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高二数学必修5全册导学案经典



2012-8-23





必修五目录 1.1 正弦定理和余弦定理 1.2 应用举例 第一章 解三角形 1.3 实习作业 解三角形实际应用举例习题 2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 第二章 数列 2.3 等差数列的前 n 项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列的前 n 项和 3.1 不等关系与不等

式 3.2 一元二次不等式及其解法 3.3 二元一次不等式(组)与简单的 第三章 不等式 线性 3.4 基本不等式: ab ?
a?b 2

不等式练习题

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第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理

1.在 △ ABC 中,已知 b ? 3 , c ? 3 3 , ?B ? 30 ,解此三角形。 2.在 △ ABC 中,已知∠A= 45 ?B ? 30 ,C=10,解此三角形。 3.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 A,B 为锐 角, sin A =
5 , sin B = 5 10 10

(1) 求 A+B 的值: (2) 若 a-b=
2 -1,求 a,b,c 得值

1. 在 △ ABC 中,已知 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求证:△ ABC 为直角三角形 2. 已知 △ ABC 中, ?A ? 60 , ?B ? 45 ,且三角形一边的长为 m ,解 此三角 1. 正弦定理反映了三角形中各边和它的对角正弦值的比例关系, 表示形式为 径。 2. 正弦定理的应用
a b c ? ? ? 2R , 其中 R 是三角形外接圆的半 sin A sin B sin C

(1)如果已知三角形的任意两角与一边,由三角形的内角和定理可 以计算出另外一个角,并由三角形的正弦定理计算书另外两边。 (2)如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角,应用正弦定理 可以计算出另外一边对角的正弦值,进而可以确定这个角(此时特别 注意:一定要先判断这个三角形是锐角还是钝角)和三角形其它的边 和角。

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1.在 △ ABC 中,若 sin B sin C ? cos 2 , 则 △ ABC 是( A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D. 等腰直角三角形

A 2



c ? 150 , 3. 在 △ ABC 中, 已知 B ? 30 , 那么这个三角形是 ( ) b ? 50 3 ,

A.等边三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 )

4. 在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( A. 1: 2 : 3 B. 3 : 2 :1 C. 1: 3 : 2

D. 2 : 3 :1 ) D. 2

6. △ABC 若 c ? 2,b ? 6,B ? 120 ,则 a 等于 ( A. 6 B.2 C. 3 )

7. .在△ABC 中,若 A ? 2 B ,则 a 等于 ( A. 2b sin A B. 2b cos A C. 2b sin B

D. 2b cos B .

8.若 ?A ? 120 ,AB ? 5,BC ? 7 ,则 △ ABC 的面积 S ?

9. 在 △ ABC 中, 若此三角形有一解, 则 a,b,A 满足的条件为________ 1.1.2 余弦定理 1.在三角形 ABC 中,已知下列条件,解三角形。 (1) a=6,b=7,c=8 (2) a=7,b=9,c=13 2.在三角形 ABC 中,已知下列条件,解三角形。 (1)b=10,c=15,A= 60 (2)a=5.b=7.C= 75 1. 利用余弦定理说明 △ ABC 的内角 C 为锐角、直角、钝角的等价条件

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分别为 a2 ? b2 ? c2 、 a2 ? b2 ? c2 、 a2 ? b2 ? c2 . 2.在三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 b =ac 且 c=2a, 求 cos B 【要点归纳 反思总结】
2

1. 已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时,使用余 弦定理。 2. A 为锐角 ? cos A =

b ?c ?a
2bc
2

2

2

2
2 2 2 >0 ? b ? c ? a >0

A 为钝角 ? cos A =

b ?c ?a
2bc

2

2
2 2 2 <0 ? b ? c ? a <0

3. 在解三角形时,往往是正弦定理和余弦定理交替使用。 4. 余弦定理求角时,角的值是唯一的,这样可以避免产生增解。 5. 已知三角形的两边两边的夹角,在解三角形时,要注意用余弦定 理求第三边,进而解出三角形。
sinA:sinB:sinC =1∶ 3 ∶2, 2.已知△ABC 中, 则 A∶B∶C 等于 (

)

A.1∶2∶3 C.1∶3∶2

B.2∶3∶1 D.3∶1∶2 )

4.若三条线段的长为 5、6、7,则用这三条线段( A、能组成直角三角形 C、能组成钝角三角形

B、能组成锐角三角形 D、不能组成三角形 )

5.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A.12 B.
21 2

C.28

D. 6 3 )

6.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则∠A=(

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A. 900

B. 600

C. 1200

D. 1500
13 ,则最大角的余弦是( 14 1 D. ? 8

7.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 8, cos C ? A. ?
1 5



B. ?

1 6

C. ?

1 7

8. 三角形的两边分别为 5 和 3, 它们夹角的余弦是方程 5x 2 ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形的另一边长为( ) A. 52 B. 2 13 C. 16 D. 9. 在△ABC 中, 若 AB= 5 , AC=5, 且 cosC=
9 , 则 BC=________. 10

10.在△ABC 中, ?b ? c? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内 角的度数是 11.在△ABC 中,∠C=60°,则
a b ? =________. b?c a?c

