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福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第15讲 导数的概念及运算



1.理解变化率、瞬时速度的概念. 2.理解导数的概念及几何意义,掌握用导数 的几何意义求函数在某点处的切线的斜率. 3.掌握基本初等函数的求导公式、导数的四 则运算法则,能运用这些公式和法则求较简 单函数的导数.

1.平均变化率 对于函数y ? f ? x ?,P ( x0,y0 )是函数图象上一 点,Q ( x1,y1 )是图象上另一点,自变量x从

x0变 化到x1时,相应的函数值则由y0变化到y1,其中 ① ________ 叫做自变量x的增量,记为?x,y1 ? y0叫做函数y ? f ? x ?的增量,记为?y,即?y ? ?y ② ,则 ?③ ?x f ? x ? 从变量x0到x1的平均变化率.

叫做函数

2.曲线的切线 设函数 y=f(x)的图象 C 上一点 P(x0,y0)及邻近一点 Q(x0+Δx,y0+Δy),过点 P、Q 作 C 的割线 PQ,那么割 Δy 线 PQ 的斜率为Δx, 当点 Q(x0+Δx, 0+Δy)沿着曲线逐渐 y 向点 P(x0,y0)接近时,割线 PQ 将绕着点 P 逐渐转动,当 点 Q 沿曲线无限地接近点 P,即 Δx→0 时,如果割线有一 个极限位置 PT,那么直线 PT 叫做曲线在 P 点的切线,割 线 PQ 的斜率的极限就是曲线在点 P 处的切线的斜率, 即: 切线方程为④ .

3.瞬时速度 物体作直线运动时, 设物体的运动方程(位移公式)为: s=s(t).如果物体在时刻 t0 至 t0+Δt 时位移增量 Δs=s(t0 +Δt)-s(t0),那么,位移增量 Δs 与时间增量 Δt 的比,就 是这段时间内物体的平均速度-,即-=⑤________,当 v v Δt→0 时,-的极限就是物体时刻 t0 的瞬时速度. v

4.导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, 0))处的切线的斜率, k=⑥________, f(x 即 相应地,切线方程为⑦__________________________.

5.常用函数的导数公式 C′=0(C 为常数); (xn)′=⑧________(n∈Q); (sinx)′=cosx;(cosx)′=⑨________; (ex)′=ex;(ax)′=⑩________; 1 (lnx)′=x;(logax)′=?________.

6.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f ′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=? f?x? (3)[ ]′=? g?x? ; (g(x)≠0).

【要点指南】①x1 -x0 ;②y1 -y0 =f(x1)-f(x0);③ f?x1?-f?x0? Δs ; ④y-y0=k(x-x0); Δt ; ′(x0); ⑤ ⑥f ⑦y-f(x0) x1-x0 =f ′(x0)(x-x0);⑧nx
n-1

1 ;⑨-sinx;⑩a lna;?xlna;?
x

f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f ′(x)g(x)+f(x)g′(x);? [g?x?]2

(

1.已知函数 f(x)=x2+1,在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为 ) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44

【解析】 Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2+1-(22+1) =22+4Δx+(Δx)2+1-22-1 =4Δx+(Δx)2=4×0.1+(0.1)2 =0.4+0.01=0.41.

2.函数 y=xcosx-sinx 的导数为( A.xsinx B.-xsinx C.xcosx D.-xcosx

)

【解析】 y′=(xcosx)′-(sinx)′ =x′cosx+x(cosx)′-cosx=-xsinx. 故选 B.

3.以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体,秒时的高度为 s(t) t 1 2 =v0t-2gt , 则物体在 t0 时刻的瞬时速度是 v0-gt0 .

Δs 【分析】 先求出 Δs,再用定义求当 Δt→0 时, 的极 Δt 限值.

【解析】 在 t0 时刻的瞬时速度为 f ′(t0)=v0-gt0.

4.(2011· 重庆卷)曲线 y=-x3+3x2 在点(1,2)处的切线方程为 ( ) A.y=3x-1 C.y=3x+5 B.y=-3x+5 D.y=2x

【解析】 由 y′=-3x2+6x,则切线的斜率 k=f ′(1) =-3+6=3,切线方程为 y-2=3(x-1),即 y=3x-1.

5.已知函数 y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 x-2y+1=0,则 f(1)+2f ′(1)的值为( 1 A. 2 3 C. 2 B.1 D.2 )

【解析】因为(1,f(1))在 x-2y+1=0 上,则 f(1)=1; 1 又因为 f ′(1)=k 切=2,所以 f(1)+2f ′(1)=2.



