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2.1.2指数函数及其性质(第1课时)ppt



§2.1.2指数函数及其性质(1)

复习
学习函数的一般模式(方法):

解析式(定义)
图像 性质 应用
①定义域 ②值域 ③单调性

数形结合 分类讨论

④奇偶性
⑤其它

问题 引入
问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂

成 2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分 裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数
1次

2次

3次

4次

x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 ( )x 尺 2

提炼

1 x y?2 y ?( ) 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

(1)均为幂的形式; (2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.

定义 :
一般地,函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

一般地,函数y ? a (a ? 0, a ? 1)叫做指数
x

函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。
思考 (1)为什么定义域为R?

(2)为什么规定底数a >0且a ≠1呢?

认识 关于底数a范围的说明: a ? 0, a ? 1
(1)a ? 0时

当x>0时,a =0!

x

当x ? 0时,a x无意义! (2)a ? 0时 对于x的某些数值,可使ax无意义!

(3)a ? 1时 对于x ? R,都有ax ? 1! 是一个常量, 没有研究的必要!
a 都有意义, 在规定以后,对于任何x ? R, 且 a x >0. 因此指数函数的定义域是R, 值域是(0,+∞).
x

1 如y ? (?2) 在x ? 处无意义 ! 2
x

例题
(口答)判断下列函数是不是指 数函数,为什么?



y?x

2

√⑤

x

y ??

x

√②

y ?8

x

√ ③ y ? (2a ? 1)


1 ( a ? 且 a ?1 ) 2


y ?5

2 x 2 ?1

y ? (?4)

x

y?x

x
x



y ? ?10

例题
已知指数函数 f ? x ? ? a ? a ? 0, a ? 1? 的图像经过点 ? 3, ? ? , 求 f ? 0?、f ?1?、f ? ?3?
x

的值.

分析:指数函数的图象经过点 有 1 f 3 ?? , 3 3 a ? ? 即 a ? ? ,解得 x 于是有 f ? x ? ? ? 3

? ?

?3,? ?


想一 想

所以:
0 1 3 3

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?
?1

1 f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π

设问2:得到函数的图象一般用什么方法?

列表、描点、连线作图
在同一直角坐标系画出 , 的图象, 并思考:两个函数的图象有什么关系?

y?2

x

?1? y?? ? ?2?

x

x
y ? 2x



-3

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3





0.13

0.25

0.35

0.5

0.71

1

1.4

2

2.8

4

8



x



-3
8

-2
4

-1.5
2.8

-1
2

-0.5
1.4

0
1

0.5
0.71

1
0.5

1.5
0.35

2
0.25

3
0.13




1 y ? ( )x … 2

8 8

7 7

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2

1

-6 -6

-4 -4

-2 -2

2 2

4 4

6 6

8

7

6

?1? y?? ? ?2?

x

5

y?2

x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

认识

归纳

指数函数在底数 0 ? a ? 1 及 a ? 1 情况下的图象和性质:

这两种

0 ? a ?1
y

a ?1
y y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1) 图 象

(0,1)

y=1 y=1

(0,1)

0

x

0

x

(1)定义域:R
性 质

(2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1)即x=0时,y=1

(4)在R上是减函数

(4)在R上是增函数

2.比较a3 与 a4 的大小
答案:分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论: 当 a>1 时 a3 < a4 当 0<a<1 时 a3 > a4 对同底数幂大小 的比较用的是指 数函数的单调性

a >b > c
如图:试确定a, b, c的大小关系:


y?a y?b y?c

x x x

y







a

b
c 1 0 1


对同指数幂比较 底数的大小可设 指数为1

x

b >a > c
(变式)如图:试确定a, b, c的大小关系:
① ② ③

y?a y?b y?c

x x x

y

② ①

b a c 1 0 1



x

比较a、b、c、d的大小.

0<c<d<1<a<b.

当指数函数底数大于1时,图象上升

,且底数越大时图象向上越靠近于y轴;
当底数大于0小于1时,图象下降,底数 越小图象向右越靠近于x轴.

★指数函数图象及性质

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象
的相对位置与底数大小的关系如图所示, 则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧,图象从上到下相应的底数 由大变小;(指数函数在第一象限底大图高)

在y轴左侧,图象从下到上相应的底数
由大变小; 既无论在y轴的左侧还是右侧,底数按 逆时针方向变大.

