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高一数学人教B版必修1:2.1.3 函数的单调性 学案



2.1.3 函数的单调性 自主学习 学习目标 1.理解单调性的定义. 2.运用单调性的定义判断函数的单调性. 自学导引 1.增函数与减函数 一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 A, 区间 M?A.如果取区间 M 中的________________, 改变量 Δx=x2-x1>0,则当____________________时,就称函数 y=f(x)在区间 M 上

是增函 数(如图甲),当____________________时,那么就称函数 y=f(x)在区间 M 上是减函数(如图 乙). 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是________或是________,就说这个函数在这个区间 M 上具有单调性,区间 M 称为________________. 3.a>0 时,二次函数 y=ax2+bx+c 的单调递增区间为__________. 4.k>0 时,y=kx+b 在 R 上是________函数. k 5.函数 y= (k>0)的单调递减区间为________________. x 对点讲练 知识点一 利用图象求单调区间 例 1 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x2+2x-3|. 规律方法 函数的单调区间可以是开的,也可以是闭的,也可以是半开半闭的,对于闭 区间上的连续函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也单调.因此,只要单调区间 端点使 f(x)有意义, 都可以使单调区间包括端点.但要注意, 不连续的单调区间必须分开写, 不能用“∪”符号连接它们. ax2 变式迁移 1 写出函数 f(x)= +1(a≠0)的单调区间. |x| 知识点二 利用定义证明函数的单调性 1 例 2 证明:函数 f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x 规律方法 证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义.其步骤为(1)取值 (注意 x1、x2 的任意性);(2)作差变形(目的是便于判断符号);(3)判断差的符号;(4)写出结论. 1 变式迁移 2 利用单调性的定义证明函数 y=x- 在(0,+∞)上是增函数. x 知识点三 函数单调性的应用 x2+2x+3 例 3 已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围. 规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法, 特别是当函数图象不好作 或作不出来时,单调性几乎成为首选方法.另外 f(x)>a 恒成立,等价于 f(x)min>a,f(x)<a 恒 成立,等价于 f(x)max<a. x 变式迁移 3 求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最小值;若 f(x)<a 在[2,5]上恒成 x-1 立,求 a 的取值范围. 1.函数的单调区间必须是定义域的子集.因此讨论函数的单调性时,必须先确定函数 的定义域. 1 2.研究函数的单调性,必须注意无意义的特殊点,如函数 f(x)= 在(-∞,0)和(0,+ x 1 ∞)上都是减函数,但不能说函数 f(x)= 在定义域上是减函数. x 3.求单调区间的方法:(1)图象法;(2)定义法;(3)利用已知函数的单调性. 4. 用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤: 取值——作差变形——定号—— 判断. 若 f(x)>0, 则判断 f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决, 即“取值——作比变形—— 与 1 比较——判断”. 课时作业 一、选择题 1.下列说法中正确的有(


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