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四川省遂宁市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷. Word版含解析



四川省遂宁市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷.
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知集合 A={0,1},B={﹣1,0,a+3},且 A?B,则 a 等于() A.1 B.0 C.﹣2

D.﹣3

2. (5 分)化简 A.


r />+

所得的结果是() B. C .0 D.

3. (5 分)下列函数中,值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.y=x +x+1
2

4. (5 分)函数 y=ln(x﹣2)的定义域是() A.(﹣∞,+∞) B.(﹣∞,2)
x

C.(0,2) 的值为()

D.(2,+∞)

5. (5 分)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 B. C .1

D.

6. (5 分)函数 y=x﹣

的图象大致为()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)设 是 的相反向量,则下列说法错误的是() A. 与 的长度必相等 C. 与 一定不相等
x 2

B. ∥ D. + =

8. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣x +8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2) 9. (5 分)为了得到 的图象,只需要将 ()

A.向左平移 C. 向左平移

个单位 个单位

B. 向右平移 D.向右平移

个单位 个单位

10. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, f(x)= 则关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为() A.1﹣2
a

B.2 ﹣1

a

C.1﹣2

﹣a

D.2 ﹣1

﹣a

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)已知 sin(α+ )= ,α∈(﹣ ,0) ,则 tanα=.

12. (5 分)已知函数 f(x)=2 +2

x

ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=

,则实数 a=.

13. (5 分)log6=.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(

) )=.

15. (5 分)对于下列结论: ①函数 y=a (x∈R)的图象可以由函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象平移得到; x ②函数 y=2 与函数 y=log2x 的图象关于 y 轴对称; 2 ③方程 log5(2x+1)=log5(x ﹣2)的解集为{﹣1,3}; ④函数 y=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)为奇函数. 其中正确的结论是(把你认为正确结论的序号都填上) .
x+2 x

三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a}. (1)求 A∪B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围.

17. (12 分)已知

(1)化简 f(α)

(2)若 α 是第三象限角,且

,求 f(α)的值.

18. (12 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,其中 ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)写出 f(x)的最值及相应的 x 的取值构成的集合.



19. (12 分)已知函数 y=f(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 y=f(x)的一个不动点,设 2 二次函数 f(x)=ax +(b+1)x+b﹣2. (1)当 a=2,b=1 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两具不同的不动点,求实数 a 的取值范围. 20. (13 分)已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常数且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6) ,B(3,24) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2) 若对于任意的 x∈(﹣∞,1], ( ) +( ) ﹣m≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (3)若 g(x)= ,试用定义法证明 g(x)在区间
x x x

2. (5 分)化简 A.



+ B.

所得的结果是() C. 0 D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题. 分析: 利用向量加法的三角形法则, ( 解答: 解:化简 =( + + )﹣ )= = ,代入要求的式子化简. ﹣ = ,

故选 C. 点评: 本题考查两个向量加法的三角形法则、几何意义,及其应用. 3. (5 分)下列函数中,值域为(0,+∞)的是() A. B. C. D.y =x +x+1
2

考点: 函数的值域. 专题: 计算题.

分析:



y=

>0;



,可判断

解答: 解: 可得函数的值域 故选:C. 点评: 本题考查了相反向量的概念及其应用问题,是基础题目. 8. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣x +8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是() A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 构造函数 g(x)=e ,h(x)=x ﹣8x,画出图象判断,交点个数,运用特殊函数值判断区间. x 2 解答: 解:∵函数 f(x)=e ﹣x +8x, x 2 令 g(x)=e ,h(x)=x ﹣8x,
x 2

画出图象判断交点 1 个数. ∵g(0)=1,h(0)=0, g(﹣1)=e ,h(﹣1)=9, ∴g(0)>h(0) ,g(﹣1)<h(﹣1) , ∴交点在(﹣1,0)内, x 2 即函数 f(x)=e ﹣x +8x,则在下列区间中 f(x)必有零点的是(﹣1,0) 故选:B
﹣1

点评: 本题考查了构造函数,运用图象的交点问题求解有关的函数的零点,画出图象判断,利用特殊函 数值判断即可.