变式 比较下列各题中两个值的大小:
(1)4 ,0.25
?4

5

?4

1 ?4 解: (1) 0.25 ? ( ) 4 x ?指数函数y ? 4 在R上是增函数 5 4 5 ?4 ?4 ? 4 即4 ? 0.25 又5 ? 4 21 2.13.4 21 3.4 0? ?1 (2) 3.4 ? ( ) 31 3.1 31 21 x ? 指数函数y ? ( ) 在R上是减函数 31 21 3.4 3.4 3.4 ? 2 . 1 ? 3 . 1 又3.4 ? 0 ? 0 ? ( ) ? 1 31

对同指数幂 3.4 3.4 (2)2.1 ,3.1 不同底数的 大小比较可 4 用作商法. ?4

2.指数函数的图象和性质
a>1
y y=1
(0,1)
0

练习:
1.当a ?(1,+?) 时, 函数y ? a x ( a ? 0且a ? 1)为增函数.这时, 当x ? (0, +?)时, y ? 1.
x

0<a<1
y=ax y=ax
y=1

y
(0,1)

图 象

x

0

1.定义域为R,值域为(0,+?).

性 2.过定点(0,1)即x=0时,y=1
3.在R上是增函数 3.在R上是减函数

1 函数, 则a的取值范围是 ( ? ,.0) 2 1 x ?1 3.函数y ? ( ) 的定义域是[1, +?)
2 值域是(0,1
? 1 3

2.若函数f ( x) ? (2a ? 1) x 是减

.
? 1 2

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

] 4.比较下列各题中两个值的大小:
(1) ( 3)
3 1 5 (2) ( ) 4

4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

>,

( 3) 4 5 ( )6 3

;

5.既不是奇函数也不是偶函数.

<,

.

1 x 2 ?2 x 讨论函数 f ( x) ? ( ) 的单调性 . 3 1 x2 ?2 x 解:函数 f ( x) ? ( ) 的定义域为 R. 3 任取x1 , x2 ? (??,??)且x1 ? x2 , 则 1 x12 ? 2 x1 1 x2 2 ? 2 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( ) ?( ) 3 3

要利用复合函数的单调性来求解.
什么是复合函数?

复合函数:
如果y是u的函数,而u又是x的函数,即 y=f(u),u=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)] 叫做函数f和g的复合函数,u叫做中间变量. 1 x 2 ?2 x 1 u 2 如:函数 f ( x) ? ( ) 由y ? ( ) 和 u ? x ? 2 x 3 3 复合而成. 1 u 我们把 y ? ( ) 叫外函数; u ? x 2 ? 2 x叫内函数。 3

注意:若y=f(u)定义域为A,u=g(x)值域 为B,则必须满足B ? A

复合函数的单调性
内u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
外y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数

规律:

复 增函数 增函数 y=f[g(x)]

当内外函数的单调性相同时,其复合函数是增函数;
当内外函数的单调性不相同时,其复合函数是减函数

“同增异减”“异”“同” 指内外函数单调性的 异同

完成预学案P38问题2
1 x2 ?2 x 1 u 2 u ? x ? 2x 解:函数 f ( x) ? ( ) 由y ? ( ) 和 3 3 复合而成.
1 u 2 u ? x ? 2 x 的定义域均为R y?( ) 和 3 ?u( x)在(??,1]上是减函数 , 在[1,??)是增函数 1 u 又y ? ( ) 在R上是减函数 . 3 ? f ( x)在(??,1]上是增函数 , 在[1,??)是减函数

完成固学案P18题5, P19题6、7

当x ?[?1,1]时,求函数 f ( x) ? 3x ? 2的值域. 解:函数f ( x) ? 3x ? 2是R上的增函数 .
当x ?[?1,1]时,有f (?1) ? f ( x) ? f (1). 5 即 ? ? f ( x ) ? 1. 3 5 x ?函数 f ( x) ? 3 ? 2的值域为[? ,1]. 3

完成固学案 P19题4

完成固学案 P19题4
求函数y ? 2
1 x ?4

的定义域与值域 .
1 x ?4

解:由函数y ? 2 ?函数y ? 2

得x ? 4 ? 0.? x ? 4

1 x ?4

的定义域为 {x | x ? 4}.

1 由x ? 4 ? 0得 ? 0. x?4

?y ? 2

1 x ?4

?1
1 x ?4

?函数y ? 2

的值域为 { y | y ? 0, 且y ? 1}.

1 x 2 ?3 x ? 2 例:求函数 f ( x) ? ( ) 的单调性. 2 3 1
2 2

1 u 解:设 u ? x ? 3x ? 2 ? ( x ? ) ? , 则f (u ) ? ( ) 2 2 4

f(u)和u(x)的定义域均为R

因为,u(x)在 增.

3? ? ? ? ?, ? 2? ?

上递减,在

?3 ? , ?? ? ? ?2 ?

上递

1 u 而 f (u ) ? ( ) 在R上是减函数, 21 2 x ?3 x ? 2 3? ? f ( x ) ? ( ) ? ? , ? 所以, 在 上是增函数 2? ? ? 2

,



?3 ? , ?? ? ? ?2 ?

