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2013-2014聊城高二上学期期末试题


山东省聊城市 2013-2014 学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 命题“ ?x ? R, e x ? x2 ”的否定是 A. ?x ? R ,使得 ex ? x2
x 2 C. ?x ? R ,使得 e ? x

B. ?x ? R ,使得 ex ? x2 D. 不存在 x ? R ,使得 e ? x
x 2

2. 命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的逆否命题是 A. 若 x≠3,则 x2-2x-3≠0 C. 若 x2-2x-3≠0,则 x≠3 3. 抛物线 y ? A. ( B. 若 x=3,则 x2-2x-3≠0 D. 若 x2-2x-3≠0,则 x=3

1 2 x 的焦点坐标是 4

1 1 , 0) B. (1,0) C. ( ? , 0 ) D. (0,1) 16 16 1 4. 公比为 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a4 a6 ? 16 ,则 a7 ? 2 1 A. B. 1 C. 2 D. 4 2 1 1 5. 已知 ? ? 0 ,则下列结论错误 的是 .. a b
A. a ? b
2 2

B. ab ? b

2

C.

b a ? ?2 a b

D. lg a ? lg ab
2

6. “

1 1 ? 2 ”是“ x ? ”的 x 2
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

7. 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 2a cos 形状为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形

B ? a ? c ,则△ABC 的 2

D. 等腰直角三角形

8. 已知数列 an ? A.

20 21

(n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 10 项和为 4n 2 ? 1 18 10 9 B. C. D. 19 21 19

1

?x ? y ? 0 ? 9. 在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 0 (a为常数) 表示平面区域的面积为 9,则 ?x ? a ?
y?2 的最小值为 x?4
A. -1 B.

2 7

C.

1 7

D. -

5 7

10. 已知 x>0,y>0,且 x ? y ? xy ? 2 ,则 x y 的最大值为 A. 1 ? 3 B.

3 ?1

C. 4 ? 2 3

D. 4 ? 2 3

11. 设数列 ?an ? 满足 a1 ? A. 1 ?

a2 a3 ? ? 2 3

1 2n

B.

1 2 n ?3

an 1 ? 1 ? n ,则 an ? n 2 1 n C. n D. n 2 2

12. 已知 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)右支上一点, F1 、F2 分别是双曲线的左、 a 2 b2

右焦点,I 为△P F1 F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? A. 4 B.

2 S?IF1F2 成立,则该双曲线的离心率为 2

2

C. 2

D. 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn,若 S14>0,S15<0,则当 n 为 最大值。 14. 已知双曲线 时,Sn 取

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长, a 2 b2


则该双曲线的渐近线方程为

15. 小明以每分钟 20 6 米的速度向东行走,他在 A 处 看到一电视塔 B 在北偏东 30°,行走 1 小时后,到达 C 处, 看到这个电视塔在北偏西 15°,则此时小明与电视塔的距离为 米 。

16. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 的最小值为 0,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (t,t+4),则实数 c 的值为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知 A(1,2,0),B(0,4,0),C(2,3,3)。 (Ⅰ)求 cos AB, AC 。(Ⅱ)当 ? 为何值时, AB 与 AB ? ? AC 垂直?

18. (本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,设命题 p:关于 x 的不等式 m x2 ? (1 ? m) x ? (m ? 1) ? 0 ,对任意实数 x 都成立;命题 q:直线 y ? 2 x ? m 与抛物线 y ? 4 x 有两个不同的交点。若命题“ ? p ? q ”
2

为真命题,求 m 的取值范围。 19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (2a ? b) cos C ? c cos B ? 0 , (Ⅰ)求 ?C ; (Ⅱ)若 a、b、c 成等差数列,b=5,求△ABC 的面积。 20. (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是递增等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1 ,且 S2 , a4 + 1 , S4 成等比数列, 数列 ?bn ? 满足 an ? 2log3 bn ?1(n ? N? ) 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

an (n ? N ? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn bn

21. (本小题满分 12 分) 为保护环境,绿色出行,某市今年年初成立自行车租赁公司, 初期投入为 72 万元,建成后每年的总收入为 50 万元, 该公司第 n 年需要付出的维护和工人工资等费用为 an 万元, 已知 ?an ? 为等差数列,相关信息如图所示。