9. (5 分)为了得到 A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

的图象,只需要将 B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

()

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由于把函数 而得出结论 解答: 解:∵函数 故把函数 sin2(x+ 的图象向右平移 ) ,函数 = =sin2(x﹣ 个单位,可得 y=sin= ) , 的 的图象向右平移 个单位,可得 的图象,从

图象, 故选:D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换规律,左加右减,属于中档题. 10. (5 分)定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x≥0 时, f(x)= 则关于 x 的函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为() A.1﹣2
a

B. 2 ﹣1

a

C.1﹣2

﹣a

D.2 ﹣1

﹣a

考点: 函数的零点. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 函数 F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的零点转化为:在同一坐标系内 y=f(x) ,y=a 的图象交点的 横坐标. 作出两函数图象,考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,根据奇函数 f(x)在 x≥0 时的解析式, 作出函数的图象,结合图象及其对称性,求出答案. 解答: 解:∵当 x≥0 时, f(x)= ;

即 x∈; x∈时,f(x)=x﹣2∈; x∈(3,+∞)时,f(x)=4﹣x∈(﹣∞,﹣1) ; 画出 x≥0 时 f(x)的图象, 再利用奇函数的对称性,画出 x<0 时 f(x)的图象,如图所示;

则直线 y=a,与 y=f(x)的图象有 5 个交点,则方程 f(x)﹣a=0 共有五个实根, 最左边两根之和为﹣6,最右边两根之和为 6, ∵x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1) , ∴f(﹣x)= (﹣x+1) , 又 f(﹣x)=﹣f(x) , ∴f(x)=﹣ (﹣x+1)= (1﹣x) =log2(1﹣x) ,
a
﹣1

∴中间的一个根满足 log2(1﹣x)=a,即 1﹣x=2 , a 解得 x=1﹣2 , a ∴所有根的和为 1﹣2 . 故选:A. 点评: 本题考查分段函数的图象与性质的应用问题,也考查了利用函数零点与方程的应用问题,是综合 性题目. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11. (5 分)已知 sin(α+ )= ,α∈(﹣ ,0) ,则 tanα=﹣2 .

考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由 α∈(﹣ ,0)sin(α+ )= ,利用诱导公式可求得 cosα,从而可求得 sinα 与 tanα. )= ,

解答: 解:∵sin(α+ ∴cosα= , 又 α∈(﹣ ∴sinα=﹣ ∴tanα= ,0) , , =﹣2 .

)=cosα,sin(α+

故答案为:﹣2 . 点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,考查同角三角函数间的基本关系,属于中档题.

12. (5 分)已知函数 f(x)=2 +2

x

ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=

,则实数 a=﹣1.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由已知得

,由此能求出实数 a 的值.

解答: 解:∵f(x)=2 +2

x

ax+b

,且 f(1)= ,f(2)=





,整理得



解得 a=﹣1,b=0, ∴实数 a=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 13. (5 分)log6=0. 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数的运算性质即可得出. 解答: 解:原式=log6(log44)=log61=0. 故答案为:0. 点评: 本题考查了对数的运算性质,属于基础题.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f(f(

) )=﹣2.

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用分段函数求出 f( )的值,然后求解 即可.

解答: 解:因为



所以 f(

)=

=﹣1,

所以

=f(﹣1)=2(﹣1) =﹣2.

3

故答案为:﹣2. 点评: 本题考查函数值的求法,分段函数的应用,考查计算能力. 15. (5 分)对于下列结论: x+2 x ①函数 y=a (x∈R)的图象可以由函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象平移得到; x ②函数 y=2 与函数 y=log2x 的图象关于 y 轴对称; 2 ③方程 log5(2x+1)=log5(x ﹣2)的解集为{﹣1,3}; ④函数 y=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)为奇函数. 其中正确的结论是①④(把你认为正确结论的序号都填上) . 考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①利用图象的平移关系判断.②利用对称的性质判断.③解对数方程可得.④利用函数的奇偶 性判断. 解答: 解:①y=a 的图象可由 y=a 的图象向左平移 2 个单位得到,①正确; x ②y=2 与 y=log2x 互为反函数,所以的图象关于直线 y=x 对称,②错误;
x+2 x

③由 log5(2x+1)=log5(x ﹣2)得

2

,即

,解得 x=3.所以③错误;

④设 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,定义域为(﹣1,1) ,关于原点对称,f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x) =﹣=﹣f(x) 所以 f(x)是奇函数,④正确,故正确的结论是①④. 故答案为:①④ 点评: 本题考查函数的性质与应用.正确理解概念是解决问题的关键. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分) 16. (12 分)已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a}. (1)求 A∪B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)根据并集运算即可求 A∪B; (2)若 A∩C≠? ,根据集合关系即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)∵A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6}, ∴A∪B={x|1<x≤8}; (2)∵A={x|2≤x≤8},C={x|x>a}, ∴若 A∩C≠?,则 a<8, 即 a 的取值范围是(﹣∞,8) . 点评: 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用,比较基础.

17. (12 分)已知

(1)化简 f(α) (2)若 α 是第三象限角,且 ,求 f(α)的值.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用诱导公式化简 f(α )的结果为 cosα. (2)利用诱导公式求出 sinα,再由同角三角函数的基本关系求出 cosα,从而得到 f(α)的值. 解答: 解: (1)

=

=cosα

. (2)∵ 又∵α 为第三象限角,∴ ,∴ ,∴ , .

