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河北省武邑中学2016届高三上学期第四次调研考试(理)数学试题 Word版含答案



河北武邑中学 2015-2016 学年高三年级第四次调研考试 数学试题(理科) 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知全集 U=R,函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域为 M,则 CU M ? ( A. (??,0] B. (0,??) C. (??,0) D. [0,??) )

(2 ? i ) 2 2.复数 (其中 i 为虚数单位)的虚部等于( ) i
A.3 B.-3 C.4 D.-4

3.已知命题 p,q,则“ ? p 为真”是“ p ? q 为假”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.已知等差数列 ?an ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 0 , a11 ? a4 ? 4 ,则 S13 ? ( A.78 B.68 C.56 D.52

? y?x ? 6.已知向量 a ? ( x ? z,1) ,b ? (2, y ? z) ,且 a ? b ,若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z 的最小值为 ? y ? 3x ? 6 ?
( A.3 ) B.2 C.9 D.4

7.设函数 f ( x) ? sin( 单单调递减区间是( A. (0,

1 1 ? x ? ? ) ? 3 cos( x ? ? )( ? ? ) ,且其图像关于 y 轴对称,则函数 y=f(x)的一个 2 2 2


?
2

)

B. (

?
2

,? )

C. ( ?

?

,? ) 2 4

?

D. (

3? ,2? ) 2
D. 6 ? ?

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 12 ? ? B. 8 ? ? C. 12 ? ?



-1-

? e x ? e? x 9.已知函数 f ( x) ? , x ? R ,若对于任意的 ? ? (0, ] 都有 f (m sin ? ) ? f (1 ? m) ? 0 成立,则实 2 2
数 m 的取值范围是( A. (0,1) ) C. (??,1) D. (??,1]

B. (0,2)

10.已知双曲线 若 PF ? A. y ? ?

x2 y2 且两曲线的一个交点为 P, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与抛物线 y 2 ? 4x 有一个公共的焦点 F, a 2 b2


5 ,则双曲线的渐近线方程为( 2
B. y ? ?2 x
2

1 x 2

C. y ? ? 3x

D. y ? ?

3 x 3

11.设函数 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? x , ai ?

i , i ? 0,1,2,3,? ? ?,99 ,记 99


Sk ? f k (a1 ) ? f k (a0 ) ? f k (a2 ) ? f k (a1 ) ? ? ? ? ? f k (a99 ) ? f k (a98 ) , k ? 1,2 ,下列结论正确的是(
A. S1 ? 1 ? S 2 B. S1 ? 1 ? S 2
2

C. S1 ? 1 ? S 2

D. S1 ? 1 ? S 2

12.已知函数 g ( x ) ? a ? x ( ? x ? e , e 为自然对数的底数)与 h( x) ? 2 ln x 的图象上存在关于 x 轴对称的 点,则实数 a 的取值范围是( A. [1, )
2

1 e

1 ? 2] e2

B. [1, e ? 2] 第Ⅱ卷

C. [

1 ? 2, e 2 ? 2] e2

D. [e ? 2,??)
2

非选择题(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.过直线 y=2 与抛物线 x 2 ? 8 y 的两个交点,并且与抛物线准线相切的圆的方程为_________. 14.已知 tan ? ? 2 ,则 sin(

?
2

? 2? ) 的值为__________.

15.在三棱锥 P-ABC 中, PA ? PB ? PC ? 2 3 ,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°,则该三棱锥外接 球的体积是________. 16.在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1, BD ? ? BC(0 ? ? ? 1) ,设 f (? ) ? AD ? BC ,则 f (? ) 的取 值范围是________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x .
2

(1)若 a=2,求函数 f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 a>0,判定函数 f(x)在定义域上是否存在最大值或最小值,若存在,求出函数 f(x)最大值或最小
-2-

值. 18.(本小题满分 12 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, B ? (1)若 b=3, 2 sin A ? sin( A ? (2)若 sin A sin C ?

?
3

.

?
3

) ,求 A 和 a,c;

1 ,且△ABC 的面积为 2 3 ,求 b 的大小. 2

19.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2 , an?1 ? 2Sn ? 2 . (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)若数列 ?bn ?的各项均为正数,且

bn n n 是 与 的等比中项,求 bn 的前 n 项和为 Tn . 2 an an ? 2

20.(本小题满分 12 分)在五面体 ABCDEF 中,AB∥CD∥EF,CD=EF=CF=2AB=2AD=2,∠DCF=60°,AD⊥CD, 平面 CDEF⊥平面 ABCD. (1)证明:直线 CE⊥平面 ADF; (2)已知 P 为棱 BC 上的点,试确定 P 点位置,使二面角 P—DF—A 的大小为 60°.