12.在 △ ABC 中, A 最大, C 最小,且 A ? 2C , a ? c ? 2b ,求此三角形 三边之比.
3,x 为三边组成一个锐角三角形,求 x 的范围 13. 若 2,

1.2.1

应用举例

1. 测量中的有关概念、名词和术语 (1)基线: (2)仰角与俯角: (3)方位角与方向角: (4)视角: (5)坡角与坡度: 2.《1》三角形的几个面积公式 (1)S=
1 ah(h 表示 a 边上的高) 2 1 1 1 (2)S= ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2

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(3)S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径) (4)S=
1 p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (其中 p ? ( a ? b ? c ) ) 2

1 2

【合作探究

问题解决】

1.如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之 间的距离,测量者在 A 的同侧,在所在的河岸边 选定一点 C, 测出 AC 的距离是 55m,? BAC= 51 ? , ? ACB= 75 ? . 求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m). 练习:若在河岸选取相距 40 米的 C、D 两点, 测得 ? BCA=60 ? , ? ACD=30 ? , ? CDB=45 ? , ? BDA =60 ? . 2. 两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ? ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ? ,则 A、B 之间的距 离为多少? 【要点归纳 反思总结】

解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中 在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学 模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问 题的解 2.某人在山顶观察到地面上有相距 2500 米的 A、B 两个目标,测得目 标 A 在南偏西 57°,俯角是 60°,测得目标 B 在南偏东 78°,俯角 是 45°,试求山高. 南 25°西 300 米的地方,在 A 侧山顶的仰角是 30°,求山高. 必修五第一章测试题 一 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 已 知 △ ABC 中 , A ? 30 , C ? 105 , b ? 8 , 则 等 于

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( A
4

) B
4 2

C

4 3

D

4 5

2. △ ABC 中 , B ? 45 , C ? 60 , c ? 1 , 则 最 短 边 的 边 长 等 于 ( A
6 3

) B
6 2

C

1 2

D

3 2

3. 长 为 5 、 7 、 8 的 三 角 形 的 最 大 角 与 最 小 角 之 和 为 ( ) B 120°
b

A 90° 4. △ ABC ( )

C
? c B o s c

135°
C o s ,c 则 △ ABC

D

150° 一 定 是

a ? 中 , c oA s

A 直角三角形 5. △ ABC ( )

B 钝角三角形 中 , B ? 60

C 等腰三角形

D 等边三角形 一 定 是

2 , b ? ac , 则 △ ABC

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

6. △ ABC 中 , ∠ A=60 ° , a= 6 , b=4, 那 么 满 足 条 件 的 △ ABC ( ) B 有两个解 C 无解
ABC

A 有 一个解

D 不能确定
? 16 3 , 则 ? A 等 于

7. △ ABC 中 , b ? 8 , c ? 8 3 , S ( A 30 8. △ ABC ) B 60

C 30 或 150

D 60 或120
Cs i n 等 于

a? b ? c n? sB ? i n 中 , 若 A ? 60 , a ? 3 , 则 s i A

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( A 2

) B
1 2

C

3

D

3 2

A : B ? 1: 2 , C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3 : 2 两部分, 9. △ABC 中,

则 cos A ? ( A
1 3

) B
1 2

C

3 4

D 0

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形 的形状为 A 定 11 在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、 60°,则塔高为( A.
400 米 3



) C 钝角三角形 D 由增加的长度决

锐角三角形 B 直角三角形


400 3 米 3

C. 200 3 米



12 海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°视 角, 从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角, 则 B、 C 间的距离是 ( A.10 海里 B.5 海里 C. 5 6 海里 共 90 分) D.5 3 海里 )

第Ⅱ卷(非选择题

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在 △ ABC 中 , 如 果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 , 那 么 cos C 等 于 。 。

14.在△ABC 中,已知 b ? 50 3 , c ? 150 , B ? 30 ,则边长 a ?

15. 在 钝 角 △ ABC 中 , 已 知 a ? 1 , b ? 2 , 则 最 大 边 c 的 取 值 范 围

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16.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60 ,另两边之比为 8: 5,则这个三角形的面积为 。

三、解答题:本大题共 4 小题,70 分,解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤。
cos A b 4 ? ? 17(本题 10 分)在△ABC 中,已知边 c=10, 又知 cos B a 3 ,求边

a、b 的长。

2 18(本题 12 分)在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判

断△ABC 的形状。

19(本题 12 分)在锐角三角形中,边 a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的 两根,角 A、B 满足:2sin(A+B)- 3 =0,求角 C 的度数,边 c 的长 度及△ABC 的面积。

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20(本题 12 分)在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求 击球手以与连结本垒及游击手的直线成 15°的方向把球击出, 根据 经验及测速仪的显示,通常情况下球速为游击手最大跑速的 4 倍, 问按这样的布置,游击手能不能接着球?(如图所示)

第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法
班级: 组名: 姓名: 设计人:乔晓丽 审核人:魏帅举 领导审批:

【学习目标】 1、 了解数列的概念和几种简单的表示方法 (列表、 图象、 通项公式) ; 了解数列是一种特殊的函数; 2、通过三角形数与正方形数引入数列的概念;通过类比函数的思想 了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);

