ? 2b) ? =( 3 ?2 ? A. 2a ? b

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1 ?1

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B. 2b ? a

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C. b ? a

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D. ?(b ? a )

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8、设两非零向量 e1 , e 2 ,不共线,且 k (e1 ? e2 ) //(e1 ? ke 2 ) ,则实数 k 的值为( A.1 B.-1

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?

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???? ??? ? ???? 3 ??? ? 9、点 C 在线段 AB 上,且 AC ? AB ,则 AC ? ________ CB 。 5
10、如图,MN 是 ? ABC 的中位线,用向量法证明:MN//BC 且 MN ?

C. ?1

D.0

1 BC 2

§2.3.2
【知识梳理、双基再现】

平面向量的正交分解及坐标表示

1、平面向量的正交分解 把一个向量分解为_____________,叫做把向量正交分解。

8

2、向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平 面内的任一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x,y 使得____________, 这样, 平面内的任一向量 a 都可由__________唯一确定, 我们把有序数对________叫做向量 的坐标,记作=___________此式叫做向量的坐标表示,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标。 3、几个特殊向量的坐标表示

?

?

?

i ? ___________,j ? _________,o ? ___________
4、以原点 O 为起点作向量 OA ,设 OA ? xi ? y j ,则向量 OA ,的坐标_____________, 就是___________;反过来,终点 A 的坐标___________也就是__________________。 1、在平面直角坐标系中,已知点 A 时坐标为(2,3) ,点 B 的坐标为(6,5) ,则

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?? ? ??? OA =_______________, OB =__________________。
2、 已知向量| a |? 4 ,的方向与 x 轴的正方向的夹角是 30°, a 的坐标为_____________。 则 3、下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( A. a ? (0,0),b ? (1,?2) )

?

?

?

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B. a ? (?1,2),b ? (5,7)

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b C. a ? (3,5) ? (6,10)
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?

?

b D. a ? (2,?3) ? (4,?6)
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4、已知向量 a ? (?2,4) b ? (1,?2)则 a 与 b 的关系是(

?



A.不共线 B.相等 C.同向 D.反向 5、已知点 A(2,2) B(-2,2) C(4,6) D(-5,6) E(-2,-2) F(-5,-6) 在平面直角坐标系中,分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。

??? ??? ??? ?

??? ??? ??? ?

§2.3.3
【知识梳理、双基再现】
1、两个向量和差的坐标运算

平面向量的坐标运算

已知: a ? (x 1 ,y 1 ),b ? (x 2 ,x 2 ), ? 为一实数 则 a ? b ? (x 1i ? y j ) ? (x 2i ? y 2 j )=______________________; 即 a ? b =_____________________________。 同 理 将 a ? b =_____________ 这 就 是 说 , 两 个 高 量 和 ( 差 ) 的 坐 标 分 别 等 于 ______________________。
9

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2、数乘向量和坐示运算

?a ? ?(x1i ? y 1j )=____________
即 ? a =____________________________ 这就是说,实数与向量的积的坐标等于:_______________________________________。 3、向量 AB 的坐标表示 若已知 A(x1,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ),则 AB =_____________=___________________即一个向量 的坐标等于此向量的有向线段的________________________。 1、设向量 a ,b 坐标分别是(-1,2)(3,-5) ,

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? ? ? ? 则 a ? b =__________________, a ? b =__________________ ? ? ? 3a =______________________, 2a ? 5b =_________________ ? ? ? ? ? ? 2、设 a ? (1,?3),b ? (?2,4),c ? (0,5) 则 3a ? b ? c =_________________
3、已知: OA ? (0,1)则 AB =_______________________________________ 4、若点 A(-2,1) ,B(1,3) ,则 AB =___________________________ 5、若点 A 的坐标是(x1 ,y 1 ),向量 AB 的坐标为(x 2 ,y 2 ),则点 B 的坐标为( A.(x1 ? x 2 ,y1 ? y 2 ) C.(x1 ? x 2 ,y1 ? y 2 ) B.(x 2 ? x1,y 2 ? y1 ) D.(x1 ? x 2 ,y1 ? y 2 )

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???

???



6、已知 M(3,-2)N(-5,-1) ,且 MP ? 2MN 则 MP =( A. (-8,1) B.(?4, )

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??? ?

