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2.1函数的概念



函数的概念与表示
高三备课组

(1)映射:设A、B是两个集合,如果按照某种映射 法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有 唯一的元素和它对应,则这样的对应(包括集合A、B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射, 记作f:A→B。 (2) 象与原象:如果给定一个从集合A到集合B的映 射,那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做

a的 象,a叫做b的原象。

(3)函数的定义
①原始定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如 果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一 确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自 变量。 ②近代定义:设A、B都是非空的数的集合,f:x→y 是从A到B的一个对应法则,那么从A到B的映射f: A→B就叫做函数,记作y=f(x), 其中 x ? A, y ? B 原象集合A叫做函数的定义域,象集合C叫做函数的 值域。 (4)构成函数概念的三要素

①定义域②对应法则③值域

1.关于函数三要素
例1、下列各组函数中,表示相同函数的是

?A? f ?x? ? ln x
x loga

2

, g ?x? ? 2 ln x

(

D)

?B? f ?x? ? a ?a ? 0, a ? 1?
?C ? f ?x ? ?
1? x
2

, g?x? ? x

, g ?x ? ? 1 ? x ( x ? ?? 1,1?

?D ? f ?x ? ? log

ax a

(a ? 0, a ? 1),

g ?x ? ? 3 x 3

练习:下列各对函数中,相同的是(D )

? A? f ?x? ?

x 2 , g ?x ? ? x

?B? f ?x? ? lg x 2 , g?x? ? 2 lg x
x ?1 ?C ? f ?x ? ? lg , g ? x ? ? lg? x ? 1? ? lg?x ? 1? x ?1

1? u 1? v ?D? f ?u ? ? , g ?v ? ? 1? u 1? v

2.关于函数(映射)定义
例2、集合 A ? ?3,4?, B ? ?5,6,7? ,那么从A→B的映射 有 9 个,从B→A的映射 8 个,从B→A,且A中 每个元素都有原像的映射有 6 个,。
变式一

设集合A和B都是自然数集合N,映射f: A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素 2n+n,则在映射f下,像20的原象是 4 .

已知集合M ? ? 1,2,3, m?, N ? 4,7, n , n ? 3n , m, n ? N ,
4 2 ?

?

?

变 式 二

映射f : x ? y ? 3x ? 1是从M到N的一个函数,则 m,n
的值分别为 B (A)2,5 (B)5,2

(C)3,6

(D)6,3

练习1:设” f:A→B”是从A到B的一个映射,
其中 A ? B ? ? ?x, y? x, y ? R?

f : ?x, y ? ? ?x ? y, xy?

,则A中元素(1,-2)的象是 (-1,-2) , B中的元 素(1,-2)的原象是

(-1,2)或( 。 2,-1)

M ? ?x 0 ? x ? 2?, N ? ?y 0 ? y ? 2?给出的 练习2:

四个图形,其中能表示集合M到N的函数关系的有() B

A、 0个

B、1个

C、2个

D、3个

3.关于分段函数

? sin x( x ? 0) ?? ? 例 3、 已知f ?x ? 1? ? ? , 求f ? ? 1? ? f ?? 9?的值 ?2 ? ?lg?? x ??x ? 0?
2 变 ? ?sin(? x ), ?1 ? x ? 0, , 若 式 (05山东卷)函数 f ( x) ? ? x?1 ? ?e , x ? 0. 一 f (1) ? f (a) ? 2 则 a 的所有可能值为( C)

参考答案:1

(A)1

2 2 2 (B)1, (C) 1, ? (D) ? 2 2 2

? ? x ? 2( x ? ?1) ? 已知函数 f ? x ? ? ?2 x(?1 ? x ? 2) 练习1: ? x2 ?x ? 2? ? 2 ?

、则使得 f ( x ) ? 1的自变量的取值范围为(B ) ?? ?,?2? ? ?0,1? B、 ?? ?,?2? ? ?0,10? A、 xC、 ?? ?,?2? ? ?1,10? D、 ?? 2,0? ? ?1,10?

2 ? ( x ? 1 ) ,x ?1 ? 练习2.(2004. 人教版理科)设函数 f ( x ) ? ? , ? ?4 ? x ? 1, x ? 1

? ? ? 7 ?? ? ?1?求f ? f ? f ? ? ?? ? =1 ?2?若f ?a? ? 3, 求 a的值. 1.5或 ? ? ? 4 ?? ? 6

4.提高题

例5、 设M ? ?a, b, c?, N ? ?? 1,0,1? (1)求从M到N的映射的个数; 27 (2)从M到N的映射满足f(a)+f(b)+f(c)=0,试确定 这样的映射f的个数。 7

练习: 设集合M ? ?? 1,0,1? , N ? ?2,3,5?, 映射 f : M ? N , 使对任意的 x ? M 都有 x+f(x)+xf(x)是奇数,这样的映射f共有(
只要

)个

f (0)

是奇数即可,共3*3*2=18(个)

三、小结 1 、判断两个函数是否同一,要紧扣函数概念三要素: 定义域、值域和从定义域到值域的对应法则。 2、映射的定义是有方向性的,即从集合A到B与从集合 B 到 A 的映射是两个不同的映射,映射是一种特殊对应 关系,只有一对一、多对一的对应才是映射。 3、分段函数是重点和难点,关键是分段解决。



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