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3.1.1空间向量及其加减运算



3.1.1 空间向量及其加减运算

一、平面向量复习
⒈定义: 既有大小又有方向的量叫向量.
几何表示法: 用有向线段表示; 字母表示法: 用字母a、b等或者用有向线段 的起点与终点字母 AB 表示. 相等的向量: 长度相等且方向相同的向量.

B A C

D

⒉平面向量的

加减法运算

⑴向量的加法:

b a

a 三角形法则(首尾相连)

平行四边形法则

⑵向量的减法
三角形法则

b
a
减向量终点指向被减向量终点

⒊平面向量的加法运算律
加法交换律: a+b=b+a 加法结合律: (a+b)+c=a+(b+c)

推广
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的 起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1
A2

An ?1
An A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它
们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2

An ?1
An A3

A4

二、空间向量及其加减运算
⒈空间向量: ⑴定义:空间中具有大小和方向的量叫做向量. ⑵表示方法: ①空间向量的表示方法和平面向量一样; ②同向且等长的有向线段表示同一向量或

相等的向量; ③空间任意两个向量都可以用同一平面内
的两条有向线段表示.

2.空间向量的加法、减法向量
C
?

B

b
O

b
a
A

OB ? OA ? AB ? a + b CA ? OA ? OC ? a - b

⒊空间向量加法运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);

a b c

a b c

对空间向量的加法、减法的说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.

⒉两个向量相加的平行四边形法则在空间仍
然成立. ⒊空间向量的加法运算可以推广至若干个向 量相加.

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同;

? ? ? ? ?? (2)若空间向量 a、 满足| a |?| b |,则 a ? b b



???? ????? ABCD ? A1BC1D1 中,必有 AC ? AC ; (3)在正方体 1 1 1 ?? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? (4)若空间向量 m、 p 满足 m ? n, n ? p,则 m ? p ; n、

(5)空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 变式:如图所示,长方体中,AD=2,AA1=1,AB=3。

??? ? (1)是写出与 AB 相等的所有向量; ???? (2)写出与向量 AA1的相反向量。

例2 已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:
⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA'; ??? ??? ???? ? ? (3) AB ? CB ? AA? ???? ???? ???? ? ? (4) AC ? ? D?B ? DC
A A’ D’ B’

C’

D B

C

⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA';
解:⑴ AB ? BC ? AC D’ A’

C’ B’

⑵ AB ? AD ? AA'
? AC ? AA'

  AC ? CC ' ?

D

? AC '

C

A B 始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个 向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线 所示向量

例3、在如图所示的平行六面体中, ??? ???? ???? ? ? ???? D’ ? 求证: AC ? AB? ? AD? ? 2 AC?. A’ 变式: 已知平行六面体 ABCD ? A?B?C ?D?,则 下列四式中: ? ??? ??? ???? ? ?
(1) AB ? CB ? AC ; ???? ??? ????? ???? ? ? ? (2) AC ? ? AB ? B?C ? ? CC ?; ???? ???? ? (3) AA? ? CC ?; ??? ???? ??? ???? ???? ? ? ? ? (4) AB ? BB? ? BC ? C ?C ? AC ?.

C’ B’

D B

C

A


其中正确的是

例4、如图所示,在正方体 ABCD ? A B1C1D1中,下 1
???? ? 列各式中运算的结果为向量 AC1 的共有(



??? ??? ? ? ????? ???? ????? ????? (1)( AB ? BC ) ? CC1 ;(2)( AA1 ? A1 D1 ) ? D1C1 ; ??? ???? ???? ? ? ???? ???? ? ???? ? (3)( AB ? BB1 ) ? B1C1 ;(4)( AA1 ? A1 B1 ) ? B1C1.
A.1 B.2 C.3 D.4

??? ??? ? ? ???? ??? ? 变式: 化简:(1)( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ??? ??? ???? ???? ? ? (2) AB ? CB ? AD ? AD

类比、数形结合 平面向量 空间向量 概念 定义 表示法 相等向量 加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 运算 减法:三角形法则 运 加法交换律 a?b ? b?a 算 律 加法结合律
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

具有大小和方向的量

加法交换律 a?b ? b?a 加法结合律
(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)



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