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3、体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来研究 有关数列的问题,可以进一步让学生体会数学知识间的联系,培养用 已知去研究未知的能力。 【研讨互动 问题生成】

1.数列的概念 2.数列的记法 3.数列的通项公式 4.数列的本质 5.数列的分类 6.递推公式 【合作探究 问题解决】

1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列个数: (1) 1,3,5,7
2 2 ? 1 32 ? 1 4 2 ? 1 5 2 ? 1 , , , 2 3 4 5 2.根据下面数列 {an } 的通项公式,写出前 5 项. n (1) a n ? n ?1 (2) an ? (?1) n ? n

(2)

(3) an ? 2 【点睛师例 巩固提高】 例 1 在数列 {an } 中, a1 ? 3, a10 ? 21,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列 {an } 的通项公式,并求 a2008 ; (2)若 bn ? a2n ,求数列 {bn } 的通项公式.

例 2. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? ?2n 2 ? 9n ? 3 . (1)试问 2 是否是数列 {an } 中的项?

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(2)求数列 {an } 的最大项; (3)若 an ? 0 ,求 n .

例 3 已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? 1 ? 前 5 项.

1 (n ? 1) ,写出这个数列的 a n ?1

例 4 已知数列 {an } 的递推公式是 an?2 ? 3an?1 ? 2an ,且 a1 ? 1, a2 ? 3 .求: (1) a5 ; (2) 127 是这个数列中的第几项?

例 5 若记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,试证明 a n ? ?

?S n ? S n ?1 ? S1

n ?1 n ?1

.

变式题: 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 2n 2 ? n ,求 an .

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【要点归纳

反思总结】

(1)数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型; (2)了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列;能 发现数列规律找出可能的通项公式。 (3)了解数列是一种特殊的函数。 【多元评价】 自我评价: 学科长评价: 【课后训练】 1.下列说法正确的是( ) A. 数列 1,3,5,7 可以表示为 {1,3,5,7} B. 数列1,0,?1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列 C. 数列 {
n ?1 1 } 的第 k 项为 1 ? n k

小组成员评价: 学术助理评价:

小组长评价:

D. 数列 0, 2, 4 , 6, 8??可记为 {2n} 2.设数列 0.3,0.33,0.333,0.3333??的通项公式是( ) A.
1 (10 n ? 1) 9

B. (1 ?

1 3

1 ) 10 n

C. (10 n ? 1)
1 an?2

2 9

D.

3 (10 n ? 1) 10

3.已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 3, an ? an?1 ? A.
55 12

(n ? 3) ,则 a5 等于(

)

B.

13 3

C. 4
1 2

D. 5

4.已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 且 a n ? ? a n?1 (n ? 2) ,则 a4 等于( ) A. ? 1 B.
1 2 1 2

C.

17 24

D. ?

1 8

5.已知数列 {an } 满足 a n ?1 ? a n ? ,则数列 {an } 是( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 6.已知数列 {an } 满足 an?2 ? an?1 ? an ,若 a1 ? 1, a5 ? 8 ,则 a3 等于( ) A. ? 1 B. 2 C. 1 D. 3 2 7.数列 {an } 满足 an ? log2 (n ? 3) ? 2 ,则 log2 3 是这个数列的第____项. 8.数列 {an } 的前 n 项的积为 n 2 ,则这个数列的第 3 项与第 5 项的和是

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________. 9.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2(an ? 1) ,则 a2 ? _________. 10.数列 {an } 满足 a1 ? 2, a2 ? 3 , an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? 1) ,写出数列的前 6 项. 11.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? cn ? dn?1 ,且 a 2 ? , a 4 ? ,求 an 和
a10 .
3 2 3 2

14.(1)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? 3n ,求 an . (2)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 3n ? 2 ,求 an .

2.2 等差数列
班级: 组名: 姓名: 设计人:乔晓丽 审核人:魏帅举 领导审批:

【学习目标】 1. 通过实例,理解等差数列的概念; 2. 探索并掌握等差数列的通项公式; 3. 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解 决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。 【研讨互动 问题生成】

1.等差数列的概念 2.等差数列的通项公式

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【合作探究

问题解决】

⑴在直角坐标系中, 画出通项公式为 an ? 3n ? 5 的数列的图象。 这个图 象有什么特点? ⑵在同一个直角坐标系中, 画出函数 y=3x-5 的图象, 你发现了什么? 据此说一说等差数列 an ? pn ? q 与一次函数 y=px+q 的图象之间有什么 关系。 【点睛师例 巩固提高】

例 1.⑴求等差数列 8,5,2,?的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,?的项?如果是,是第 几项?

例 2.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初 的 4km(不含 4 千米)计费 10 元。如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为 0,需要支付多少车费?

例 3. 已知数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q, 其中 p、q 为常数,且 p ≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?