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆

6 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 以椭圆的四个顶点为顶点的四 2 a b 3

边形的面积为 4 3 . (1)求椭圆的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 过椭圆的右焦点 F,且与椭圆交与 A,B 两点,过线段 AB 的中点与 AB 垂直的直线 交直线 x=3 于 P 点,若△ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程. 22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ae (a ? R ,e 为自然对数的底数).
x

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)有两个零点 x1 , x2 ,求证: x1 + x2 >2.

-3-

河北武邑中学 2015-2016 学年高三年级第四次调研考试 数学试题(理科)答案 一、选择题:BBADC ACCDC AB 14. ?

二、填空题:13. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 16

3 5

15.

32 ? 3

16.(-5,2)

三、解答题:17.解: (1)当 a=2 时, f ( x) ? 4 ln x ? x 2 ,

(2) f ?( x) ?

2a ? 2( x 2 ? a) ? 2x ? , x ? 0. x x

...........................................

..................5 分 令 f ?( x) ? 0 ,由 a>0,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍去). 当 x 在 (0,??) 上变化时, f ?( x ) ,f(x)的变化情况如下 表 .........................................8 分

所以函数 f(x)在区间 (0,??) 上有最大值 f ( a ) ? a ln a ? a ,无最小值. 分 18.解: (1)∵ B ? ∵

...................10

?
3

, 2 sin A ? sin( A ?

?
3

) ,∴ 2 sin A ? sin( A ? B) ? sin(? ? ( A ? B)) ? sin C .

a c ? ,∴2a=c. sin A sin C
2 2 2

........................................3 分
2 2 2

∵ b ? a ? c ? 2ac cos B ,∴ 9 ? a ? 4a ? 2a ,∴

a ? 3.
∴c ? 2 3 .

.......................................5 分 ....................................................6 分

或∵ 2 sin A ? sin( A ?

?

1 3 ) ,∴ 2 sin A ? sin A ? cos A ., 3 2 2

-4-

∴ 分

3 3 3 ? sin A ? cos A ? 0 ,∴ sin( A ? ) ? 0 . 2 2 2 6

.......................................2

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? 分 ∵B ? 分

?
6

? 0 ,∴ A ?

?
6

.

.......................................3

?
3

,∴ C ?

?
2

.

.......................................4

∵b=3,∴在直角△ABC 中, a ? 3 , c ? 2 3 . (2)由正弦定理:

.......................................6 分

a b c ? ? , sin A sin B sin C
.......................................8



ac b 2 3 ac b2 2 ? , ? , ∴ ∴ b ? ac . 2 1 3 2 sin A sin C sin B 2 4

分 ∵ S△ABC ? 2 3 ,∴ 分 ∴b ?
2

1 ac sin B ? 2 3 ,∴ac=8. 2

.......................................10

3 ? 8 ? 12 ,∴ b ? 2 3 . 2

.......................................12

分 19.解: (1)当 n ? 2 时,由 an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 , 两式相减得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an , an?1 ? 3an . 当 n=1 时, a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 , a2 ? 3a1 . ∵ a1 ? 2 ? 0 ,∴ an ? 0 . 故当 n ? 1 时, ∴ an ? 2 ? 3 (2)
n?1

..................3 分 ...................4 分 ...................5 分

an ?1 ? 3 ,则数列 ?an ?是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an
. ...................................6 分

n bn n n n n n , bn ? n . ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 n 3 2 an an ? 2 2?3 2?3 2?3 1 2 n ? 2 ? ? ? ? ? n ①, 3 3 3
-5-

.................7 分

所以 Tn ?

则 Tn ? 分

1 3

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ②, 2 3 3 3 3 2 3

...............................................9

1 1 1 1 n ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 1 1? n 1 1 1 1 n 3 ? n ? 3 ? 2n ? 3 . 2Tn ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?1 ? n ? 1 3n 2 2 ? 3n 3 3 3 3 3 1? 3 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? . .........................................12 分 4 4 ? 3n
则①-②得: Tn ? 20.解: (1)∵CD∥EF,CD=EF=CF=2,∴四边形 CDEF 为菱形, ∴CE⊥DF. ..........................................................1 分

∵平面 CDEF⊥平面 ABCD,平面 CDEF ? 平面 ABCD=CD, ∵AD⊥CD,∴AD⊥平面 ACDEF. ....................................3 分 .....................5 分

∴CE⊥AD,又∵AD ? DF=D,∴直线 CE⊥平面 ADF.

