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高三数学一轮复习



第2讲 命题及其关系、充要条件

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知识梳理 1.命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的
语句叫做命题,其中判断为 真 的语句叫真命题,判断为 假的语句叫假命题.

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2.四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

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(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题,它们有 相同 的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没 有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p?q,则p是q的 充分条件 ,

q是p的 必要条件 ;
(2)如果p?q,q?p,则p是q的 充要条件 .

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辨析感悟 1.对四种命题的认识 π (1)(2012· 湖南卷改编)命题“若α= ,则tan α=1”的否命题 4 π 是“若α=4,则tan α≠1”. (×)

(2)若原命题“若p,则q”为真,则在这个命题的否命题、逆 命题、逆否命题中真命题的个数为1或2. (×)

(3)命题“若x2-3x+2>0,则x>2或x<1”的逆否命题是 “若1≤x≤2,则x2-3x+2≤0”.
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(√)
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2.对充分条件、必要条件的理解 (4)给定两个命题p,q.若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q

的必要不充分条件.

(√)

(5)“(2x-1)x=0”的充分不必要条件是“x=0”.(√) 1 (6)在△ABC中,“A=60° ”是“cos A= ”的充分不必要条 2 件. (×)

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[感悟· 提升]

1.一个区别 否命题与命题的否定是两个不同的概念.否
命题同时否定原命题的条件和结论,命题的否定仅仅否 定原命题的结论(条件不变),如(1)把否命题错看成是命题 的否定.

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2.三个防范 一是分清命题中的条件和结论,并搞清楚其中的关 键词,如“≠”与“=”,“>”与“≤”,“且”与“或”,“是”与“不是”, “都不是”与“至少一个是”,“都是”与“不都是”等互为否定, 如(3). 二是弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B A, 且 A B,如(5);而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A B 且 B A,如(6). 三是注意题中的大前提,如(6).

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考点一 命题及其相互关系 【例1】 已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函 数,则m≤1”,则①否命题是“若函数f(x)=ex-mx在 (0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题;②逆命题是 “若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是 假命题;③逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0, +∞)上是减函数”,是真命题;④逆否命题是“若m>1,则 函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题.以 上四个结论正确的是________.(填序号)

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解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数, 则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.∴命题“若函数f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题 “若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真 命题. 答案 ④

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规律方法 (1) 在判断四种命题的关系时,首先要分清命题的

条件与结论,当确定了原命题时,要能根据四种命题的关系
写出其他三种命题. (2)当一个命题有大前提时,若要写出其他三种命题,大前提 需保持不变. (3)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;说明一个命题

是假命题,只需举出反例.
(4)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真

同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化
为判断其等价命题的真假.
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【训练1】 (2013·吉林白山二模)命题“若a2+b2=0,则a=0 且b=0”的逆否命题是________. 答案 若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0

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考点二 充分条件、必要条件的判断 【例2】 (1)(2013·福建卷改编)设点P(x,y),则“x=2且 y=-1”是“点P在直线l:x+y-1=0上”的_______条 件. (2)(2013· 济 南 模 拟 ) 如 果 a = (1 , k) , b = (k,4) , 那 么

“a∥b”是“k=-2”的________条件.
解析 (1)当x=2且y=-1时,满足方程x+y-1=0, 但方程x+y-1=0有无数多个解,不能确定x=2 且y=-1, ∴“x=2且y=-1”是“点P在直线l上”的充分而不必

要条件.
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(2)因为a∥b,所以1×4-k2=0,即4=k2,所以k=±2.所以 “a∥b”是“k=-2”的必要不充分条件.

答案 (1)充分而不必要 (2)必要不充分

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规律方法 判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由 条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p.对于带有

否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、
复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、 逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.

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1 【例2】 已知条件p:x≤1,条件q: x <1,则綈p是q的________ 条件. 1 1 解析 由x>1,得 <1;反过来,由 <1,不能得知x>1, x x 即綈p是q的充分不必要条件.

答案 充分不必要

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考点三

充要条件的应用

【例3】(2014· 无锡一中调研)已知函数f(x)=ax-bx2(a>0). (1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2 b; (2)当b>1时,证明:对任意x∈[0,1],|f(x)|≤1成立的充要条件 是b-1≤a≤2 b. 证明 (1)由题意知bx2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立,

∴Δ=a2-4b≤0,又a>0,b>0,∴a≤2 b.