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,诱导公式的应用,以及三角函数在各个象限中的符号,化 简 f(α )是解题的突破口. 18. (12 分)函数 f(x)=sin(ωx+φ) ,其中 ω>0,|φ|< (1)求函数 f(x)的解析式; (2)写出 f(x)的最值及相应的 x 的取值构 成的集合. .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用图象的最低点确定 A 的值,利用周期确定 ω,再根据图象过点( 即可求函数 f(x)的解析式; (2)由 2x+ =2k ,k∈Z,2x+ =2kπ ,k∈Z,即可解得 f(x)的最值及相应的 x 的取值构成 ,0) ,确定 φ 的值,

的集合. 解答: 解: (1)由题意,函数的最小值为﹣1,∴A=1,

∵T=4×(

π﹣

)=π,

∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+φ) , ∵图象过点( ∴sin(2× ∵|φ|< ,0) ,

+φ)=0, ,∴φ= ) ; ,k∈Z,即有 x∈{x|x=k ,k∈Z,即有 x∈{x|x=kπ+ ,k∈Z}时,f(x)m ax=1; ,k∈Z}时,f(x)min=﹣1.

∴f(x)=sin(2x+ (2)当 2x+ 当 2x+ =2kπ =2k

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象和性质,属于基 础题. 19. (12 分)已知函数 y=f(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 y=f(x)的一个不动点,设 2 二次函数 f(x)=ax + (b+1)x+b﹣2. (1)当 a=2,b=1 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对于任意实数 b,函数 f(x)恒有两具不同的不动点,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)当 a=2,b=1 时,解方程 f(x0)=x0,即可求函数 f(x)的不动点; (2)根据函数 f(x)恒有两具不同的不动点,转化为二次函数和判别式之间的关系,即可求实数 a 的取 值范围. 2 解答: 解: (1)当 a=2,b=1 时,f(x)=2x +2x﹣1, 设 x 为其不动点, 即 2x +2x﹣1=x, 2 则 2x +x﹣1=0, 解得 即 f(x)的不动点为
2 2

, .

(2)由 f(x)=x 得 a x +bx+b﹣2=0, 2 关于 x 的方程有相异实根,则 b ﹣4a(b﹣2)>0, 2 即 b ﹣ 4ab+8a>0, 2 又对所有的 b∈R,b ﹣4ab+8a>0 恒成立 2 故有(4a) ﹣4?8a<0, 得 0<a<2 点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,正确理解不动点的定义是解决本题的关键. 20. (13 分)已知函数 f(x)=b?a (其中 a,b 为常数且 a>0,a≠1)的图象经过点 A(1,6) ,B(3,24) .
x

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)若对于任意的 x∈(﹣∞,1], ( ) +( ) ﹣m≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (3)若 g(x)= ,试用定义法证明 g(x)在区间
x x

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (1)运用代入法,解方程组,即可得到 a,b,进而得到 f(x)的解析式; (2)不等式化为 m≤( ) +( ) 在 x≤1 恒成立,运用指数函数的单调性求得右边的最小值即可; (3)运用单调性的定义证明,注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤. 解答: (1)解:由题意可得 解得 a=2,b=3. 即有 f(x)=3?2 ; (2)解:对于任意的 x∈(﹣∞,1], ( ) +( ) ﹣m≥0 恒成立, 即为对于任意的 x∈(﹣∞,1], ( ) +( ) ﹣m≥0 恒成立. 即有 m≤( ) +( ) 在 x≤1 恒成立, 由于 y=( ) +( ) 在 x≤1 递减,即有 y≥ + = , 即 y 的最小值为 , 则 m≤ . 即有 m 的取值范围是(﹣∞, ];
x x x x x x x x x x x



(3)证明:g(x)= 设 m>n≥1,则 g(m)﹣g(n)=

= ﹣

=



=


2 2

由 m>n≥1,则 m﹣n>0,mn>1,1﹣mn<0,1+m >0,1+n >0, 则 g(m)﹣g(n)<0,即 g(m)<g(n) . 2 则 g(x)在区间上单调递减,从而函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 f(a)=a +1. 若 ,则函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为 ,且 .

②当 x≥a 时,函数

若 若 综上,当 当 当

,则函数 f(x)在(﹣∞,a]上的最小值为

,且
2

,则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a +1. 时,函数 f(x)的最小值为 时,函数 f(x)的最小值为 a +1 时,函数 f(x)的最小值为 .
2

点评: 本题为函数的最值和奇偶性的考查;是高考常考的知识点之一;而求最值时需要注意的是先判断 函数的单调性.



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