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黑龙江哈师大附中2013届高三第三次月考数学(文)试题



考试时间:120 分钟

满分:150 分

第Ⅰ 卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是正确的) 1 . 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x | lg x ?

0} , B ? {x | 2x ? 1} , 则 ?U ( A∪B ) = ( B ) B. (1,+∞) (C ) A.

A. (-∞,1) 2. cos 600? 的值为

C. (-∞,1]

D.[1,+∞)

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

3.已知 sin(

?
2

? ?) ?

3 ,0 ? ? ? ? ,则 tan ? ? 2
( A )

A.

3 3

B. ?

3 3

C. ? 3

D. 3

4.设 a ? log 1 2, b ? log 1
3 2

1 1 , c ? ( )0.3 ,则 3 2
( B ) B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c

A.a<b<c

5.等差数列 ?an ? 中, a3 ? ?1 , a1 ? a4 ? a7 ? 9 ,则 S7 ? S5 ? ( C ) B.21

A.16

C.26

D.31

6.若数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1an ? an ?1 ,则 a2013 的值为 ( C ) A.2
x

B.

1 2
2

C. ?1

D. 1

7.已知 a 是函数 f ( x) ? 2 ? log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则有
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A.f(x0)=0 确定 8.在 ?ABC 中,

( B ) B.f(x0)<0

C.f(x0)>0

D.f(x0)的符号不

a b ? ,则 ?ABC 一定是 cos B cos A
( D ) B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

?a+b?2 9. 已知 x>0、 y>0, a、 y 成等差数列, c、 y 成等比数列, x、 b、 x、 d、 则 的最小值是 ( D cd



A.0 B.1 C.2 D.4 10.函数 y=cos(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如右图所示, A、B 分 别 为 最 高 与 最 低 点 , 并 且 两 点 间 的 距 离 AB = 2 2 , 则 该 函 数 的 一 条 对 称 轴 为 ( C ) 2 A.x= π

π B.x= 2 C.x=1 D.x=2 sinA 2cosC+cosA 11.在△ABC 中, = 是角 A、B、C 成等差数列 cosA 2sinC-sinA ( A ) A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 B.充要条件 D.既不充分也不必要条件

12.已知函数 f ( x) ? xn?1 (n ? N*) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012 的值为 (B ) A.1-log20132012 C.-log20132012 B.-1 D.1

第Ⅱ 卷
?

(非选择题

共 90 分)
7 25

二、填空题: (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 sin(? ?

3 ) ? ? ,则 sin 2? ? 4 5



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14.设 α∈ ? , ( =

3 ?? ?? 5 ), β∈ (0, ? ), cos(α- ? )= ,sin( + β)= , 则 sin (α + β) 4 4 4 4 5 4 13 56 . ? 65

15.若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ? 1, k ? 1) 内不是单调函数,则实 数 k 的取值范围是________. [1, ) 16. 给出下列命题: ① 函数 y ? sin(

3 2

5? ? 2 x) 是偶函数; 2

② 函数 y ? sin( x ?

, ] 上是增函数; 2 2 5? ? ) 图象的一条对称轴; ③ 直线 x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? 4 8 4
④ 将函数 y ? cos( 2 x ?

?

) 在闭区间 [ ?

? ?

?

3

) 的图象向左平移

? 单位,得到函数 y ? cos 2 x 的图象; 3

其中正确的命题的序号是

.① ③

三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分)各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? a3 ? 6 . (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)若等差数列 ?bn ? 满足 b1 ? a2 , b4 ? a4 ,求数列 ?anbn ? 的 前 n 项和 Sn .

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18. (本题满分 12 分)已知向量 m=(sinωx+cosωx, 3cosωx) ,n=(cosωx-sinωx,2sinωx) , π 其中 ω>0,函数 f(x)=m· n,若 f(x)相邻两对称轴间的距离为2. (1)求 ω 的值,并求 f(x)的最大值及相应 x 的集合; (2)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 所对的边,△ABC 的面积 S=5 3,b=4,f (A)=1,求 a.

19. (本题满分 12 分)数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn , a1 ? 4, an?1 ? 2Sn ? 2n ? 4 . (1)求证:数列 ?an ?1 为等比数列; ?

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(2)设 bn ?

an ? 1 ,数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,求证: 8Tn ? 1 . an an?1

20 . (本题满分 12 分) 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上任一点 Q 到其内一点 P(3,1) 及焦点 F 的距 离之和的最小值为 4 . (1)求抛物线的方程; (2)设动直线 y ? kx ? b 与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点,且 y1 ? y2 的值为定 值 a(a ? 0) 过弦 AB 的中点 M 作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点 D , ?ABD , 求 的面积. 解: (1)由抛物线定义, | QF | ? | QP |? 3 ?

p ? 4,? p ? 2, 2

2分

? 抛物线的方程为 y 2 ? 4x

4分

? y2 ? 4x 4 4b 4 4b 2 (2)由 ? 得y ? y? =0,? y1 ? y2 ? , y1 y2 ? k k k k ? y ? kx ? b
2 ? kb 2 1 2 , ), D( 2 , ) 6分 2 k k k k 1 1 1 ? kb ? S?ABD ? | DM || y1 ? y2 |? ? 2 ? a 2 2 k ?M (

8分

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?| y1 ? y2 |?

16(1 ? kb) ?a, k2

10 分

1 a2 a3 ? S?ABD ? ? ? a ? 2 16 32

12 分

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? px ? 1 ( p ? R) . (1) p ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x ) 的极值; (3)若对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? p 2 x 2 ,求实数 p 的取值范围.

? g ( x) 的最大值为 g (

4 1 1 e ) ? ? ln(2 p) ? ? 0,? p ? 2p 4 2

10 分

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当 p ? 0 时 , 2 px ? 1 ?

?1 ?1 0 ( 0 , 上 g '( x) ? 0, g ( x) 单 调 递 增 ; ( , ?? ) 上 , ) p p

g '( x) ? 0, g ( x) 单调递减

? g ( x) 的最大值为 g (

?1 ) ? ? ln(? p) ? 1 ? 0,? p ? ?e p
4

故, p 的取值范围是 (??, ?e] ? [

e , ??) 2

12 分

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多选,则按所做的第一题计分.做答时 请写清题号

2 3. (本题满分 10 分)选修 4 ? 4 : 坐标系与参数方程 极坐标系中,已知圆心 C (3,

?
6

) ,半径 r=1. (1)求圆的极坐标方程; (2)若直线

? 3 t ? x ? ?1 ? ? 2 (t为参数) 与圆交于 A, B 两点,求 AB 的中点 M 与点 P(-1,0)的距离. ? 1 ? y? t ? 2 ?

? 3 3? 3 ? ? ( y ? )2 ? 1 解:1) ( 由已知得圆心 C (3 cos ,3 sin ) , 半径 1, 圆的方程为 ? x ? ? 6 6 2 ? 2 ? ?

?

?

2

2分 即 x 2 ? y 2 ? 3 3x ? 3 y ? 8 ? 0 所 以 极坐标 方程为 5分 (1) 把直线方程代入圆方程得 t 2 ? ( 3 ? 6)t ? 9 ? 3 3 ? 0, ? ? 3 ? 0 7分

? 2 ? 3 3? cos? ? 3? sin ? ? 8 ? 0

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设 t1 ,t 2 是方程两根 ?t1 ? t2 ? ?( 3 ? 6)

所以 PC ?

t1 ? t2 3 ? 3? 2 2

10 分

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