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2017浙江单招数学模拟试题四(附答案)



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根据历年单招考试大纲出题

2017 浙江单招数学模拟试题四(附答案)

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题所给的四个答 案中有且只有一个答案是正确的) 1.已知复数 z= a ? (a ? 1)i ( a ?

R )是纯虚数,则 z 6 的值为 A. ? 1 2.下列命题错误 的是 .. A.命题“若 m ? 0 ,则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为:“若方程
x 2 ? x ? m ? 0 无实根,则 m ? 0 ”.

B. 1C. ? i D. i

B.“ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件. C.命题“若 xy ? 0 ,则 x, y 中至少有一个为零”的否定是:“若 xy ? 0 ,则
x, y 都不为零”.

D.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ;则 ? p 是 : ?x ? R ,均有
x 2 ? x ? 1≥ 0 .

3.右图是根据某校 10 位高一同学的身高(单位: cm )画 出的茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字,右边的数字表示学生身高的个位数字, 从图中可以得到这 10 位同学身高的中位数是 A. 161 cm B. 162 cm C. 163 cm D. 164 cm

15 5 5 78 16 1 3 35 17 1 2

4.已知离心率为 e 的双曲线 则e的

x2 y 2 ? ? 1 ,其右焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重合, a2 7

考单招上高职单招网---值为 A.
3 4

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B. D.
23 4

4 23 23

C.

4 3

5.在等差数列 {an } 中, a2 ? 4a7 ? a12 ? 96, 则 2a3 ? a15 的值是 A. 24 B. 48 C. 96 D. 无法确定

6.已知直线 l:y ? k ( x ? 1) ? 3 与圆 x2 ? y2 ? 1 相切,则直线 l 的倾斜角为 A.

? 6

B.

? 2

C.

2? 3

D.

5? 6

7.设函数 f ( x) ? cos x ,把 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为函数
y ? ? f '( x) 的图象,则 m 的值可以为

A.

? 4

B.

? 2

C.

3? 4

D. ?

8.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体
正视图 侧视图

的体积是
4 3 A. ? 3
1 B. ? 2

3 C. ? 3

3 D. ? 6

俯视图

9.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费 用为:不超过 50 kg 按 0.53 元/ kg 收费,超过 50 kg 的 部分按 0.85 元/ kg 收费.相应收费系统的流程图 如右图所示,则①处应填
Y
① 开始 输入 x

x ? 50

N


输出 y

考单招上高职单招网---A. y ? 0.85 x B. y ? 50 ? 0.53 ? ( x ? 50) ? 0.85 C. y ? 0.53 x D. y ? 50 ? 0.53 ? 0.85 x

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10.已知集合 M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数 f : M ? N .若点 A(1, f (1))、 B(2, f (2) )、C(3, f (3) ),Δ ABC 的外接圆圆心为 D,且 DA ? DC ? ? DB(? ? R) , 则满足条件的函数 f ( x) 有 A. 6个 B.


10 个

C.

12 个

D.

16 个

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,将答案填在题后的横 线上.)
a ? ?? 11.已知 a ? ?0, ? ,则当 ? (cos x ? sin x)dx 取最大值时, a =_____________. 0 ? 2?

12.已知 (1 ? 2 x) n 的展开式中,所有项的系数之和等于 81,那么这个展开式中 x3 的系数是__________. y≥0 13.已知 x、y 满足约束条件 x≥-2 x+y ≥15.
?log3 x, 14.设函数 f ( x) ? ? ? g ( x). (x ? 0) (x ? 0)

,则 z=(x+3)2+y2 的最小值为.

若 f ( x ) 是奇函数,则 g (? ) 的值为.

1 9

15.把数列{2n+1}(n∈N*),依次按第 1 个括号一个数,第 2 个括号两个数,第 3 个括号三个数,第 4 个括号四个数,第 5 个括号一个数,…,循环为(3), (5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),

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(43),…,则第 104 个括号内各数之和为. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16.(本题满分 13 分) 在 Δ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A ? (Ⅰ)求 cos 2
B?C ? cos 2 A 的值; 2 3 ,求∠C 和 Δ ABC 的面积. 2 1 . 3

(Ⅱ)若 a ? 2 , c ?

