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2011年广东省教研室推荐高考必做(数学文)6


2011 年广东省教研室推荐高考必做 38 套(06) 数学文
一.选择题 (每小题 5 分共 50 分,请把正确的答案填在答题纸中) 1.设集合 M = x x 2 ? 3 ≤ 0 ,则下列关系式正确的是 A. 0 ? M 2.化简 B. 0 ? M C. 0 ∈ M ( B.—i C.—1 D.1 )

{

}



) D. 3 ∈ M )

1? i 的结果是 1+ i

A.0

3.设 a1 , a 2 , a 3 , a 4 成等比数列,其公比为 2,则

2a1 + a 2 的值为 ( 2a3 + a 4
1 8
) D.1

A.

1 4

B.

1 2

C.

?2 x + y ≥ 4 ? 4.设 x,y 满足 ? x ? y ≥ ?1, 则z = x + y ?x ? 2 y ≤ 2 ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值



(B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值 主视图 左视图

5.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直 角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积 为( (A)1 ) (B)

1 2

(C)

1 3

(D)

1 6

6.在△ ABC 中, a , b , c 分别是 ∠A , ∠B , ∠C 的 且 b + c + 3bc = a ,则 ∠A 等于
2 2 2

俯视图 )



A.

π
6

B.

π
3

C.

2π 3

D.

5π 6

7.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么

| a + b |= (
A. 3

) B. 2 C.3 D.2 )

8. 某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的 k 的值是 (
-1-

A. 4 9.已知函数

B. 5

C. 6

D. 7

f ( x) = ( x ? a )( x ? b) (其中 a > b )的图象如下面右图所示,则函数
( B. C. D. f (x) )

g ( x) = a x + b 的图象是
A.

10.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为 A.





7

B. 2 2

C. 3

D. 1

二.填空题(每小题 5 分共 20 分) 填空题( 11.若 x > 0 ,则 x +

2 的最小值为 . x 1 1 1 12.已知 f ( n) = 1 + + + ? ? ? + ( n ∈ N + ) ,经过计算得: 2 3 n 3 5 7 , 推 测 当 n≥2 时 , 有 f ( 2) = , f ( 4) > 2, f (8) > , f (16) > 3, f (32) > 2 2 2

f (2 n )



13.若函数 y = lg(mx 2 ? mx + 1) 的定义域为 R 则 m 的取值范围____________ 14.(1)(坐标系与参数方程选做题)已知直线的极坐标方程为 ρ sin(θ + (坐标系与参数方程选做题) 点到这条直线的距离是 .

π
4

)=

2 ,则极 2

(2)(平面几何选讲选做题)如图,⊙ O 的割线 PBA 过 (平面几何选讲选做题) 圆心 O ,弦 CD 交 PA 于点 F ,且△ COF ∽ △ PDF , PB = OA = 2 ,则 PF = . A C F O D 15 题图 B

P

三.解答题(共 80 分) 解答题(

-2-

15. (满分 12 分) 已知: f ( x ) = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x . (1) 求 f (x ) 的最小正周期; (2) 求 f (x ) 在 [ ?

π π

, ] 上最大值与最小值. 6 3
P F

16.(满分 12 分) 在一个盒子中装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从中一次性取出两个球, 每个小球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率.
D C

17.(满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD
A 为矩形,PD⊥平面 ABCD,点 E、F 分别是 AB 和 PC 的中点. E B

(1) 求证:EF//平面 PAD; (2) 若 CD=2PD=2AD=2, 四棱锥 P-ABCD 外接球的表面积. 18.(满分 14 分) 已知数列 {a n } 的首项为 a1 =3,通项 a n 与前 n 项和 s n 之间满足 2 a n = s n · s n (n≥2) 。 (1)求证: ?

?1

?1? ? 是等差数列,并求公差; ? Sn ?