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【要点归纳

反思总结】

①等差数列定义:即 an ? an?1 ? d (n≥2) ②等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) 推导出公式: an ? am ? (n ? m)d

【多元评价】 自我评价: 学科长评价: 【课后训练】 1.在等差数列{a n }中,已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13,则 a 4 +a 5 +a 6 等于 ( A.40 ) B.42 C.43 D.45 小组成员评价: 学术助理评价: 小组长评价:

2.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2a3 ? 80 ,则
a11 ? a12 ? a13 ? (

)

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A.120

B.105

C. 90

D. 75

3.已知等差数列 2,5,8,??,该数列的第 3k(k∈N*)项组成的新 数 列 { bn } 的 前 4 项 是 为 。 。 { bn } 的 通 项 公 式

4.数列{an}是首项为 2,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为-2, 公差为 4 的等差数列。若 an=bn,则 n 的值为( (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 ) )

5.关于等差数列,有下列四个命题中是真命题的个数为(

(1)若有两项是有理数,则其余各项都是有理数(2)若有两项是无 理数,则其余各项都是无理数 (3)若数列{an}是等差数列,则数列 {kan}也是等差数列(4)若数列{an}是等差数列,则数列{a2n}也是等 差数列 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ) (D)0

6.在等差数列{an}中,am=n, an=m,则 am+n 的值为( (A)m+n (B) (m ? n)
1 2

(C) (m ? n)

1 2

7.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则 a3+a6+a9 的值为 ( (A)30 ) (B)27 (C)24 (D)21

8.一个直角三角形的三条边成等差数列,则它的最短边与最长边的 比为 ( (A)4∶5 ) (B)5∶13 (C)3∶5 (D)12∶13 。

10.在等差数列{an}中,已知 a2+a7+a8+a9+a14=70,则 a8=

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11.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为( A.99 B.49 C.102

) D. 101

12.已知等差数列 ?an ?的前三项为 a ? 1, a ? 1,2a ? 3 , 则此数列的通项公式为 ________ . 13.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,那么它的通项公式为 an=_________

2.3 等差数列的前 n 项和
班级: 组名: 姓名: 设计人:乔晓丽 审核人:魏帅举 领导审批:

【学习目标】 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问 题 【研讨互动 问题生成】

1.等差数列的前 n 项和公式 1 2.等差数列的前 n 项和公式 2

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【合作探究

问题解决】

1.一般地,如果一个数列 ?an ?, 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、 q、r 为常数,且 p ? 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是, 它的首项与公差分别是多少? 2.对等差数列的前 n 项和公式2: S n ? na1 ?
Sn ? n(n ? 1)d 可化成式子: 2

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

【点睛师例

巩固提高】

例1. 一个等差数列前 4 项的和是 24, 前 5 项的和与前 2 项的和的差 是 27,求这个等差数列的通项公式。

例 2. 差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和
S n 的最小值。

【要点归纳

反思总结】

1.前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,一定

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是等差数列,该数列的首项是 a1 ? p ? q ? r ; 公差是 d=2p 通项公式是 an ? ?
? S1 ? a1 ? p ? q ? r , 当n ? 1 时 ?Sn ? Sn?1 ? 2 pn ? ( p ? q), 当n ? 2 时

2.等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1)当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 an?1 ≤0,求得n
王新敞
奎屯 新疆

的值。 当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 an?1 ≥0,求得n的
王新敞
奎屯 新疆

值。 (2)由 S n ? n 2 ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时n的值 【多元评价】 自我评价: 学科长评价: 【课后训练】 1.在等差数列{an}中,Sm=Sn,则 Sm+n 的值为( (A)0 (B)Sm+Sn (C)2(Sm+Sn) ) (D) ( S m ? S n ) 。
1 2
d 2 d 2

小组成员评价: 学术助理评价:

小组长评价:

2.在等差数列{an}中,S4=6,S8=20,则 S12=

3.在项数为 n 的等差数列{an}中,前三项之和为 12,最后三项之和 为 132,前 n 项之和为 240,则 n= 。
S n 2n ? 1 ? , Tn 2n ? 1

4. 已知等差数列 {an} 和 {bn} 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn, 且 求
a7 = b7



5.已知数列{an}为等差数列,前 30 项的和为 50,前 50 项的和为 30, 求前 80 项的和。

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6. a, b, c 都是实数, 那么 “ 2b ? a ? c ” 是 “ a, b, c 成等差数列” 的 ( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 x x 7. 若 lg 2, lg?2 ? 1?, lg?2 ? 3? 成等差数列,则 x 的值等于( ) A. 9 B. log2 5 C. 32 D. 0 或 32 8. 三个数成等差数列,平方和为 450,两两之积的和为 423,则其中 间数为( ) A. 150 B. 150 C. ? 150 D. ? 12 9. 已知等差数列的首项为
1 ,第 10 项是第一个比 1 大的项,则该 25

等差数列公差 d 的取值范围是( A. d ?



