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函数图像的变换


你想画好函数的图象吗? 你想利用图象的直观性来解决问
题吗? 那么你首先应该认识与掌握

函数图象的四大变换

平移

对称 翻折 伸缩

问题1:如何由f(x)=x2的图象得到下列各函 y 数的图象? y=f(x)+1
(1)f(x-1)=(x-1)2 (2)f(x+1)=(x+1)2 (3)f(x)+1=x2+1 (4)f(x) -1=x2-1 函数图象的平移变换: y=f(x) y=f(x) a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a)左右平移 a<0,向右平移|a|个单位 k>0,向上平移k个单位 y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位
y=f(x+1)

y=f(x-1) 1 -1 O 1

x

y=f(x)-1 -1

问题2:说出下列函数的图象与指数函数y=2x的 图象的关系,并画出它们的示意图. (4)y=log2x (3)y=-2-x (1)y=2-x (2)y=-2x
y y y y

1
O

1 1 x
O

1 x -1
O

-1

x

O1

x

对 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y 轴 对称; 称 (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x 轴 对称; 变 (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原 点 对称; 换 (4)y=f(x)与y=f -1(x)的图象关于 直线y=x 对称.

问题3:分别在同一坐标系中作出下列各组函 数的图象,并说明它们之间有什么关系?
(1)y=2x与y=2|x|
y

(2)y=log2x与y=|log2x|
y

|x| y=2 y=2x

y=log x y=|log2x|
O

1
O

1

x

x

翻 折 变 换

(5)由y=f(x)的图象作 y=f(|x|)的图象: 保留y=f(x)中y轴右 侧部分,再加上这部分 关于y轴对称的图形.

(6)由y=f(x)的图象作 y=|f(x)|的图象: 保留y=f(x)中x轴上 方部分,再加上这部分 关于x轴对称的图形.

函数图象的平移变换规律: a>0,向左平移a个单位 y=f(x+a) 左右平移 (1)y=f(x) a<0,向右平移|a|个单位

k>0,向上平移k个单位 y=f(x)+k 上下平移 k<0,向下平移|k|个单位 函数图象的对称变换规律: (1)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴 对称; (2)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y轴 对称; (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原点 对称;
(2)y=f(x) (4)y=f(x)与y=f -1 (x)的图象关于 直线y=x 对称. 函数图象的翻折变换规律: (1)由y=f(x)的图象作y=f(|x|)的图象:保留y=f(x)中 y轴右侧 部分,再加上这部分关于 y轴 对称的图形. (2)由y=f(x)的图象作y=|f(x)|的图象:保留y=f(x)中 x轴上方 部分,再加上这部分关于 x轴 对称的图形.

例1.已知函数y=|2x-2| (1)作出函数的图象; (2)指出函数 的单调区间; (3)指出x取何值时,函数有最值。
y

y=2x
y=|2x-2|

y=2x-2

1
O

y=|2x-2|

1

2

3

x

-1





1.已学的画函数图象的基本方法: (1)描点法: (2)图象变换法:平移变换、对称变换 2.画函数图象时可先确定函数的定义域、讨论函数的性 质(如单调性、奇偶性、特殊点等),再用描点法或图象 变换法得出图象。 3.用图象变换法画函数图象的简图时,往往要找出该函 数的基本初等函数,分析其通过怎样的变换(平移、对称 等)而得到。有时要先对解析式进行适当的变形。 4.利用函数的图象判定单调性、求方程根的个数、解 不等式、求最值等,体现了数形结合的数学思想。


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