(2)求数列 {a n } 的通项公式。

19.(满分 14 分) 设函数 f ( x) = x 2 e x ?1 + ax 3 + bx 2 ,已知 x = ?2 和 x = 1 为 f ( x ) 的极值点. (1)求 a 和 b 的值; (提示 e x ?1 = e x ?1 ) (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)设 g ( x ) =

'

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小. 3
14 分 ) 如 图 , 已 知 椭 圆

20 . ( 满 分

x2 y2 4 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率为 ,左、右焦点分 a b 5
别为 F1 和 F2 ,椭圆 C 与 x 轴的两交点分别为 A、B,点 P 是椭圆上一点(不与点 A、B 重合) ,且∠ APB= 2α ,∠

-3-

F1PF2 = 2 β .
(1)若 β = 45 ,三角形 F1PF2 的面积 为 36 ,求椭圆 C 的方程; (2)当点 P 在椭圆 C 上运动时,试证明

tan β ? tan 2α 是定值.

2011 年广东省教研室推荐高考必做 38 套(06) 数学文参考答案
一. 选择题 CBABD DAAAA 二. 填空题 11. 2 2 三.解答题 15.(满分 12 分)解: f ( x ) = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x 12. >

n+2 2

13.0 ≤ m<4

14.(1)

2 2

(2) 3

= 2 sin( 2 x +

π
6

) +1 2π =π 2

-----------------------------4 分 -------------------------6 分 ------------------8 分

⑴ f ( x ) 的最小正周期 T = ⑵ 由 x ∈ [?

π π

?

1 π π ≤ sin( 2 x + ) ≤ 1 ? 1 ≤ 2 sin( 2 x + ) ≤ 2 -----------------10 分 2 6 6
---------------------12 分

, ]得 6 3

2x +

π

π 5π ∈ [? , ] 6 6 6

f ( x) max = 2 + 1 = 3 , f ( x) min = ?1 + 1 = 0

16.(满分 12 分)解:结果有以下 6 种: (1,2)(1,3)(1,4) , , (2,3),(2,4), (3,4) -----------------------------------------------------4 分 。 (1) 、取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下 6 种 (1,2)(2,3)(3,4)----------------------------------------6 分 , , 故所求概率 p=

3 1 = 6 2 1 ---------------------------8 分 2

答:取出的两个球上标号为相邻整数的概率是

-4-

(2) 、取出的两个球上标号之和能被 3 整除的结果为 (1,2)(2,4)共两种-----------------------------------------------10 分 ,

故所求概率 p=

2 1 = 。 6 3 1 -----------------------12 分 3

答:取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率取

17.(满分 14 分) 证明: (1)取 PD 的中点 G,连接 FG,GA, 由 G、F 分别是 PD、PC 的中点,知 GF 是△PDC 的中位线, GF//DC,GF=
P F

1 DC,---------------2 分 2 1 E 是 AB 中点,AE= AB, 2
A

D

C

矩形 ABCD 中,AB//DC,AB=DC, ∴GF//AE,GF=AE ??---------------4 分 ∴四边形 AEFG 是平行四边形,EF//AG,---------------5 分 EF 在平面 PDA 外,AG 在平面 PDA 内, ∴EF//平面 PDA. ---------------7 分

E

B

(2)由图易知 AB⊥平面 PAD,四棱锥 P-ABCD 的 外接球即以 DP,DA,DC 为棱的长方体的外接 球。∴R=

12 + 12 + 2 2 6 = ,∴S=4 πR 2 =6 π 。---------------14 分 2 2
1 1 1 ? =? S n S n ?1 2

18.(满分 14 分) (1)2( S n ? S n ?1 )= S n ? S n ?1 ?

∴?

?1? 1 ? 是等差数列,且公差为- ---------------7 分 2 ? Sn ? 1 1 1 6 = + (n ? 1)(? ) ? S n = Sn 3 2 5 ? 3n
---------------9 分

(2)

当 n=1 时,a1=3------------------------------------11 分 当 n≥2 时,an=S n -Sn-1=

18 ----------------------14 分 (3n ? 5)(3n ? 8)

19. (满分 14 分) 解: (1)因为 f ′( x ) = e x ?1 (2 x + x 2 ) + 3ax 2 + 2bx

= xe x ?1 ( x + 2) + x (3ax + 2b) ,
-5-

又 x = ?2 和 x = 1 为 f ( x ) 的极值点,所以 f ′( ?2) = f ′(1) = 0 , 因此 ?