??? ?



1 2

C. (-16,2)

D.(8,-1)

7、已知 M (3,?2),N (?5,?1),且 MP ?

??? ?

? 1 ??? MN ,则 P 点的坐标( 2
D.(8,?1)



A.(?4, )

1 2

B.(?1, )

3 2

C.(1, )

3 2

8、已知 a ? (3,?1),b ? (?1,2),c ? 2a ? b 则 C =(

?

?

?

?

?

? ?



A. (6,-2) B. (5,0) C. (-5,0) D. (0,5) ? ? ? ? ? ? 9、已知 a ? b ? (2,4),a ? b ? (?2,2)求 a ,b 坐标
10

10、求证:设线段 AB 两端点的坐标分别为 A(x 1 ,y 1 ), B(x 2 ,y 2 ) ,则其中点 M(x,y) 的坐标公式是: x=

x1 ? y 1
2

, y=

y1 +y2 2

11、利用上题公式,若已知 A(-2,1) ,B(1,3)求线段 AB 中点的 M 的坐标

§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
【知识梳理、双基再现】
1、两向量平行(共线)的条件 若 a // b(b ? 0) 则存在唯一实数使 a // ? b ;反之,存在唯一实数 ? 。 使 a // ? b ,则 a // b 2、两向量平行(共线)的坐标表示 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,其中 b ? 0 则 a // b 等价于______________________。 1、已知 a ? (?1,3),b ? (x ,?1) ,且 a // b ,则 x=( A.3 B.-3 C.

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1 3

D. ?

1 3
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)

2、已知 a ? (?6,y ),b ? (?2,1) 且 a 与 b 共线,则 x=( A.-6 B.6 C.3 D.-3

?

?

3、已知 A(2, ?1), B(3,1) 与 AB 平行且方向相反的向量 a 的是( A. a ? (1, )

??? ?

?



?

1 2

B. a ? (?6, ?3)

?

C. a ? (?1, 2)

?

D. a ? (?4, ?8) )

?

4、已知 A(1,3), B(8, ) ,且 A、B、C 三点共线,则 C 点的坐标是( A. (?9,1) B. (9, ?1) C. (9,1) D. (?9,1) )

1 2

5、已知: A(4, 6), B(?3, ) 与 AB 平行的向量的坐标可以是( ①(

3 2

??? ?

14 ,3) 3

② (7, )

9 2

③ (?

14 , ?3) 3

④ (7,9)

11

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 6、下列各组向量相互平行的是( ) A. a ? (?1, 2), b ? (3,5) B. a ? (1, 2), b ? (2,1) C. a ? (2, ?1), b ? (3, 4) D. a ? (?2,1), b ? (4, ?2) 7、已知 A(-1,7)B(1,1)C(2,3)D(6,19)则 AB 与 CD 的关系为( A.不共线 B.共线 C.相交 D.以上均不对

?

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? ? 8、判断下列向量 a 与 b 是否共线
① a ? (2,3) b ? (3, 4)

?

?

② a ? (2,3) b ? ( , 4)

?

?

8 3

9、证明下列各组点共线: (1) A(1, 2) B(?3, ?4)C (2, )

7 2

(2) P(9,1) Q(1, ?3) R(8, )

1 2

10、已知 A(?2, ?3), B(2,1),(1, 4) D(?7, ?4) 判断 AB 与 CD 是否共线?

??? ?

??? ?

§2.4.1 平面向量的数量积
【知识梳理、双基再现】
1._______________________________________叫做 a与b 的夹角。 2.已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的数量积。 (或________)记 作 ___________ 即 a ? b = ______________________ 其 中 ? 是 a与b 的 夹 角 。 ______________________叫做向量 a在 b 方向上的___________。 3.零向量与任意向量的数量积为___________。 4.平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非空向量: ① a ? b ? ___________

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

b ②当 a与b 同向时, a ? =________
__________或 a = ___________。 ③ cos? = ___________

? ?

? ?

当 a与b 反向时, a ? b =________,特别地, a ? b =

? ?

? ?

? ?

?

12

④ a ? b ______________ 5. a ? 的几何意义:________________________________________。 b 6.向量的数量积满足下列运算律

? ?