8 3 8 3 8 3 ?d ? ?d ? B. d ? C. D. 75 25 75 25 75 25 10. 数列 ?an ? 是公差为 d ?d ? 0且d ? 1? 的等差数列,它的前 20 项的和

S 20 ? 10m, 则下列等式中正确的是(



A. m ? 2a5 ? a10 B. m ? a1 ? 2a10 C. m ? a5 ? a15 D. m ? 2a10 ? d 11. 在等差数列 ?an ?中, a2 ? a5 ? 19 , S5 ? 40 ,则 a10 为( ) A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 12. 等差数列共有 2n ? 1 项,所有奇数项之和为 132,所有偶数项之和 为 120,则 n ? ( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 13. 等差数列{ an }中,公差 d ? 0 ,前 n 项和 S n ,当 n ? 2 时一定有( ) A S n ? na1 B S n ? nan C S n ? nan D S n ? na1 14. 在 公 差 为 非 零 实 数 的 等 差 数 列 ?an ? 中 , 若 a1 , a 2 是 方 程 x 2 ? a3 x ? a4 ? 0 的两根,则通项公式 an = 15. 一个五边形的五个内角成等差数列,且最小角为 460,则最大角 为 16. 在等差数列 ?an ?中, an ? ? , a2n ? ? ,则 a3n = 17. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?14, d ? 3 ,则 n= 时, S n 有最小

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值,最小值是 18. 若三个数成等差数列,其和为 15,其平方和为 83,求此三个数

19. 等差数列{ an }中, a1 ? ?60, a17 ? ?12, 求其前 n 项绝对值之和

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2.4 等比数列
班级: 组名: 姓名: 设计人:乔晓丽 审核人:魏帅举 领导审批:

【学习目标】 1.理解等比数列的概念, 认识等比数列是反映自然规律的重要数列模 型之一 2.探索并掌握等比数列的通项公式。 【研讨互动 问题生成】

1. 等比数列定义 2. 等比数列通项公式 3. 等比中项 【合作探究 问题解决】

1.公比 q 是任意一个常数,不仅可以是正数也可以是负数。 2.当首项等于 0 时,数列都是 0。当公比为 0 时,数列也都是 0。所 以首项和公比都不可以是 0。 3.当公比 q=1 时,数列是怎么样的,当公比 q 大于 1,公比 q 小于 1 时数列是怎么样的? 4.等比数列和指数函数的关系 5.思考: a52 ? a3a7 是否成立呢? a52 ? a1a9 成立吗? an 2 ? an?1 an?1 (n ? 1) 成立吗? 6.思考:如果 an , bn 是两个等比数列,那么 an bn , 是等比数列吗? 如果是为什么?
an bn

是等比数列吗?
an ? a p aq 成立吗?

7.思考:在等比数列里,如果 m ? n ? p ? q,am 如果是为什么? 【点睛师例 巩固提高】 例:已知等比数列 {an } , a2 ? 2 , a5 ? 128

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(1)求通项 an ; (2)若 bn ? log 2 an ,数列 {bn } 的前 n 项的和为 Sn ,且 Sn ? 360 ,求 n 的值

【要点归纳

反思总结】

1.等比数列的通项公式 2.等比数列的性质 【多元评价】 自我评价: 学科长评价: 【课后训练】 1. 若等比数列的首项为 4,公比为 2,则其第 3 项和第 5 项的等比中 项是______. 2. 在等比数列{an}中, 小组成员评价: 学术助理评价: 小组长评价:

(2)若 S3=7a3,则 q=______; (3)若 a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则 S4=____. 3. 在等比数列{an}中,

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(1)若 a7·a12=5,则 a8·a9·a10·a11=____; (2)若 a1+a2=324,a3+a4=36,则 a5+a6=______; (3)若 q 为公比,ak=m,则 ak+p=______; (4)若 an>0,q=2,且 a1·a2·a3?a30=230,则 a3·a6·a9?a30=_____. 4. 一个数列的前 n 项和 Sn=8n-3,则它的通项公式 an=____. 5. 已知等比数列 {an } 中, a2 ? 10 , a3 ? 20 ,那么它的前 5 项和

S 5 =__________。

6. 等比数列 {an } 的通项公式是 an ? 24?n ,则 S5 =__________。 7. 在等比数列 {an } 中, a 2 ?a8 ? 16 ,则 a5 =__________。 8..数列 m,m,m,?一定[ ] B.是等比数列,但不

A.是等差数列,但不是等比数列 是等差数列 C.是等差数列,但不一定是等比数列 又是等比数列

D.既是等差数列,

9.已知 a , b , c , d 是公比为 2 的等比数列,则 A.1 B.
1 2

2a ? b 等于( 2c ? d

) D.
1 8

C.

1 4

10.已知 {an } 是等比数列,且 an ? 0 , a2 ? a4 ? 2a3 ? a5 ? a4 ? a6 ? 25 ,那么
a3 ? a5 的值是(



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A.5

B.6
1 9

C.7

D.25

11.在等比数列 {an } 中, 已知 a1 ? , 则该数列前 5 项的积为 ( ) a4 ? 3 , A. ? 1 B.3 C.1 D. ? 3

12. 一个三角形的三内角既成等差数列,又成等比数列,则三内角的 公差等于( A. 0? ) B.15 ?
1 2

C. 30 ?

D. 60 ?
1 时,该数列 16

13.各项均为正的等比数列 {an } 中, q ? ,那么当 a 6 ? 首项 a1 的值为( ) A.1 B.-1 C.2

D.-2

14. 若 6, x , y , z ,54 这五个数成等比数列,则实数 x 的值是( ) A.? 6 3 B.6 3 C.3 6 D.? 3 6

15. 在数列{an},已知 a1=-1,an+an+1+4n+2=0。 (1)若 bn=an+2n,求证:{bn}为等比数列,并写出{bn}的通项公式; (2)求{an}的通项公式’

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2.5 等比数列的前 n 项和
班级: 组名: 姓名: 设计人:乔晓丽 审核人:魏帅举 领导审批:

【学习目标】 1.掌握等比数列前 n 项和公式及其获取思路; 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问 题 【研讨互动 问题生成】

1.等比数列的前 n 项和公式 1 2.等比数列的前 n 项和公式 2 【合作探究 问题解决】
a1 (1 ? q n ) ① 1? q

当 q ? 1 时, S n ?

