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高一数学人教B版必修1:2.3 函数的应用(I) 学案


§2.3 函数的应用(I) 【入门向导】 学以致用. 数学来源于生活, 又应用于生活. 运用数学知识解决实际问题的过程就是“数 学建模”过程. 通过观察分析做一些必要的简化假设, 用数学语言表述出实际问题的数学模 型(各种数学公式、方程式、定理、理论体系等,都是一些具体的数学模型),这种解决问题 的方法称之为数学建模方法. 建构数学模型方法的步骤大致上为实际问题→分析抽象→建立 模型→数学问题→数学解→实际解→检验.举个简单的例子,二次函数就是一个数学模型, 很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决. 一次函数与二次函数模型的应用 1.一次函数模型 即一次函数模型 y=kx+b(k≠0). 现实生活中例如: 匀速直线运动中路程和时间的关系, 弹簧秤的工作原理是弹簧的拉力与伸长长度满足一次函数关系. 2.二次函数模型 形如 y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型. 3.解函数应用题的基本步骤 第一步,阅读理解,审清题意. 读题要做到逐字逐句, 读懂题中的文字叙述, 理解叙述所反映的实际背景, 在此基础上, 分析出已知是什么,求什么,从中提炼出相应数学问题. 第二步,引入数学符号,建立数学模型. 一般地设自变量为 x,函数为 y,必要时引入其他相关辅助变量,并且 x,y 和辅助变量 表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其它相关知识建立 函数关系式,在此基础上将实际问题转化为一个函数问题,使实际问题数学化,即所谓数学 模型. 第三步,利用数学方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答,求得结果. 第四步,再将所得结论转译成具体问题的答案. 一、一次函数的模型 例 1 某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器 12 台和 6 台,现销售给 A 地 10 台,B 地 8 台.已知从甲地调运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 400 元和 800 元,从乙地调 运 1 台至 A 地、B 地的运费分别为 300 元和 500 元. (1)若总运费不超过 9 000 元,问共有几种调运方案? (2)求出总运费最低的调运方案及最低的运费. 解 画一个草图,如图所示,设从甲地运 x 台到 A 地,那么甲地的另 12-x 台运往 B 地. 由于 A 地购 10 台, 因此, 尚需从乙地运去 10-x 台, 乙地的另 6-(10-x)台运往 B 地. 设 总运费为 y, 则 y=400x+800(12-x)+300(10-x)+500[6-(10-x)] =-200x+10 600. (1)由 y≤9 000,即-200x+10 600≤9 000,得 x≥8. 由于甲地有 12 台,A 地需要 10 台,因此有三种调运方案,即从甲地运 8 台、9 台或 10 台到 A 地. (2)由于 y=-200x+10 600 为减函数,又 8≤x≤10,因此,当 x=10 时,运费最低,最 低运费为 8 600 元. 二、二次函数的模型 例 2 心理学家发现,学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位:分)之间 满足函数关系式 y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30),y 值越大,表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x 在什么范围内,学生的接受能力逐步 降低? (2)第 10 分钟时,学生的接受能力是多少? (3)第几分钟时,学生的接受能力最强? 分析 已知函数为二次函数,本题处理的实质是二次函数的最值问题. 对于函数 y=-0.1x2+2.6x+4

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