17.(本小题满分 13 分) 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区,已知从新校区到老校区有两 条 公路,汽车走公路①堵车的概率为 的 概率为 p ,不堵车的概率为 1 ? p .若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于 其他 原因走公路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响. (Ⅰ)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为
7 ,求走公路②堵车的概率; 16 1 3 ,不堵车的概率为 ;汽车走公路②堵车 4 4

(Ⅱ)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数 ? 的分布列和数学期 望.

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18.(本小题满分 13 分) 如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 600 ,其侧面 展 开图是边长为 8 的正方形。 E 、 F 分别是侧棱

A1 B1
E

D1

AA 1 、 CC1 上的动点, AE ? CF ? 8 .
(Ⅰ)证明: BD ? EF ;
A

C1

1 (Ⅱ)当 CF ? CC1 时,设面 BEF 与底面 ABCD 4

D F B

C

所成角为θ (0? ? ? ? 90?),求 cos ? ; (Ⅲ)多面体 AE ? BCFB1 的体积 V 是否为常数? 若是,求这个常数,若不是,求 V 的取值范围.

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19.(本小题满分 13 分) 如图,已知椭圆 C :
x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的上顶点为 A ,右焦点为 F ,直线 AF 与圆 2 a

M : x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 7 ? 0 相切.

y

A
Q

l

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相 交于 P 、 Q 两点,且 AP ? AQ ? 0, 求证:直 线 l 过定点,并求出该定点 N 的坐标.
??? ? ????
O

F

x

P

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20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
ln x 3 , g ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? xf ( x) . x 8

(Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 在[ e m ,??)(m ? Z ) 上有零点,求 m 的最大值;
1 在其定义域内恒成立,并比较 x (2n ? 1)(n ? 1) (n ? N * 且 n ? 2 )的大小. f (2 2 ) ? f (32 ) ? ? ? f (n 2 ) 与 2(n ? 1)

(Ⅲ)证明 f ( x ) ? 1 ?

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21.本题有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答, 满分 14 分. 如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答 题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中 (1)(本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 设 A 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸缩变 换所对应的变换矩阵;B 是将点(2,0)变为点( 3 ,1)的旋转变换所对应的变 换矩阵;若 M ? AB ;求矩阵 M 及 M ?1 . (2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

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1 ? x ? ?2 2 ? t ? x ? 1 ? cos ? ? ? 2 已知曲线 C1 : ? ,直线 C 2 : ? ,在曲 (? 为参数) (t为参数) y ? sin ? ? 1 ?y ?1? t ? ? 2

线 C1 求一点,使它到直线 C 2 的距离最小,并求出该点的直角坐标和最小距 离. (3)(本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?
x ?1 ? x ? 2 ? a .

(Ⅰ)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

参考答案
一、1. A 2. C 3.B 二、11. 4.C 5.B 6.D 14. 2 7.B 8.D 9.B 10.C

π 4

12. 32

13. 162

15. 2072

考单招上高职单招网---三、16.解(1)

根据历年单招考试大纲出题

cos2

B?C 1 ? cos( B ? C ) ? cos 2 A ? ? 2cos 2 A ? 1 2 2
1 ? cos A 4 ? 2 cos 2 A ? 1 = ? 2 9

=

(2)? cos A ?

1 2 2 , 0 ? A ? ? ? sin A ? 3 3

?

a c 3 2 ? , a ? 2, c ? ? sin C ? , sin A sin C 2 2

?c ? a?0 ? C ? A ?

?
2

,? C ?

?
4

?A? B?C ?? ? sin B ? sin( A ? C ) ? sin( A ?

?
4

) ? sin A cos

?
4

? cos A sin

?
4

?