导数的运算

【例 1】求下列函数的导数 (1)y=(3x3-4x)(2x+1); x+cosx (2)y= ; x+sinx (3)y=exlnx+2x+e.

【分析】 直接利用导数公式和导数运算法则求导.

【解析】 (1)方法 1: 因为 y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x, 所以 y′=24x3+9x2-16x-4.

方法 2: y′=(3x3-4x)′(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)′ =(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)· 2 =24x3+9x2-16x-4.

?x+cosx?′?x+sinx?-?x+cosx??x+sinx?′ (2)y′= ?x+sinx?2 ?1-sinx??x+sinx?-?x+cosx??1+cosx? = ?x+sinx?2 -xcosx-xsinx+sinx-cosx-1 = . ?x+sinx?2

(3)y′=(ex)′· lnx+ex· (lnx)′+(2x)′+0 ex =exlnx+ +2xln2. x

【点评】理解和掌握求导法则和公式的结构规律是 灵活进行求导运算的前提条件,特别是要注意积与商的 求导法则及指、对数函数的求导公式.

素材1

(1)下列结论中,正确的是 确结论的序号填上). 1 ①y=ln2,则 y′= ; 2

②④

(将你认为所有正

1 2 ②y= 2,则 y′|x=3=- ; 27 x ③y=2x,则 y′=x·x-1; 2 1 ④y=log2x,则 y′= . xln2

(2)若函数 y=(2x3+3x)· 2,则 y′= 3x 3cosx+sinx+2xln2

30x4+27x2 . 2x+

(3)若函数 y=x2 +3sinx-cosx+2x ,则 y′= . 2cos2x .

(4)若函数 y=sin2x,则 y′=

【解析】 (1)填②④. (2)y=6x5+9x3,所以 y′=30x4+27x2. (3)y′=2x+3cosx+sinx+2xln2. (4)y=sin2x=2sinx· cosx,

所以 y′=2(sinx)′· cosx+2sinx· (cosx)′ =2(cos2x-sin2x)=2cos2x.



导数的几何意义的应用

1 3 4 【例 2】已知曲线 y=3x +3. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)处的切线方程; (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程.

【分析】 (1)在点 P 处的切线以点 P 为切点;(2)过点 P 的切线,点 P 不一定是切点,需要设出切点坐标;(3) 曲线的切线与曲线不一定只有一个交点, 故也应设出切点 求方程.

【解析】(1)因为 y′=x2,所以在点 P(2,4)处的切线 的斜率 k=y′|x=2=4. 所以曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

1 3 4 1 3 (2)设曲线 y=3x +3与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0, x0 3 4 +3), 则切线的斜率 k=y′|x=x0=x2, 0 切线方程为 1 3 y-(3x0+

4 2 3 4 2 2 x- 3)=x0(x-x0),即 y=x0· 3x0+3,

因为点 P(2,4)在切线上,所以 3x2+4=0, 0

2 3 4 2 4=2x0- x0+ ,即 3 3

x3- 0

所以 x3-8-3x2 +12=0,即(x0-2)2(x0+1)=0,解得 0 0 x0=-1 或 x0=2. 故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

(3)设切点为(x0,y0),故切线的斜率为 k=x2=1,解得 0 5 x0=± 1,故切点为(1, ),(-1,1), 3 5 故所求切线方程为 y- =x-1 和 y-1=x+1, 3 即 3x-3y+2=0 或 x-y+2=0.

【点评】根据条件列方程或方程组是解决该问题的主 要方法, 灵活运用在 x=x0 处的导数就是该点处的切线的斜 率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义知,点 (x0,f(x0))处的切线方程为 y=f ′(x0)(x-x0)+f(x0),若不知 切点坐标,应根据导数的几何意义列方程求出切点坐标.

素材2

已知函数 f(x)=2x3 +ax 与 g(x)=bx2 +c 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线,求 f(x)、g(x)的表达式.

【解析】 因为 f(x)与 g(x)的图象都过点 P(2,0), 所以 a=-8,4b+c=0,所以 f(x)=2x3-8x. 又 g′(x)=2bx,f ′(x)=6x2-8, 因为 f(x)与 g(x)在点 P 处有公共切线,

所以 g′(2)=f ′(2),即 2b×2=6×22-8,得 b=4. 所以 c=-16,所以 g(x)=4x2-16. 综上可知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.