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, an 时,用公式② 【点睛师例 巩固提高】 例1. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

例 2.求数列 ,

2 4 6 2n , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2 2

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例 3.求数列的前 n 项和:1 ? 1, ? 4,

1 a

1 1 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,? 2 a a

例 4.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

【要点归纳

反思总结】

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等比数列求和的公式 【多元评价】 自我评价: 学科长评价: 【课后训练】 1.在等比数列 ?an ?中, a7 ? a11 ? 6, a4 ? a14 ? 5 ,则
a 20 ?( a10

小组成员评价: 学术助理评价:

小组长评价:



2.等比数列 {an } 中,已知 a1a2a12 ? 64 ,则 a4a6 的值为 3.实数 a1, a2 , a3 , a4 , a5 依次成等比数列,其中 a1=2,a5=8,则 a3 的值为 4.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若
S6 =3 ,则 S3

S9 = S6

5.等比数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 2S 2 ,则公比为 6.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为 7.已知等比数列 { an } 的首项为 8, S n 是其前 n 项的和,某同学经计算 得 S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该 数为 8. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? aqn ( a ? 0 , q ? 1 , q 为非零常数), 则数 列 ?an ? 为( A. 等 ) 差 数 列 B. 等 比 数 列

C.既不等比也不等差

D.既是等差又是等比

9. 若 an>0,q=2,且 a1·a2·a3?a30=230,则 a3·a6·a9?a30=_____. 10.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则
a1 ? a 2 ? ______. b2

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11.等比数列{ an }的公比 q ? 0 , a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an 则数列{ an }的 S4 = 12.等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = a ? 2 n ? a ? 2 ,则 an =_______. 13.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2= a n ?1 ? a n (n ? N ? ) (1)求证:{an+1-an}是等比数列。(2)求数列{an}的通项公式。
2 3 1 3

14.在等比数列 ?an ?中, a1 ? 1, 公比 q ? 0 , 设 bn ? log2 an ,
b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0.

(1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 及数列 ?an ? 的通项公式; (3)试比较 an 与 S n 的大小.

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第三章 不等式 3.1 不等式与不等关系
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性 质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的 实际背景分析问题、解决问题的方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想 和逻辑推理能力. 教学重点:掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简 单的不等式; 教学难点:利用不等式的性质证明简单的不等式。 教学用具:投影仪 教学方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际 背景分析问题、解决问题的方法; 二.研讨互动,问题生成 在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方 向不改变; 即若 a ? b ? a ? c ? b ? c

批 注

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(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的 方向不改变; 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的 方向改变。 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 三.合作探究,问题解决 1、不等式的基本性质证明: (1) a ? b, b ? c ? a ? c (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? an ? bn ; n a ? n b 。

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例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证 :

c c ? 。 a b

练习
1、在以下各题的横线处适当的不等号: (1)( 3 + 2 )2 (2) ( 3 - 2 )2 (3)
1 5?2

6+2 6 ; ( 6 -1)2;
1 ; 6? 5

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

log 1 b
2

例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) (a-4)的大小。

练习 2
1、 比较大小:

(1) (x+5) (x+7)与(x+6)2 (2) x2 ? 5x ? 6与2x2 ? 5x ? 9

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4.课时小结
本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一 些简单的不等式,还研究了如何比较两个实数(代数式) 的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平 方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论

5.评价设计
课本 P75 习题 3.1[A 组]第 2、3 题;[B 组]第 1 题

自我评价

同伴评价

小组长评价

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课题:3.2 一元二次不等式及其解法 (1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1. 知识与技能: 理解一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系, 掌握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类 讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法: 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和 通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元 二次不等式的解法; 教学重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式 的解法。 教学难点: 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 教学方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过 函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次 不等式的解法; 二.研讨互动,问题生成 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 互联网的收费问题一元二次不等式模型: x 2 ? 5 x ? 0

1)一元二次不等式的定义
象 x 2 ? 5 x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不 等式,称为一元二次不等式

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2)探究一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集
怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零 (2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象,如图,观察函数图象,可知: 当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x 2 ? 5 x ? 0 ; 当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x 2 ? 5 x ? 0 ; 所以,不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集是 ?x | 0 ? x ? 5? ,从而解决了本节开始时提 出的问题。 点。

3)探究一般的一元二次不等式的解法
任意的一元二次不等式,总可以化为以下两种形式:
ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或ax2 ? bx ? c ? 0,(a ? 0)

一般地,怎样确定一元二次不等式 ax2 ? bx ? c >0 与 ax2 ? bx ? c <0 的解集 呢? 组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式 的解集,关键要考虑以下两点: (1)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程

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ax2 ? bx ? c =0 的根的情况

(2)抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口方向,也就是 a 的符号

设 相 应 的 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的 两 根 为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,
? ? b 2 ? 4ac ,则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第

86 页的表格)
??0 ??0 ??0

二次函数
y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

(a ? 0) 的图 象

一 元 二 次 方 有两相异实根 程
x1 , x2 ( x1 ? x2 )

有两相等实 根 无实根

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?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

? ?