2 2 2 1 ( ? ) 2 3 3

=

2 2 ? 3 6 1 2 ac sin B ? 1 ? 2 4

∴ S ?ABC ?

17.解:(1)由已知条件得

1 3 7 ?3? C ? ? ? (1 ? p) ? ? ? ? p ? 4 4 16 ?4?
1 2

2

即 3 p ? 1 ,则 p ? 答: p 的值为

1 3

1 . 3

(2)解: ? 可能的取值为 0,1,2,3

P (? ? 0) ? P (? ? 1) ?

3 3 2 3 ? ? ? 4 4 3 8 7 16

考单招上高职单招网---P(? ? 2) ?

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1 1 2 1 1 1 3 1 ? ? ? C2 ? ? ? ? 4 4 3 4 4 3 6

1 1 1 1 P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 3 48

? 的分布列为:

?

0

1

2

3

P

3 8

7 16

1 6

1 48

所以 E? ? 0 ? ? 1? 答:数学期望为

3 8

7 1 1 5 ? 2 ? ? 3? ? 16 6 48 6

5 . 6

18. 解:(Ⅰ)连接 AC ,因为 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD , ∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是直四棱柱, AA1 ? ABCD , BD ? ABCD , ∴ AA1 ? BD , ∵ AA 1 ? AC ? A ,∴ BD ? AA 1C1C ,

∵ EF ? AA 1C1C ,∴ BD ? EF . (Ⅱ)设 AC ? BD ? O , 以 O 为原点, AC 、 BD 分别为 x 轴、 y 轴建立空间直角坐标系 Oxyz , 依题意,菱形 ABCD 的边长为 2 ,棱柱侧棱长为 8 ,所以 B(0 , ? 3 , 0) ,

E(?1 , 0 , 6) 、 F (1 , 0 , 2) ,

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设平面 BEF 的一个法向量为 n1 ? ( x , y , z) , 则?

? ?n1 ? EF ? 2 x ? 4 z ? 0 ? ?n1 ? BE ? ? x ? 3 y ? 6 z ? 0

,解得 n1 ? (2 3, ? 4 ,

3) ,

底面 ABCD 的一个法向量为 n2 ? (0 , 0 , 1) , 设面 BEF 与底面 ABCD 所成二面角的大小为 ? , 则 cos? ?

| n1 ? n2 | | n1 || n2 |

?

3 31

?

93 . 31

(Ⅲ)多面体 AE ? BCFB 1 是四棱锥 B1 ? AEFC和三棱锥 B1 ? ABC 的组合体,依题意,

BB1 ? 8 , AB ? 2 ,

BB1 三棱锥 B1 ? ABC 的高, BO 是四棱锥 B1 ? AEFC的高,
所以 V ?

1 1 16 3 ? S ?ABC ? BB1 ? ? S AEFC ? BO ? 是常数. 3 3 3

19.解:(Ⅰ)将圆 M 的一般方程 x2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 7 ? 0 化为标准方程

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 3 ,
圆 M 的圆心为 M (3,1) ,半径 r ? 3 .
2 由 A(0,1) , F (c, 0)(c ? a ? 1) 得直线 AF :

x ? y ? 1 ,即 x ? cy ? c ? 0 , c

由直线 AF 与圆 M 相切,得

3? c ?c c2 ? 1

? 3,

c ? 2 或 c ? ? 2 (舍去).
x2 ? y 2 ? 1. 当 c ? 2 时, a ? c ? 1 ? 3 , 故椭圆 C 的方程为 C : 3 ??? ? ???? (Ⅱ)(解法一)由 AP ? AQ ? 0, 知 AP ? AQ ,从而直线 AP 与坐标轴不垂直,
2 2

由 A(0,1) 可设直线 AP 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线 AQ 的方程为 y ? ?