(Ⅰ)求 an,该公司第几年开始盈利? (即总收入减去成本及所有费用之差为正值) (Ⅱ)该公司经营若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以 40 万元的价格出让; ②当盈利总额达到最大值时, 以 8 万元的价格出让, 问哪一种方案较为合算?请说明理 由。

22. (本小题满分 14 分) 如图,已知 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F2 (2,0) a 2 b2

与 x 轴垂直的直线交椭圆于点 M,且 MF2 ? 3 。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)已知点 P(0,1),问是否存在直线 l 与椭圆 交于不同两点 A、B,且 AB 的垂直平分线恰好经过 P 点? 若存在,求出直线 l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由。

山东省潍坊市 2013-2014 学年上学期高二上学期年级期末考试数学试卷 (理科) 【试题答案】
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ACDBB BACDC DB

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 7 14. 2 x ? y ? 0 15. 3600 16. 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) AB ? (?1, 2,0), AC ? (1,1,3) 2分 5分

? AB ? 5 , AC ? 11 , AB ? AC ? ?1 ? 2 ? 1 ,

? cos AB ? AC ?

1 55 。 ? 5 ? 11 55

6分

(Ⅱ) AB ? ? AC ? (?1, 2,0) ? ? (1,1,3)

? (? ? 1, ? ? 2, 3? ) ,
AB 与 AB ? ? AC 垂直。

8分

??1? (? ? 1) ? 2 ? (? ? 2) ? 0 ? 3? ? 0 ,
? ? ? ?5 , ? ? ? ?5 时, AB 与 AB ? ? AC 垂直。
18. (本小题满分 12 分)

10 分

12 分

解:由命题 p 知,关于 x 的不等式 m x ? (1 ? m) x ? (m ? 1) ? 0 对任意实数 x 都成立,
2

则当 m=0 时,不等式变为 x ? 1 ? 0 ,不合题意。 当 m≠0 时,必须满足 ? 解得: m ? ?

1分 , 3分

?m ? 0
2 ?? ? (1 ? m) ? 4m(m ? 1) ? 0

1 , 5分 3 1 1 因此,当 m ? ? 时,命题“p”是真命题,当 m ? ? 时,“ ?p ”是真命题。 6 分 3 3
∵直线 y ? 2 x ? m ①与抛物线 y ? 4 x ②有两个不同的交点,
2

联立①②,消去 x 得 y 2 ? 2 y ? 2m ? 0 。 令 ? ? 4 ? 8m ? 0 ,解得 m ? 因此,当 m ?

8分

1 。 2
10 分 11 分

1 时,q 是真命题。 2

∵“ ? p ? q ”为真命题,∴“ ?p ”和“q”都为真命题, 可得 ?

1 1 ?m? , 3 2 1 1 )。 3 2
12 分

∴实数 m 的取值范围是 ( ? , 19. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ∴ (2a ? b) cos C ? c ? cos B ? 0 可化为 (2sin A ? sin B) ? cos C ? sin C cos B ? 0 即 2sin A cos C ? sin B cos C ? sin C cos B ? 0 , ∴ 2sin A ? cos C ? sin( B ? C ) ? 0 。 即 2sin A cos C ? ? sin( B ? C ) ? ? sin(? ? A) ? ? sin A , ∵ sin A ? 0 ∴ cos C ? ? 4分 2分

1 2

5分

∵0 ? C ?? , ∴C ?

2 ?。 3

6分

(Ⅱ)由余弦定理得

2 a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ? c 2 ,即 a2 ? b2 ? ab ? c2 , 3
又 a ? c ? 2b , b ? 5 , ∴?

