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8.2.2直线的点斜式方程与斜截式方程



8.2.2 直线的点斜式方程 与斜截式方程(一)

倾斜角
? x轴正方向与直线向上方向之间所成的最小正角α

y
a

倾斜角

x

倾斜角的范围: 0? ? ? ? 180?

斜率小结
? 1.表示直线倾斜程度的量 0?

? ? ? 180? ? ①倾斜角 ? ②斜率 ? 2.斜率的计算方法

k ? tan ?

y2 ? y1 k? x2 ? x1

? 3.斜率和倾斜角的关系

当0?<? ? 90?时,k ? 0 当90?<? ? 180?时,k ? 0 ? ? 0?时,k ? 0 ? ? 90?时,k不存在

问题情境:

问题1: 若直线 l 经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在直线 l

上运动,则点P的坐标(x,y)满足怎样的关系式?
y
A(?1,3)

y ?3 ? ?2 (点P不同于点A时) x ? (?1)
P( x, y)

o

x

y ? 3 ? ?2[ x ? (?1)]

l

10 直线 l 上每一点的坐标(x,y)都满足: y ? 3 ? ?2[ x ? (?1)]

20 坐标满足此方程的每一点都在直线 l 上.

tan 0? ? 0

tan ? ? ? tan(180? ? ? )
tan120? ? ? tan 60?? ? 3 tan135? ? ? tan 45?? ?1

3 tan 30? ? 3 tan 45? ? 1
tan 60? ? 3

3 tan150? ? ? tan 30?? ? 3

tan 90?不存在

当0?<? ? 90?时, tan ? ? 0 当90?<? ? 180?时, tan ? ? 0

建构数学
问题2:若直线 l 经过点P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k, 则此直线 的方程是?
y
P( x, y)
P 0 ( x0 , y0 )
y ? y0

l

y ? y0 ?k x ? x0

( x ? x0 )



故: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( x ? x0 )
x



x ? x0

o

(1)过点 P0 ( x0 , y0 ) ,斜率为k的直线l 上每个点的坐标都 满足方程 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ; (2)坐标满足这个方程的每一点都在过点 P0 ( x0 , y0 ),斜 率为k的直线 l 上.

点斜式方程
y
a

设直线任意一点(P0除外) 的坐标为P(x,y)。

P0(x0,y0) x

y ? y0 k? x ? x0

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

(1)直线上任意一点的坐标是方程的解(满足方程) (2)方程的任意一个解是直线上点的坐标(详见P53练习 8.2.2 第1、2题)

建构数学: 经过点 P0 ( x0 , y0 ) 斜率为k的直线 l 的方程为:
y ? y0 ? k ( x ? x0 )

这个方程是由直线上一定点及其斜率确定, 所以我们把它叫做直线的点斜式方程.
注意:

点斜式方程的形式特点.

点斜式方程
y

l与x轴平行或重合
P0(x0,y0)

倾斜角为0°
l x

y0

斜率k=0

O
直线上任意点 纵坐标都等于y0

y ? y0 ? 0 ? ( x ? x0 )

y ? y0 ? 0
y ? y0

点斜式方程
y l

l与x轴垂直 倾斜角为90°

P0(x0,y0)
x

斜率k 不存在
O
x0

不能用点斜式求方程

直线上任意点 横坐标都等于x0

x ? x0 x ? x0 ? 0

点斜式方程
y
l

①倾斜角α≠90°
x

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
②倾斜角α=0°

y y0 y l x l

y ? y0 ? 0或y ? y0
③倾斜角α=90°

O

x0

x

x ? x0 ? 0或x ? x0

数学运用:
例1(课本P52例题二):
2.已知直线经过点 P?? 1,3? ,求
(1)倾斜角为 0? 时的直线方程: (2)倾斜角为45 ? 时的直线方程: y ? 3 ; ;

y ? 3 ? x ?1
(3)倾斜角为 90 ? 时的直线方程: x ? x0 l y
P 0 ( x0 , y0 )

.

o

x

0

x

数学运用:
问题3:已知直线 l 的斜率为k,与y轴的交点是点P (0,b),求直线 l 的方程. 解: 由直线的点斜式方程,得:

y ? b ? k ( x ? 0)
即:

y
(0,b)

y ? kx ? b
l

o

x

y ? kx ? b
式中:b ---直线l 在y轴上的截距(纵截距)(直线与 y轴交点的纵坐标)

k ---直线 l 的斜率
所以这个方程也叫做直线的斜截式方程.

注:假如直线与x轴的交点A(a,0),则a叫 做直线在x轴上的截距(横截距) 思:截距是距离吗?

例二:
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距:

( 1 )y ? 3 x ? 2 (2) y ? 3x (3) x ? 3 y ? 2

1 2 y ? x? 3 3

课堂小结:

直线过点 P0 ?x0 , y0 ? (1)斜率为K,
点斜式方程:y ? y0 ? k ?x ? x0 ?
P0取?0, b?

斜截式方程: y ? kx ? b
x ? x0 则直线方程为:

(对比:一次函数)

(2)斜率不存在时,即直线与x轴垂直,

当堂反馈:
1.写出下列直线的点斜式方程 (1)经过点A(3,-1),斜率是
y ? 1 ? 2 ( x ? 3)
2

(2)经过点B (? 2,2) ,倾斜角是30°
3 y?2? (x ? 3 2)

(3)经过点C(0,3),倾斜角是0°
y ?3 ? 0

(4)经过点D(4,-2),倾斜角是120°

y ? 2 ? ? 3( x ? 4)

当堂反馈:
2.填空题: (1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么,直线 45 ? 的斜率为 ____, 1 倾斜角为_____________.

3 (2)已知直线的点斜式方程是 y ? 2 ? ( x ? 1) 那么,直 3
3 30 ? 线的斜率为___________, 倾斜角为_______. 3

3.写出斜率为

3 2

,在y轴上的截距是-2的直线方程.
3 y? x?2 2

作业: 课 本:P53 练习8.2.2 1-4

l

数学之美:
y
y ? x?2

y ? 2x ? 4

y

y ? 2x

y?2

y ? 2x ? 4

o
y ? 3x ? 2

x y ? ?x ? 2
y ? ?3x ? 2
y ? 2x ?1

o

x

y ? 2x ?1

直线 y ? kx ? 2 是过定点

(0,2)的直线束;

直线 y ? 2 x ? b 表示斜率为2的 一系列平行直线.

数学运用:
(3)一直线过点 A??1,3? ,其倾斜角等于
3 直线 y ? x 3

的倾斜角的2倍,求直线 l 的方程.

分析:只要利用已知直线,求出所求直线的斜率 即可.
3 ? ? ? 30? 则: tan? ? 3 ?k ? tan2? ? tan60? ? 3

3 解: 设所求直线的斜率为k,直线 y ? x 倾斜角为 3

?

由直线的点斜式方程,得: y ? 3 ? 3[ x ? (?1)]

数学运用:
例三:求过点A(1,2)且与两坐标轴组成一等腰直 角三角形的直线方程。 解:?直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 由直线的点斜式方程得: 即:
y

? k ? ?1 又∵直线过点(1,2) l2
A

l1
x O

y ? 2 ? x ?1或y ? 2 ? ?( x ?1)

y ? x ? 1或y ? ? x ? 3



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