三.合作探究,问题解决 例 1 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.

例 2 解不等式 ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 .

课时小结
解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :A= ax2 ? bx ? c >0(或<0)(a>0) ② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况: ⅰ. ? >0 时,求根 x1 < x2 , ?
?若A ? 0,则x ? x1或 ? x2; ?若A ? 0,则x1 ? x ? x2 .

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?若A ? 0,则x ? x0的一切实数; ? ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x2 = x0 , ?若A ? 0,则x ? ?; ?若A ? 0,则x ? x . 0 ?

ⅲ. ? <0 时,方程无解, ? ③ 写出解集.

?若A ? 0,则x ? R; ?若A ? 0,则x ??.

5.评价设计
课本第 80 页习题 3.2[A]组第 1 题 自我评价 : 同伴评价 小组长评价

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课题:3.2 一元二次不等式及其解法(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二 次函数的关系;进一步熟练解一元二次不等式的解法; 2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力, 培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 教学重点:熟练掌握一元二次不等式的解法 教学难点:理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函 数的关系 教学方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养 抽象概括能力和逻辑思维能力; 二.研讨互动,问题生成 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2.一元二次不等式的解法步骤——课本第 77 页的表格 三.合作探究,问题解决 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车 的速度 x km/h 有如下的关系: s ?
1 1 2 x? x 20 180

在一次交通事故中, 测得这种车的刹车距离大于 39.5m, 那 么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到 0.01km/h)

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例 2、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, 这条流水线生产的摩托车数量 x (辆) 与创造的价值 y (元) 之间有如下的关系:
y ? ?2x2 ? 220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元 以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?

改:设 x2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围. 改: 若方程 x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 , 且 x1 ? 3 ,x2 ? 1 , 求 a 的范围.
1 1、已知二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 1 , 3 或x ? 2}

求关于 x 的不等式 cx2 ? bx ? a ? 0 的解集.

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2、若关于 m 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ?1 ? 0 的解集为空集, 求 m 的取值范围.

改 1:解集非空 改 2:解集为一切实数

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课题:3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二 元一次不等式组表示平面区域; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式 组的过程,提高数学建模的能力; 教学重点:用二元一次不等式(组)表示平面区域; 教学难点:用二元一次不等式(组)表示平面区域; 教学方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的 过程,提高数学建模的能力; 二.研讨互动,问题生成 1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型 课本第 82 页的“银行信贷资金分配问题”

2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式: (2)二元一次不等式组 (3)二元一次不等式(组)的解集: (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的 点之间的关系:

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例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域。

变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ? 12 所表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ? 1 所表示的平面区域。

例 2 用平面区域表示.不等式组 ?

? y ? ?3x ? 12 的解集。 ?x ? 2 y

? 0 表示的平面区域。 变式 1、画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)(x ? y ? 4)

变式 2、由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成 的三角形区域(包括边界)用不等式可表示 为 。

自我评价

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小组长评价

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课题: 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组 所表示的平面区域; 能根据实际问题中的已知条件, 找出约 束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程, 体会集合、化归、数形结合的数学思想; 教学重点: 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式 (组)所表示的平面区域画出来。 教学难点:把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表 示平面区域。 教学方法: 经历把实际问题抽象为数学问题的过程, 体会集 合、化归、数形结合的数学思想 二.研讨互动,问题生成 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示 直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示 区域不包括边界直线) 判断方法:

三.合作探究,问题解决

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1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.
?x ? y ? 5 ? 0 ? 2、画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区 ?x ? 3 ?
y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

域。 例 1 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市 场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位) : 班级学生 学段 人数 初中 高中 45 40 师数 2 3 /万元 26/班 54/班 万元 2/人 2/人 配备教 硬件建设 教师年薪/

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

例 2、画出下列不等式表示的区域 (1) ( x ? y)(x ? y ? 1) ? 0 ; (2) x ? y ? 2x 分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传 递性,由 x ? 2 x ,得 x ? 0 ,又用 ? y 代 y ,不等式仍成立,区 域关于 x 轴对称。

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?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 3、利用区域求不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的整数解 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?