上是减函数.

完成预学案P36拓展问题1
?1? 1? ?x ?x 求函数 y= 4? +? ? ? +1 的值域. ? ?2 ? ? ? ? ?

1? x 2 【错解】 令 t= 2? ? ,则原函数可化为 y=t ?
? ? ? ?

1? 3 3 1 3 ?2 +t+1= t+2? +4≥4,当 t=-2时,ymin=4,即 ?
? ? ? ?

3 函数的值域是[4,+∞). 【错因】
? ? ? ?

原函数的自变量 x 的取值范围是

1? x R,换元后 t= 2? ? >0,而不是 t∈R,错解中,把 ? t 的取值范围错当成了 R.

1? x 【正解】 令 t= 2? ? ,t∈(0,+∞),则原函 ?
? ? ? ? ? 1 3 2 ?2 数可化为 y=t +t+1= t+2? +4. ? ? ? ? ?

1? 3 ?2 因为函数 y= t+2? + 在(0,+∞)上是增函 4 ?
? ? ? ?

1? 3 ?2 数, 所以 y> 0+2? + =1, 即原函数的值域是(1, 4 ?
? ? ? ?

+∞).

作业

1、完成课本P60B组题1

2、完成预学案P36检测题3

应用
1、求下列函数的定义域和值域:

1 x?2 y?( ) . 3

y ?5

3 x ?2

分析:注意应用指数函数的定义域和单调性.

应用
2、比较下列各题中两个值的大小:
3 1.6

2.5 3?0.2 ?0.1 0.1 ?0.2 0.2 ? 0.1 2.5 3 ? ? 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; ?0.8 , 0.8 ? ;? 7 ; ?? 2?

3

3?1.8 ?4 1.7

1.6 0.3 1.6

, , 2.3 0.9

1.6 3.1 1.6

? 4 ?1.7 ;

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

2 0.7 ? 2 ? ? ? 0.7 1.5 ,1.3 , ? 1.3 ? ,5 ? ? ? ? ?3? ? 3( ? 1)(2)利用指数函数的单调性 分析: .
0.7

1 3?0.2 ?0.2

1 1 3 3

(3) 找中间量是关键.

应用
(1)1.7 2.5 <

1.7

3

解: ∵函数 y ? 1.7 x在R上是增函数, 而指数2.5<3. ∴

1.7 2.5< 1.7 3
5 4.5 4 3.5 3

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

0.5

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-0.5

应用
?0.1 ?0.2 ( 2) 0.8 < 0.8

解: ∵函数 y ? 0.8x在R上是减函数, 而指数-0.1>-0.2 ∴

0.8

?0.1

? 0.8

?0.2
1.8

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

应用
(3)1.7 0.3

0.9

3.1

解:根据指数函数的性质,得:

1.70.3 ? 1.70 ? 1 且 0.93.1 ? 0.90 ? 1
从而有
3.2
3.2

1.7

0.3

? 0.9

3.1

3
3

2.8
2.8

2.6
2.6

2.4
2.4

2.2
2.2

2
2

1.8

f?x? = 1.7x

1.8

f?x? = 0.9x

1.6
1.6

1.4
1.4

1.2
1.2

1
1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

应用
比较下列各题中两个值的大小:
3

2.5 3?0.2 ?0.1 0.1 ?0.2 0.2 ? 0.1 2.5 3 ? ? 1 1.7 ,1.7 ; 2 0.8 , 0.8 ; ?0.8 , 0.8 ? ;? 7 ; ?? 2?

3

1.6

3?1.8 ?4 1.7

1.6 0.3 1.6

, , 2.3 0.9

1.6 3.1 1.6

? 4 ?1.7 ;

0.3 0.3

, 0.9

3.1 3.1

;

方法总结: 2 0.7 ? 2 ? ? ? 0.7 1.5 ,1.3 , ? 1.3 ? ,5 ? ? ? ? 3? ? 3 ? ? 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的
0.7

1 3?0.2 ?0.2

1 1 3 3

单调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数 函数的两个函数值;对不同底数幂的大小的比 较可以与中间值进行比较.

练习
1.下列函数中一定是指数函数的是( )

A. y ? 2 x?1
C. y ? 2
?x

B. y ? x 3 x D. y ? 3 ? 2

0.7 0.9 0.8 a ? 0 . 8 , b ? 0 . 8 , c ? 1 . 2 , 2.已知

则 a, b, c 的大小关系是____________________.

点滴收获: 1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义 指数函数的图象及性质

2.如何记忆函数的性质?

数形结合的方法记忆 y
y ? 2x
2

3.记住两个基本图形:

1 x y?( ) 2

1

y=1
2

-2

-1

o1

x



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