1 x ? 1(k ? 0) k

考单招上高职单招网---将 y ? kx ? 1 代入椭圆 C 的方程

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x2 ? y 2 ? 1并整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kx ? 0 , 3

6k 6k 6k 2 ,? ? 1) ,即 解得 x ? 0 或 x ? ? ,因此 P 的坐标为 (? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 6k 1 ? 3k 2 (? , ) 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

1 6k k 2 ? 3 , ). 将上式中的 k 换成 ? ,得 Q ( 2 k k ? 3 k2 ? 3

k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 6k k2 ?3 k ? 3 1 ? 3 k 直线 l 的方程为 y ? (x ? 2 )? 6k 6k k ? 3 k2 ? 3 ? k 2 ? 3 1 ? 3k 2
化简得直线 l 的方程为 y ?

k 2 ?1 1 x? , 4k 2

因此直线 l 过定点 N (0, ? ) . (解法二) 1? 若直线 l 存在斜率,则可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m( ? A(0,1) ? l ,?

1 2

m ? 1) ,
代入椭圆 C 的方程

x2 ? y 2 ? 1并整理得: (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6mkx ? 3(m2 ?1) ? 0 , 3

由 l 与椭圆 C 相交于 P( x1 , kx1 ? m) 、 Q( x2 , kx2 ? m) 两点,则 x1 , x2 是上述关于 x 的方程 两个不相等的实数解,从而 ? ? (6mk )2 ? 4(1 ? 3k 2 ) ? 3(m2 ?1) ? 12(3k 2 ? 1 ? m2 ) ? 0

x1 ? x2 ? ?

6mk 3(m2 ? 1) , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

由 AP ? AQ ? 0, 得

??? ? ????

x1x2 ? (kx1 ? m ?1)(kx2 ? m ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ,
(1 ? k 2 ) ? 3(m2 ? 1) 6mk ? k (m ? 1) ? (? ) ? (m ? 1) 2 ? 0 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
1 . 2

整理得: 2m2 ? m ? 1 ? 0, (2m ? 1)(m ? 1) ? 0, 由 m ? 1 知 m ? ?

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1 2

此时 ? ? 9(4k 2 ? 1) ? 0 , 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .

2? 若直线 l 不存在斜率,则可设直线 l 的方程为: x ? m (? A(0,1) ? l ,? m ? 0) ,
将 x ? m 代入椭圆 C 的方程

x2 m2 ? y 2 ? 1并整理得: y 2 ? 1 ? , 3 3

当 m2 ? 3 时, y 2 ? 0 ,直线 l 与椭圆 C 不相交于两点,这与直线 l 与椭圆 C 相交于 P 、 Q 两点产生矛盾! 当 0 ? m2 ? 3 时,直线 l 与椭圆 C 相交于 P(m, y1 ) 、 Q(m, y2 ) 两点, y1 , y2 是关于 y 的方 程 y2 ? 1?

m2 m2 ? 1. 的两个不相等实数解,从而 y1 ? y2 ? 0, y1 y2 ? 3 3

但 AP ? AQ ? m2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? 因此直线 l 过定点 N (0, ? ) .

??? ? ????

??? ? ???? 4 2 m ? 0 ,这与 AP ? AQ ? 0 产生矛盾! 3

1 2

注:对直线 l 不存在斜率的情形,可不做证明.

/ 20. 解:(Ⅰ)由题知: g ( x) 的定义域为(0,+∞)∵ g ( x) ?

(3x ? 2)( x ? 2) 4x

∴函数 g ( x) 的单调递增区间为 ? 0, ?和[2,??) 3

? ?

2? ?

2 g ( x) 的单调递减区间为 [ , 2] 3
(Ⅱ)∵ g ( x) 在 x∈ [ ,?? ) 上的最小值为 g (2)
2 且 g (2) = ? 2 ? 4 ? 2 ? ln 2 ? ln 2 ?

2 3

3 8

1 ln 4 ? 1 ? ?0 2 2

∴ g ( x) 在 x∈ [ ,?? ) 上没有零点,

2 3

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? ? 2? ?