? ?

b, 已知向量 a, c 与实数 ? 。
① a ? b =___________(______律)② ? a ? b =___________ ③ a+b ? c =___________

???

? ?

? ? ? ? ?? b= 1.已知 a =4, b =2 且a与b 的夹角为 120?,则 a、 ___________。 ? ? ? ? ? ? 2.已知 a ? b =12,且 a =3, b =5 则 b在a 方向上的投影为________。 ??? ? ??? ??? ? ? 3. 已知 ? ABC 中, AB = AC =4且 AB,AC=8 ,则这三角形的形状为______________。 ? ? ? ? ? ? 4. a =3, b =5,a+? b与a-? b 垂直,则 ? =___________。 ? ? ? 5.已知 a =6,e 是单位向量,它们之间夹角是 45?,则 a在 e 方向上的投影_________。 ? ?2 ? ? ? ? ?? a=0, 则 a 与 b 的夹角为( 6. a 2 =1,b =2,(a ? b)、 )
A. 30? B.45 ? C. 60 ? D.90 ? )

?

? ? ?

?

? ?

?

?

7.已知 a.b 都是单位向量,下列结论正确的是(

?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 A. a ? b=1 B. a =b C. a ? b ? a=b D. a ? b=0 ? ? ? ? ? ?? ? ? 8.若 a+b=c,a-b=d, 且向量 c与d 垂直,则一定有( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a=b B. a = b C. a ? b D. a = b 且a ? b ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9.边长为 2 的等边三角形 ABC 中,设 AB=C,BC=a,CA=b 则 a ? b+c ? a等于 ______. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10.有下面四个关系式①0. 0 =0;② a ? b c=a(b ? c); ③ a ? b=b ? a, ④ 0.a=0 ,其中正确的

?

?

有( A. 4 个

) B.3 个 C.2 个 D.1 个 )

? ? ? 11.已知 b =3,a 在b 方向上的投影为
A.3 B.

2 C.2 9

2

? ? 2 ,则 a ? b 为( 3
D.

1 2

12.下列各式正确的是( A. a ? b = a b

?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =a 2 ? b2 C.若 a ? ? b-c ? , 则 a ? b=a ? c D. 若 a ? b=a ? c 则 b=c ? ? ? ? ? ? ? ? 13. a =1, b =2 则 a与b 的夹角为 120?,则 ? a+2b ? , ? 2a+b ? 的值为( )
? ? ? ?
B.

?a ? b?

? ?

A.-5

B.5

C.- 5

D. 5

13

14. ? ABC 中, AB=a,BC=b,且a ? b >0,则 ? ABC 为( A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形

??? ? ??? ? ? ?

? ?

) D. 等腰直角三角形

? ? ? ? ??? 15.已知 a,b,c 为非寒向量,且 a ? c=b ? c ,则有( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. a=b B. a ? b C. a ? b ? c D. a=b或 a-b ? c ? ? ? ? ? ? ? ? 16.向量 a与b 夹角为 ? , a =2, b =1求 a+b ?a ? b 的值。 3

?

?

? ?

b 17.已知向量 a、 满足 a =13, b =19, a+b =24, 求 a ? b 。

??

?

?

? ?

? ?

e 18.设 e1、2 是两个垂直的单位向量,且 a= ? 2e1 +e 2 ,b=e1 ? ? e 2 .
(1)若 a ? b,求?的值; (2)若 a ? b,求? 的值。

? ?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

, +16 j,其中、为两个互相垂直的单位向量,求 a ?b ij 19.设 a+b=2i a-b= ? 8j

? ?

?? ?

?

?

??

? ?

§2.4.2

平面向量数量积的坐标表示



夹角

【知识梳理、双基再现】
1. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a= ? x1 ? y1 ? ,b= ? x 2 ? y 2 ? ,a ? b= 这就是说: (文字语言)两个向量的数量积等于 如:设 a (5,-7),b=(-6,-4),求 a ?b 。 2.平面内两点间的距离公式 (1)设 a=(x,y), 则 a = ________________或 a ________________。 ( 2 ) 如 果 表 示 向 量 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 _______________________________________________________________________________ _(平面内两点间的距离公式)
14

?

?