(2)∵∠DCF=60°,∴△DEF 为正三角形,取 EF 的中点 G, 连接 GD,则 GD⊥EF,∴GD⊥CD. ∵平面 CDEF⊥平面 ABCD,GD ? 平面 CDEF,平面 CDEF ? 平面 ABCD=CD, ∴GD⊥平面 ABCD.∵AD⊥CD,∴DA,DC,DG 两两垂直. 以 D 为原点,DA,DC,DG 的方向为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系. ∵CD=EF=CF=2,AB=AD=1,∴ E(0,?1, 3), F (0,1, 3), 由(1)知 CE ? (0,?3, 3) 是平面 ADF 的法向量. ∵ DF ? (0,1, 3) , CB ? (1,?1,0) , 设 CP ? aCB ? (a,?a,0) , DP ? DC ? CP ? (a,2 ? a,0) ,设平面 PDF 的法向量为 n ? ( x, y, z) , ∵ n ? DF ? 0 , n ? DP ? 0 , ∴? ..............................7 分 ...................6 分

?

y ? 3z ? 0

?ax ? ( 2 ? a ) y ? 0

,令 y ? 3a ,则 x ? 3(a ? 2), z ? ?a ,

∴ n ? ( 3(a ? 2), 3a,?a) . ∵二面角 P-DF-A 为 60°,

.........................9 分

-6-

∴ cos ? n, CE ? ?

n ? CE n CE

?

4a 3 12 3(a ? 2) 2 ? 3a 2 ? a 2

?

2 1 ,解得 a ? . 3 2

.......11 分

∴P 点在靠近 B 点的 CB 的三等分点处.

..............................12 分

21.解: (1)依题意

c 6 a 2 ? b2 2 2 2 ? , a b ? 12 . ? ,2ab ? 4 3 ,可得 a2 3 a 3

.......2 分

得 a 2 ? 6, b2 ? 2 .所以所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1. 6 2

.........................................5 分

? y ? k ( x ? 2) ? (2)直线 l 的方程为 y=k(x-2),联立方程组 ? x 2 y 2 , ? ?1 ? 2 ? 6
消去 y 并整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ?12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 .

12k 2 12k 2 ? 6 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
所以 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

2 6 (k 2 ? 1) . 3k 2 ? 1

..............................7 分

设 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) ,得 x0 ? 得直线 MP 的斜率为 ? 所以 MP ? 1 ?

2k 6k 2 , y0 ? ? 2 . 2 3k ? 1 3k ? 1

.........................8 分

1 ,又 x p ? 3 , k
..........................10 分

1 k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) . ? x0 ? xP ? ? k2 k 2 (3k 2 ? 1)

-7-

当△ABP 为正三角形时, MP ?

3 AB , 2



k 2 ? 1 3(k 2 ? 1) 3 2 6 (k 2 ? 1) . ? ? ? k 2 (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1
...............................12 分

解得 k ? ?1 .即直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0. 22.解: (1) f ?( x) ? 1 ? a ? e x ,

...............................1 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f(x)是 (??,??) 上的单调递增函数;...............................3 分 当 a>0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x<-lna,由 f ?( x) ? 0 得 x>-lna, 所以函数 f(x)是 (??,? ln a) 上的单调递增函数,函数 f(x)是 (? ln a,??) 上的单调递减函 数............5 分 (2)函数 f(x)有两个零点 x1 , x2 ,所以 x1 ? ae 1 , x2 ? ae 2 ,
x x

因此 x1 ? x2 ? a(e 1 ? e 2 ) ,即 a ?
x x x

x1 ? x2 , e x1 ? e x2
x

............................7 分

要证明 x1 + x2 >2,只要证明 a(e 1 ? e 2 ) ? 2 ,即证: ( x1 ? x2 )

e x1 ? e x2 ? 2. e x1 ? e x2 et ? 1 ?2, et ? 1

........9 分

不妨设 x1 > x2 ,记 t= x1 - x2 ,则 t>0, e ? 1 ,因此只要证明: t ?
t

即 (t ? 2)et ? t ? 2 ? 0 ,

...............................10 分

记 h(t ) ? (t ? 2)et ? t ? 2(t ? 0) ,则 h?(t ) ? (t ? 1)et ? 1 , 记 m(t ) ? (t ? 1)et ,则 m?(t ) ? tet , 当 t>0 时, m?(t ) ? 0 ,所以 m(t ) ? m(0) ? ?1 , 即 t>0 时 (t ? 1)e ? ?1, h?(t ) ? 0 ,所以 h(t)>h(0)=0,即 (t ? 2)e ? t ? 2 ? 0 成立,
t t

所以 x1 + x2 >2.

................................12 分

-8-



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