??6a + 2b = 0, ?3 + 3a + 2b = 0,

解方程组得 a = ? , b = ?1 .---------------5 分

1 3 1 (2)因为 a = ? , b = ?1 , 3

所以 f ′( x ) = x ( x + 2)(e x ?1 ? 1) , 令 f ′( x ) = 0 ,解得 x1 = ?2 , x2 = 0 , x3 = 1 . 因为当 x ∈ ( ?∞, 2) ∪(0, 时, f ′( x ) < 0 ; ? 1) 当 x ∈ ( ?2, ∪ (1, ∞ ) 时, f ′( x ) > 0 . 0) + 所以 f ( x ) 在 ( ?2, 和 (1, ∞ ) 上是单调递增的; 0) + 在 ( ?∞, 2) 和 (0, 上是单调递减的.---------------10 分 ? 1) (3)由(Ⅰ)可知 f ( x ) = x 2 e x ?1 ?

1 3 x ? x2 , 3

故 f ( x ) ? g ( x ) = x 2 e x ?1 ? x 3 = x 2 (e x ?1 ? x ) , 令 h( x ) = e x ?1 ? x , 则 h′( x ) = e x ?1 ? 1 . 令 h′( x ) = 0 ,得 x = 1 ,

1] 因为 x ∈ ( ?∞, 时, h′( x ) ≤ 0 , 1] 所以 h( x) 在 x ∈ ( ?∞, 上单调递减. 1] 故 x ∈ ( ?∞, 时, h( x ) ≥ h(1) = 0 ; , 因为 x ∈ [1 + ∞ ) 时, h′( x ) ≥ 0 , , 所以 h( x) 在 x ∈ [1 + ∞ ) 上单调递增. , 故 x ∈ [1 + ∞ ) 时, h( x ) ≥ h(1) = 0 .
所以对任意 x ∈ ( ?∞, ∞ ) ,恒有 h( x ) ≥ 0 ,又 x +
-62

≥0,

因此 f ( x) ? g ( x) ≥ 0 , 故对任意 x ∈ ( ?∞, ∞ ) ,恒有 f ( x) ≥ g ( x) .---------------14 分 + 20. (满分 14 分) 解: (Ⅰ)由于三角形 F1PF2 为直角三角形, 则 PF1
2

+ PF2

2

= F1 F2 ,
2 2

即 ( PF1 + PF2 ) ? 2 PF1 PF2 = F1 F2 ,
2

∵ 三角形 F1PF2 的面积为 36 , 1 ∴ PF1 PF2 = 36 ,即 PF1 PF2 = 72 , 2
2 ∴(2a) ? 2 × 72 = 2c),即 2a) ? 2c) = 2 × 72 , ( 2 ( 2 ( 2

∴ b = 36 .
2

--------3 分

∵ 椭圆 C 的离心率为
∴ a 2 = 100 .

c 2 16 a 2 ? b 2 16 4 ,则 2 = ,即 = , 5 a 25 a2 25

x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 100 36
(Ⅱ)不妨设点 P ( x, y ) 在第一象限,则在三角形 PF1 F2 中,

--------6 分

F1 F2 = PF1 + PF2 ? 2 PF1 PF2 cos2 β ,
2 2 2

F1 F2 = ( PF1 + PF2 ) 2 ? 2 PF1 PF2 (1+cos2 β ) ,
2 2

即 4c = 4a ? 2 PF1 PF2 (1 + cos 2β ) ,
2 2

∴ PF1 PF2 =

2b 2 2b 2 b2 = = . 1 + cos 2β 2 cos 2 β cos 2 β

∴ S ?F1F2 P =

1 b2 sin 2β b 2 sin β PF1 PF2 sin 2β = = = b 2 tan β . 2 2 cos 2 β cos β
1 × 2c × y = cy , 2 cy . b2
--------9 分

∵ S ?F1F2 P =

∴ b 2 tan β = cy ,即 tan β = 作 PC ⊥ x 轴,垂足为 C .

-7-

∵ tan ∠APC =

AC a + x CB a ? x = , tan ∠CPB = = , PC y PC y

a+x a?x + 2ay y y ∴ tan 2α = tan(∠APC + ∠CPB ) = = 2 . 2 2 a ?x x + y 2 ? a2 1? y2 x2 y2 ∵ 2 + 2 = 1, a b
∴x =a ?
2 2

a2 y 2 ---------------------------------------14 分 b2

-8-


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