? ?

(坐标形式) 。 。

?

? ?

?

?2

?

3.向量垂直的判定 设 a= ? x1 ,y1 ? ,b= ? x 2 , y 2 ? , 则 a ? b ? _________________ 如:已知 A(1,2), B(2,3), C(-2,5),求证 ? ABC 是直角三角形。 4.两向量夹角的余弦(0≤ ? ≤ ? )

?

?

? ?

cos ? =__________________________________=_________________ ? ? ? ? ? ??? ? ??? 如 : 已 知 A(1,0),B(3,1),C(-2,0), 且 a ? BC , b ? CA , 则 a 与 b 的 夹 角 为
_________________。 1.已知 a ? (?4,3), b ? (5, 6) 则 3 a ? 4a ? b= ( A.23 B.57 C.63 D.83 )

?

?

?2

? ?



? ? ? ?? 2.已知 a ? 3,4 ? ,b= ? ?5,12 ? 则 a与 b 夹角的余弦为(
A.

13 63 B. 65 C. D. 13 5 65 ? ? ? ? ? ? 3. a= ? 2,3? ,b=( ? 2,4), 则 a+b ? a-b = __________。 ? ? ? ? 3 4.已知 a= ? 2,1? ,b= ? ?,? 且a ? b 则 ?=__________。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 3b ? a+2b = _______ 5. a=( ? 4,7);b=(5,2) 则 a ? b= _______ a =_____ ? 6.与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________ 4 3 4 3 4 3 4 3 ? (? ? ) C.( , )或(- ,) A. ( , ) B. 5 5 5 5 5, 5 5 5 4 3 4 3 D. ( , )或(- ,- ) 5 5 5 5 ? ? ? 7. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在 b 方向上的投影为_________

?

?? ?

?

??

?

8. A(1,0)

B.(3,1)

C.(2,0)且 a=BC,b=CA 则 a与b 的夹角为_______ ) D.不等边三角形 )

? ??? ? ??? ? ?

? ?

9.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ? ABC 为( A.直角三角形

B.锐角三角形 C.钝角三角形

10.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形

a 11.已知 a+b=2i ? 8j,a ? b= ?8i+16j 那么 ?b= _______ (其中 i, j 为两个相互垂直的单位向
量)

? ?

?

?? ?

?

?

? ?

??

15

12.已知 a=( ? 3,4),b=(5,2),c=(1, ?1) , a ?b ?c 等于( 则 A.-14 B.-7 C.(7,-7) D.(-7,7)

?

?

?

? ?

? ? ?



13.已知 A(-1,1),B(1,2),C(3, ) ,则 AB? 等于( AC A.

1 2

??? ??? ? ?
?



5 15 D. 2 2 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? n=9, 则 m与n 的夹角为( 14.已知 m =6 3,n=( cos ?,sin ?),m ?
B. C. A.150? B.120 ? C.60 ? D.30 ?

5 2

15 2



15.若 a=( ? 2,1) 与 A.-6

?

? m b=( ? 1, ? ) 互相垂直,则 m 的值为( 5
B.8 C.-10 D.10



16.求与 a=(2,1) 平行,且大小2 5的向量b

?

?

17.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明理由;若能, 求 C 坐标。

第二课时
1. a =2

?

? ?? ? ? ? b = 2且a,b 夹角为 450, 使 ? b-a与a 垂直,则 ? =______

2. a=(1,2),b=(x,1)且a+2b与2a ? b平行,则x= _______ A. 2 B.1 C.

?

?

? ?? ?

? ?

3. a=(1,2),b=(1,0)若a+? b与a共线则?= _______ 4. a=(2,1) b=(1,0)若a与b 的夹角为钝角,则 ? 的取值范围为_________ 5.若 a=(0,1),b=(1,1),且(a+? b) ? a ,则实数 ? 的值为( A. -1 B.0 C.1 D.2 )

?

?

?

? ?

1 D. 2

1 3

?

?

? ? ?

?

?

?

?



6.若 a=(2x ? 2, ? 3)与b=(x+1,x+4) 互相垂直,则实数 X 的值为( A.

?

?

1 2

B.

7 2

C.