导数的综合应用

1 3 a 2 【例 3】 设函数 f(x)=3x -2x +bx+c,其中 a>0;曲 线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处的切线方程为 y=1. (1)确定 b、c 的值; (2)设曲线 y=f(x)在点(1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过 点(0,2),证明:x1≠x2 时,f ′(x1)≠f ′(x2).

1 3 a 2 【解析】(1)f(x)=3x -2x +bx+c,所以 f(0)=c, f ′(x)=x2-ax+b,所以 f ′(0)=b, 又因为 y=f(x)在(0,f(0))处的切线是 y=1, 1 3 a 2 所以 b=0,c=1,所以 f(x)=3x -2x +1.

(2)用反证法 设 x1≠x2 时有 f ′1(x1)=f ′(x2) 因为 y=f(x)在(x1, 1)(x2, 2)处的切线都过(0,2), f(x f(x 所以 f ′(x1)=x2-ax1=x2-ax2=f ′(x2), 1 2 (x1-x2)(x1+x2-a)=0,(x1-x2≠0), 所以 x1+x2=a.

1 3 a 2 过(x1,f(x2)切线 y-3x1+2x1-1=(x2-ax1)(x-x1) 1 过(0,2), 1 3 a 2 所以 2-3x1+2x1-1=(-x3+ax2, 1 1 2 3 a 2 所以3x1-2x1+1=0.① 2 3 a 2 同理3x2-2x2+1=0.② ①-②整理得 3 2 2 2 x1+x1x2+x2= a , 4

而 x2+x1x2+x2=(x1+x2)2-x1x2 1 2 =a2-x1(a-x1)=x2-ax1+a2 1 a 2 3a2 3a2 =(x1-2) + 4 ≥ 4 . a 当且仅当 x1=2时“=”成立. a a 所以 x1=2,从而 x2=2矛盾, 所以 x1≠x2 时,f ′(x1)≠f ′(x2).

素材3

函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2)处的切线与 x 轴交 k 于点(ak+1,0)其中 k∈N , a1=16, a1+a3+a5= 若 则


21

.

【解析】 y′=2x,则过(ak,a2)的切线斜率为 2ak, k 所以切线方程为 y-a2=2ak(x-ak), k 1 1 令 y=0,解得 x=2ak,故 ak+1=2ak. 1 所以{an}是以 16 为首项,以2为公比的等比数列, 1 n-1 - 所以 an=16·2) =25 n,所以 a1+a3+a5=16+4+1=21. (

备选例题

1 设函数 f(x)=ax+ (a、 b∈Z), 曲线 y=f(x)在点(2, f(2)) x+b 处的切线方程为 y=3.

(1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直 线 y=x 所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.

1 【解析】 (1)f ′(x)=a- 2, ?x+b?

1 (2)在 y=f(x)的图象上任取一点(x0,x0+ ), x0-1 1 由 f ′(x0)=1- 2知此点处的切线方程为 y- ?x0-1? x2-x0+1 1 0 =[1- ](x-x0), x0-1 ?x0-1?2 x0+1 令 x=1,得 y= ,即切线与直线 x=1 的交点为 x0-1 x0+1 (1, ). x0-1

令 y=x 得 y=2x0-1,即切线与直线 y=x 的交点为 (2x0-1,2x0-1), 又直线 x=1 与 y=x 的交点为(1,1), 1 x0+1 所以三角形面积为 | -1|· 0-1-1| |2x 2 x0-1 1 2 = | |· 0-1|=2. 2|x 2 x0-1 所以所围三角形的面积为定值 2.

1.求函数f ? x ?的平均变化率的步骤: ①求函数值的增量?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ?; ?y f ? x2 ? ? f ? x1 ? ②计算平均变化率 ? . ?x x2 ? x1 2.关于函数的导数,应注意:

?1? 在导数的定义中,增量?x的形式是多种多
样的,但不论?x选择哪种形式,?y也必须选 择相对应的形式.在求解时,必须将已给定 的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式.

? 2 ? 求函数在某一处的导数,一般是先求出函
数的导函数,再计算这点的导函数值.

? 3? 对于比较复杂的函数,应先对函数式进行
合理的恒等变形,转化为容易求导的结构形 式再求导数. 3.应用导数的几何意义可以来研究曲线的切 线及其斜率、切点问题,应用导数的物理意义 可研究物体运动的速度、加速度等问题.



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