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(2)①先证充分性:∵b>1,a≥b-1,∴对任意x∈[0,1], 有ax-bx2≥(b-1)x-bx2=b(x-x2)-x≥-x≥-1, 即ax-bx2≥-1;∵b>1,a≤2 b,∴对任意x∈[0,1], 有ax-bx2≤2 bx-bx2=-( bx-1)2+1≤1, 即ax-bx2≤1,∴|f(x)|≤1成立,充分性得证;

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②再证必要性:∵对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1, ∴f(1)≥-1,即 a≥b-1; ∵对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1,而 b>1, ∴f
? ? ? ?

1? ? ≤1,即 a≤2 b,必要性得证. ? b?

由①②可知,当 b>1 时,对任意 x∈[0,1],|f(x)|≤1 成立的充要条 件是 b-1≤a≤2 b.

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规律方法

(1)涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等价转化

思想,将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决. (2)①p的充分不必要条件为q,等价于p?q,q 分条件为q,等价于p?q,q p. p;②p的必要不充

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【训练3】 已知p:2x2-9x+a<0,q:

2 ? ?x -4x+3<0. ? 2 ? ?x -6x+8<0.

且綈p是

綈q的充分条件,求实数a的取值范围.



2 ? ?x -4x+3<0, 由? 2 ? ?x -6x+8<0,

? ?1<x<3, 得? ? ?2<x<4,

即2<x<3, ∴q的解集为{x|2<x<3}. 设A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈p?綈q,∴q?p.∴B?A.
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∴2<x<3属于集合A,即2<x<3满足不等式2x2-9x+a<0. ∴2<x<3满足不等式a<9x-2x2. ∵当2<x<3时,9x-2x
2

? ? 9 81 81? 9? 2 81 2 =-2 ?x -2x+16-16? =-2 ?x-4? + 8 ? ? ? ?

81 81 2 的值大于9且小于等于 ,即9<9x-2x ≤ ,∴a≤9. 8 8

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1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必须 保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成

的命题,在写其它三种命题时,应把其中一个 (或几个) 作为
大前提. 2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命题 与定理是有区别的;命题有真假之分,而定理都是真的.

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3.命题的充要关系的判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法:利用A?B与綈B?綈A,B?A与綈A?綈B,A?B

与綈B?綈A的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般

运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:若A?B,则A是B的充分条件 或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
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思想方法1——等价转化思想在充要条件关系中的应用

【典例】

? x-1? ? ? 已知p:?1- ≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0), ? 3 ? ?

且綈p是綈q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.

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法一

由q:x2-2x+1-m2≤0,

得1-m≤x≤1+m, ∴綈q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0},

? x-1? ? ? 由p:?1- ≤2, 3 ? ? ?

解得-2≤x≤10, ∴綈p:B={x|x>10或x<-2}.

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∵綈p是綈q的必要而不充分条件.

?m>0, ? ∴A B,∴?1-m<-2, ?1+m≥10, ? 即m≥9或m>9.∴m≥9.

?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

故实数m的取值范围是[9,+∞).

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法二

∵綈p是綈q的必要而不充分条件,

∴p是q的充分而不必要条件, 由q:x2-2x+1-m2≤0, 得1-m≤x≤1+m, ∴q:Q={x|1-m≤x≤1+m},
? x-1? ? ? 由p:?1- ≤2, 3 ? ? ?

解得-2≤x≤10, ∴p:P={x|-2≤x≤10}.
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∵p是q的充分而不必要条件, ?m>0, ? ∴P Q,∴?1-m<-2, ?1+m≥ 10, ? 即m≥9或m>9.∴m≥9. 故实数m的取值范围是[9,+∞). ?m>0, ? 或?1-m≤-2, ?1+m>10, ?

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[反思感悟] 本例涉及参数问题,直接解决较为困难,先用等 价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题

来解决.一般地,在涉及字母参数的取值范围的充要关系问
题中,常常要利用集合的包含、相等关系来考虑,这是破解 此类问题的关键.

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【自主体验】 1.(2013· 山东卷改编)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充

分条件,则p是綈q的________条件.

解析 由q?綈p且綈p

q可得p?綈q且綈q

p,所以p是綈q

的充分而不必要条件. 答案 充分不必要
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2.已知命题p:x2+2x-3>0;命题q:x>a,且綈q的一个充分

不必要条件是綈p,则a的取值范围是________.

①[1,+∞);②(-∞,1];③[-1,+∞);④(-∞,-3]

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解析

由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必

要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的

充分不必要条件.故a≥1. 答案 ①

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