1 7 或 2 2
16

D

7 .或-2 2

b=(x,1)且(a+2b) ? (2a ? b) ,则 X 的值为( 7.已知 a(1,2),
A.2 B.1 C.

?

?

?

?

? ?



1 1 D. 2 3 ???? ??? ? ??? ??? ??? ???? ??? ???? ???? ???? ? ? ? ? 8.若 OA(3,1),OB=( ? 1,2),且OC ? OB,BC ? OA,OC=OA+OD,则OD =(
A. (-11,-6) B.(11,-6) C.(-11,6) D.(11,6)

)

9.若 e1 =(5, ? 5),e 2 =(0,3),e1与e 2的夹角为?,则sin? =_________. 10.设 a=(x1 ?y1 ),b=(x2?y2)有以下命题 :
2 b=x1x 2 +y1y 2 ; ④ a ? b ? x1x 2 +y1y 2 =0 。其中假 ① a = x1 +y1 ; ② b= x 2 +y 2 ; ③ a ? 2
2 2

??

?? ? ?

?? ?? ?

?

?

?

? ?

?

?

命题的序号是____________________.

b 11.已知 a=(3,0),b=(k,5) 且a 与 的夹角为 ? ,则k= ______________.. ab 12.已知 a+b=2i-8j,a ? b= ?8i+16j, 则 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?

?

?

? ?

3 4

, 14.已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, (1) ka ? b与a ? 3b 垂直?
(2) ka ? b与a ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

§2.5.1
? ?

平面几何的向量方法
) 。

1、? ABCD 的三个顶点笔标分别为 A (-2, ,B 1) (-1, ,(3.4) 3) C 则顶点 D 的坐标为 ( A. (2,1) B. (2,2) C. (1,2) D. (2,3)

2. ? ABCD 中心为 0,P 为该平向任一点,且 po ? a ,则 PA +PB +PC+PD = ______

???

??

?? ??? ?? ??? ? ?

b 3.已知 ? ABC , AB=a ,AC ? b且a ? <0,则 ? ABC 的形状(
A. 钝角三角形 4. B. 直角三角形 C. 直角三角形

???

??? ?

?

? ?

) D. 等腰直角三角形

?ABC

的顶点 A(-2,3) B.(4,-2) , ,重心 G(2,-1)则 G 点的坐标为__________

5.如右图,已知平行四边形 ABCD、E、E 在对角线 BD 上,并且 BE =FD . 求证:ABCF 是平行四边形。 A F 6.求证:直径所对的圆周角是直角。
17

??? ???

D

B

E C

7.求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。

8.如图,在梯形 ABCD 中,CD∥AB,E、F 分别是 AD、BC 的中点,且 EF= (AB+CD).求证: EF∥AB∥CD. E D C F

1 2

A 9.求证:平行四边形两条对角线的平行和等于四条边平方和。

B

10.已知四边形 ABCD, AB =a ,BC ? b ,CD ? c ,DA ? d , a ?

??? ? ??? ?

? ???

? ?? ?

? ?

?

d , b ? c ,0 是 BD
??? ? ???

? ?

?

?

BD 的中点,试用 a ,b ,c ,d 表示AB, ,并 证明 A、0、C 三点等线,且 AC ? BD 。

? ? ? ? ?

??? ???

11.如图,在 ? ABC 中,点 M 是 BC 中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P, 求 AP:PM 的值。 A B N B C B B M

P

§2.5.2

向量在物理中的应用举例
).

1、某人骑自行车的确速度为 v1 ,风速为 v2 ,则逆风行驶的速度在大小为( A. v1 ? v2 B. v1 ? v2 C. | v1 | ? | v2 | D.

| v1 | | v2 |


2、用力 F 推动一物体水平运动 s m ,设 F 与水平面角为 ? ,则对物体所做的功为(

18

A. | F | ?s

B. F cos? ? s

C. F sin ? ? s

D. | F | cos ? ? s )

3、 初速度 v0 ,发射角为 ? , 则炮弹上升的高度 y 与 v0 之间的关系式 t 是飞行时间) ( ( 为 A. y ?| v0 | t C. y ?| v0 | sin ? ? t B. y ?| v0 | sin ? ? t ? D. y ?| v0 | cos ? ? t

1 | g | t2 2

4、作用于原点的两个力 F1 (1,1), F2 (2,3) ,为使它们平衡,需要加力 F3 =________________ 5、某人以时速为 akm 向东行走,此时正刮着时速为 akm 的南风,则此人感到风向及风速 分别的为( ) A.东北, 2akm / h C.西南, 2akm / h B.东南, akm / h D.东南, 2akm / h
?