7分

?a 2 ? 25 ? 5a ? c 2 ?a ? c ? 10



9分 10 分 12 分

解得 a ? 3 。

1 1 2 15 3 S?ABC ? ab sin C ? ? 3 ? 5sin ? ? 。 2 2 3 4

20. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) ,由 S2 , a4 ?1, a3 成等比数列,得

(a4 ?1)2 ? S ? a3 ,即 9d 2 ? (2 ? d )(1 ? 2d ) ,
整理,得 7d ? 5d ? 2 ? 0 ,
2

2分 3分 4分 5分 6分 7分

解得 d ? 1 或 d ? ?

2 (舍去) 7

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? n ∵ an ? log3 bn ,∴ bn ? 3n (Ⅱ)∵ cn ? anbn ? n ? 3n , ∴ Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ?

? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n ,①
② ? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,

8分 9分

3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ?
①-②得

?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ?
?

? 3n ? n ? 3n?1

10 分

3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 ? n ? 3n ?1 ? ? n ? 3n?1 1? 3 2 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 4

∴ Tn ?

21. (本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)由题意知,每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,

an ? 12 ? 4(n ?1) ? 4n ? 8 ,
设公司第 n 年后开始盈利,盈利为 y 万元,则

2分

y ? 50n ? [12n ?
2

n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40n ? 72 。 2

4分

由 y ? 0 ,得 n ? 20n ? 36 ? 0 , 解得 2 ? n ? 18(n ? N ) 。 故 n ? 3 ,即第 3 年开始盈利。 (Ⅱ)①年平均盈利为 6分

y 72 36 36 ? ?2n ? ? 40 ? ?2(n ? ) ? 40 ? ?2 ? 2 n ? ? 40 ? 16 , n n n n
当且仅当 n ?

36 ,即 n ? 6 时,年平均盈利最大。 n

故经过 6 年经营后年平均盈利最大,此时出让,共盈利 16 ? 6 ? 40 ? 136 万元 9分 ②

y ? ?2n2 ? 40n ? 72 ? ?2(n ?10)2 ? 128 ,

? 当 n ? 10 时,y 的最大值为 128。
即经过 10 年经营盈利总额最大,此时出让,共盈利 128+8=136 万元。 综上知两种方案获利相等,但方案②时间长,所以方案①合算。 22. (本小题满分 14 分) 11 分 12 分

解:(Ⅰ)连接 MF 1 ,在 Rt ?MF 1 F2 中, F 1F 2 ? 4 , MF2 ? 3 , ∴ MF 1 ?5 1分 2分 3分

a ? 4。 ∴由椭圆的定义可知 2a ? MF 1 ? MF 2 ? 8 ,∴ c ? 2 ,从而 b ? a ? c ? 12 , 又 2c ? F 1F 2 ? 4 ,∴
2 2 2

∴椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1。 16 12

4分

(Ⅱ)由题意知,若 AB 的垂直平分线恰好经过 P 点,则应有 PA ? PB 。 当 l 与 x 轴垂直时,不满足 PA ? PB , 当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m 5分

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 y 2 ,消去 y 得 ?1 ? ? ?16 12

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0
∵ ? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 48) ? 0 , ∴ 16k ? 12 ? m ,①
2 2

7分

8分

令 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,AB 的中点为 C ( x0 , y0 ) ,

?8km 3 ? 4k 2 x ? x2 ?4km 3m ? ∴ x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? m ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ?4km 3m ∴C( , ), 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
则 x1 ? x2 ? ∵ PC ? AB ,∴ kPC ? k ? ?1 ,

10 分 11 分

3m ?1 2 即 3 ? 4k ? k ? ?1 , ?4km 3 ? 4k 2
化简得 m ? ?(4k 2 ? 3) , 结合①得 16k 2 ? 12 ? (4k 2 ? 3)2 ,即 16k ? 8k ? 3 ? 0 ,
4 2

12 分

解之得 ?

1 1 ?k? 。 2 2
1 1 , ) 2 2
14 分

综上所述,存在满足条件的直线 l,且其斜率 k 的取值范围为 ( ?


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