∴要想使函数 g ( x) 在 [e n ,??) (n∈Z)上有零点,并考虑到 g ( x) 在 ? 0, ? 单调递增且 3 在 [ , 2 ] 单调递减,故只须 e n ? 易验证 g (e ?1 ) ?

2 3

2 且 f (e n ) ? 0 即可, 3

3 ?2 3 1 2 ? e ? 2 ? e ?1 ? 1 ? 0, g (e ? 2 ) ? ? 4 ? 2 ? 2 ? ln e ? 2 ? 8 8 e e

1 3 1 ( ? ? 2) ? 0 , e2 8 e2
当 n≤-2 且 n∈Z 时均有 g (e n ) ? 0 ,即函数 g ( x) 在 [e n , e ?1 ] ? [e n ,??)(n ? Z ) 上有零点, ∴n 的最大值为-2. (Ⅲ)要证明 f ( x ) ? 1 ?

1 ln x 1 ? 1 ? ( x ? 0) ,即证 x x x

? ?) 只须证 lnx-x+1 ? 0在(0, 上恒成立.

令 h(x)=lnx-x+1(x>0),由 h?( x) ?

1 ? 1 ? 0得x ? 1 x

则在 x=1 处有极大值(也是最大值)h(1)=0
? ?) ∴lnx-x+1 ? 0在(0, 上恒成立.

∴ f (n 2 ) ? 1 ?

1 , n ? N *. n2

∴ f (2 2 ) ? f (32 ) ? ? ? f (n 2 )
? (1 ? 1 1 1 ) ? (1 ? 2 ) ? ? ? (1 ? 2 ) 2 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ) <(n-1)-[ ? ??? ] 2 2 3 n 2 ? 3 3? 4 n ? (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ) ? (n ? 1) ? ( ? ) 2 3 3 4 n n ?1 2 n ?1

=(n-1)- (

=(n-1)-( =

(2n ? 1)(n ? 1) 2(n ? 1)

考单招上高职单招网---∴ f (2 2 ) ? f (32 ) ? ? ? f (n 2 ) <

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(2n ? 1)(n ? 1) . 2(n ? 1)

?cos? 21.(1) 设矩阵 B 为 ? ? sin ?
∴ 2 cos? ? 3

? sin ? ? ?cos? 则? ? cos? ? ? sin ?

? sin ? ? cos? ? ?

? 2? ? 3 ? ?0 ? ? ? ? ? ? ?1?

2sinα =1,

? ? 所以,B 为 ? ? ? ?

3 2 1 2

1? ? ? 2? . 3? 2 ? ? 1? ? ? ? 3 2? ? ? 3 3? ? ?2 2 ? ? ?1 ? 3 3? ? 2 ?

? 3 ? 2 0? ? 2 ?2 0? 又矩阵 A= ? ? ,∴ M ? AB = ?0 3? ? 1 ? ?? ? 0 3? ? ? 2 ? 3 ? ∴M-1= ? 4 ?? 1 ? ? 4 1 ? ? 6 ?. 3? 6 ? ?

∵|M|=6≠0

(2)直线 C2 化成普通方程是 x ? y ?1 ? 2 2 ? 0 设所求的点为 P(1 ? cos ? ,sin ? ) ,则 C 到直线 C2 的距离

d?

|1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2 ? 1| 2

? = sin(? ? ) ? 2
4

当? ?

?
4

?

3? 5? 时,即 ? ? 时, d 取最小值 1 2 4
y y= x+1 + x-2

? 2 2? 此时,点 P 的直角坐标是 ? ,? ?1 ? ? 2 2 ? ? ?
5 4 3

y=5

( 3 )(Ⅰ)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,
-3 -2 -1

2 1 O 1 2 3 x

考单招上高职单招网---如图,在同一坐标系中作出 函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图象(如图所示), 知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .

根据历年单招考试大纲出题

(Ⅱ)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 , 即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ?a ? 3,即a ? ?3 .



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