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高一数学人教B版必修1:2.4 函数与方程 学案


2.4 函数与方程 【入门向导】 详释二分法 关于这个问题的回答,我们不妨先来看一段 CCTV2 幸运 52 的一个片段: 主持人李咏(以下简称李)说道“猜一猜这件商品的价格”. 甲:2 000! 李:高了! 甲:1 000! 李:低了! 甲:1 700! 李:高了! 甲:1 400! 李:低了! 甲:1 500! 李:低了! 甲:1 550! 李:低了! 甲:1 580! 李:高了! 甲:1 570! 李:低了! 甲:1 578! 李:低了! 甲:1 579! 李:这件商品归你了.下一件? 有一位老师和他的三位学生做了如下问答: 老师:如果让你来猜这件商品的价格,你如何猜? 钱立恒:先初步估算一个价格,如果高了再每隔十元降低报价. 方仕俊:这样太慢了,先初步估算一个价格,如果高了每隔 100 元降低报价.如果低了, 每隔 50 元上涨;如果再高了,每隔 20 元降低报价;如果低了,每隔 10 元上升报价? 侯素敏:先初步估算一个价格,如果高了,再报一个价格;如果低了,就报两个价格和 的一半;如果高了,再把报的低价与一半价相加再求其半,报出价格;如果低了,就把刚刚 报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价? 侯素敏的回答是一个比较准确的结果,所采用的方法就是二分法的思维方式——区间逼 近法. 函数零点求解三法 我们知道,如果函数 y=f(x)在 x=a 处的函数值等于零,即 f(a)=0,则称 a 为函数的零 点.本文现介绍函数零点求解三法. 一、代数法 例 1 求函数 f(x)=x2+2x-3 的零点. 解 令 x2+2x-3=0,Δ=22-4×(-3)=16>0, 方程有两个不相等实数根. 方法一 因式分解法或试根法 x2+2x-3=(x+3)(x-1)或由 f(x)=x2+2x-3, 试一试 f(1)=12+2×1-3=0, f(-3)=(-3)2+2×(-3)-3=0. 所以 f(x)的零点为 x1=1,x2=-3. 方法二 配方法 x2+2x-3=(x+1)2-4=0, 所以 x+1=± 2.所以零点 x1=1,x2=-3. 方法三 公式法 -b± b2-4ac -2± 4 x1,2= = . 2a 2 所以零点 x1=1,x2=-3. 点评 本题用了由求函数 f(x)的零点转化为求方程 f(x)=0 的实数根的办法.运用因式分 解法或试根法、配方法、公式法,以上统称为代数法. 二、图象法 求函数 y=g(x)-h(x)的零点,实际上是求曲线 y=g(x)与 y=h(x)的交点的横坐标,即求 方程 g(x)-h(x)=0 的实数解. 三、用二分法求函数近似零点 例 2 用二分法求函数 f(x)=x3-3 的一个正零点(精确到 0.01). 解 由于 f(1)=-2<0,f(2)=5>0, 因此区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,如下表: 端点(中点)坐标 计算中点函数值 取值区间 f(1)=-2<0 [1,2] f(2)=5>0 1+2 [1,1.5] f(x1)=0.375>0 x1= =1.5 2 1+1.5 x2= f(x2)=-1.047 2 [1.25,1.5] <0 =1.25 1.25+1.5 x3= f(x3)=-0.400 2 [1.375,1.5] <0 =1.375 1.375+1.5 x4= f(x4)=-0.029 5 2 [1.437 5,1.5] <0 =1.437 5 1.437 5+1.5 x5= f(x5)=0.168 4 [1.437 5, 2 >0 1.468 75]

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