6、 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 akm , 灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20 , 灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40 ,则灯塔 B 的距离为( A. akm B.
?

) D. 2akm

3akm

C.

2akm

7.已知一物体在共点力 F1 ? (lg 2, lg 2), F2 ? (lg 5, lg 2) 的作用下产生位移 s ? (2 lg 5,1) 则 共点力对物体做的功 W 为( A. lg2 B. lg5 ) C. 1 D. 2

8. 力 F1、F2 共同作用在某质点上,已知 F1 ? 5N, F2 ? 12 N且F1与F2 互相垂直,则质点所 受合力为_________。 0 0 9.在 200 米山顶上, 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30 、 ,则塔高等于_________米。 60 0 10.某人向正东方向走 xkm 后,他向右转 150 ,然后朝新方向走 3km,结果他离开出发点恰好 是 3km,则 X=________。 11.一辆汽车从 A 地出发向西行驶了 100km 到过 B 地, 然后又改变方向向北偏西 40 走了 200km 到达 C 地,最后又改变方向,向东行驶了 100km 到达 D 地,求这辆汽车的位移。
0

19

第二章平面向量单元测试题
选择(5 分×7=35 分): 1、下列命题正确的个数是 ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ① AB ? BA ? 0 ; ② 0 ? AB ? 0 ;

( ) ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ③ AB ? AC ? BC ; ④ 0 ? AB ? 0

A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? 2、若向量 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1, 2) ,则 c 等于 ( ) 1? 3? 1? 3? 3? 1? 3? 1? A、 ? a ? b B、 a ? b C、 a ? b D、 ? a ? b 2 2 2 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? 3、已知 a ? (1, 2) , b ? (2 x, ?3) 且 a ∥ b ,则 x ? ( ) 3 3 A、-3 B、 ? C、0 D、 4 ? 4? ? ? ? ? 4、下列命题中: ①若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; ②若不平行的两个非零向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③若 a 与 b 平行,则 a ? b ? a ? b ; ④ a , b 满足 a ? b ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 ; ? ? ? ? ? ? 若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ;其中真命题的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 ? ? ? ? ? ? 5、已知 a ? 3 , b ? 2 3 , a ? b ? ?3 ,则 a 与 b 的夹角是 ( ) A、150 ? B、120 ? C、60 ? D、30 ? ( )

6、若 a ? (3,4), b ? (2,?1), 且(a ? xb) ? (a ? b) ,则实数 x= A、23 B、
23 2

C、

23 3

D、

23 4

7、在Δ ABC 中,若 AB ? 3, AC ? 4, ?BAC ? 60 0 ,则 BA ? AC ? A、6 B、4 C、-6 二、填充(5 分×4=20 分) : 8、已知 a ? (5, x), a ? 13, 则x ? D、-4





???? ???? ? 1 ??? 9、已知 MA ? (?2, 4), MB ? (2, 6) ,则 AB ? 2 10、若 A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且 A、B、C 三点共线,则 x= ? ? 11、已知向量 a ? (6, 2) 与 b ? (?3, k ) 的夹角是钝角,则 k 的取值范围是 三、解答(共 45 分) : 12、已知 A(1,0) ,B(4,3) ,C(2,4) ,D(0,2) ,试证明四边形 ABCD 是梯 形。 (10 分)

20

???? ??? ? 13、在直角△ABC 中, AB =(2,3) AC =(1,k) , ,求实数 k 的值。 (10 分)

?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 14、已知 e1 、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? 3e2 ? ? ? ? ? ? (1)求 a ? b ; (2)求 a ? b 与 a ? b 的夹角. (12 分)

? ? 3x 3x x x ? ? 15、已知向量 a ? (cos ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) , x ? [? , ] , 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? 1 (1)求证: (a ? b) ⊥ (a ? b) ; (2) a ? b ? ,求 cos x 的值。 (13 分) 3

21



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