练习
1. (1) y ? x ? 1 ; (2) . x ? y ; (3) .x? y

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?x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 0 2.画出不等式组 ? 表示的平面区域 ? ?y ? 3 ? ?x ? 5

4.课时小结
进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。

5.评价设计
1、课本第 93 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题

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课题:3.3.2 简单的线性规划(1)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示 平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标 函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线 性规划问题的图 简单的实际问题; 2. 过程与方法: 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问 题的过程,提高数学建模能力; 教学重点:用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点:准确求得线性规划问题的最优解 教学方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过 程,提高数学建模能力; 二.研讨互动,问题生成 1、二元一次不等式 Ax ? By ? C ? 0 在平面直角坐标系中表示什么 图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些 事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 三.合作探究,问题解决 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排 解法,并能应用它解决一些

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等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件 耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配 件, 按每天 8h 计算, 该厂所有可能的 日生产安排是什么? (1) 用不等式组表示问题中的限制条 件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件, 又已知条件可得二元一次不等式组:
?x ? 2 y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ? x?0 ? ? ? y?0

???????????????????????

?.(1) (2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能 的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大? (4)尝试解答:

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设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则

z=2x+3y.这样,上述问题就转化为:
当 x,y 满足不等式 (1) 并且为非负整数时, z 的最大值是多少? 把 z=2x+3y 变形为 y ? ? x ? ,这是斜率为 ? ,在 y 轴上的截 距为 的直线。 当 z 变化时, 可以得到 一族互相平行的直线,如图,由于这 些直线的斜率是确定的,因此只要给 定一个点, (例如(1,2) ) ,就能确定 一条直线( y ? ? x ? ) ,这说明,截 距 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线
2 z y ? ? x ? 与不等式组(1)的区域的交点满足不等式组( 1) ,而 3 3 z 且当截距 最大时,z 取得最大值。因此,问题可以转化为当直线 3 2 z y ? ? x ? 与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域 3 3 z 内找一个点 P,使直线经过点 P 时截距 最大。 3 z 3 2 3 8 3 z 3 2 3 z 3 2 3

(5)获得结果: 由上图可以看出, 当实现 y ? ? x ? 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M (4, 2) 时, 截距 的值最大, 最大值为
z 3 14 , 这时 2x+3y=14. 3 2 3 z 3

所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润 14 万元。 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约 束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性

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约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、 y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量

x、y 的解析式,叫线性目标函数.
③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问 题,统称为线性规划问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 3、 变换条件,加深理解 探究:课本第 100 页的探究活动 (1) 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产 一件乙产品获利 2 万元, 有应当如何安排生产才能获得最大利润? 在换几组数据试试。 (2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?

y

3.随堂练习
1.请同学们结合课本 P91 练习 1 来掌握图 解法解决简单的线性规划问题.

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( , ) 2 2 x 1 2 -2 -1 (2,-1) A C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

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(1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y

? y ? x, ? 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

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课题: 3.3.2 简单的线性规划(2)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它 解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划 问题的过程,提高数学建模能力; 教学重点:利用图解法求得线性规划问题的最优解 教学难点:把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束 条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 教学方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题 的过程,提高数学建模能力 二.研讨互动,问题生成 1、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域(虚线 表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解, 可行域, 最优解: 三.合作探究,问题解决 线性规划在实际中的应用: 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,

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一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用 它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安 排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该 项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: [范例讲解] 例5 营养学家指出,成人良好 的日常饮食应该至少 提 供 0.075kg 的碳水化合 物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪, 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合 物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.14kg 蛋白 质,0.07kg 脂肪,花费 21 元。为了满足营养专家 指出的日常饮食要求, 同时使花费最低, 需要同时 食用食物 A 和食物 B 多少 kg?

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例6 在上一节例 3 中, 若根据有关部门的规定, 初中每 人每年可收取学费 1 600 元, 高中每人每年可收取 学费 2 700 元。那么开 设初中班和高中班各多 少个,每年收取的学费 总额最高多?

结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和 方法: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条 件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其 求解的格式与步骤是不变的:

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(1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解

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课题: 3.3.2 简单的线性规划(3)
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它 解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划 问题的过程,提高数学建模能力; 教学重点:利用图解法求得线性规划问题的最优解; 教学难点:把实际问题转化成线性规划问题,并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束 条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 教学方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题 的过程,提高数学建模能力 二.研讨互动,问题生成 1、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域(虚线 表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解, 可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 三.合作探究,问题解决 1.线性规划在实际中的应用:

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例7 在上一节例 4 中, 若生产 1 车皮甲种肥料,产生的 利润为 10 000 元; 生产 1 车皮乙种肥 料,产生的利润为 5 000 元,那么分别生 产甲、乙两种肥料各 多少车皮,能够产生最大的利润?

2.若实数 x , y 满足
?1 ? x ? y ? 3 ? ??1 ? x ? y ? 1

求 4 x +2 y 的取值范围.

错解:由①、②同向相加可求得: 0≤2 x ≤4 即 由②得 0≤4 x ≤8 ③

—1≤ y — x ≤1 ④

将上式与①同向相加得 0≤2 y ≤4 ③十④得 0≤4 x 十 2 y ≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析.

(2)[辨析]通过讨论,上述解法中,确定的 0≤4 x ≤8 及 0

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≤2 y ≤4 是对的, 但用 x 的最大(小)值及 y 的最大(小)值来 确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的. X 取得最大 (小) 值时,y 并不能同时取得最大(小)值。由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确. (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更 好的解法?怎样求解? 正解:

练习 1
?x ? y ? 2 ? 1、 求 z ? x ? y 的最大值、 最小值, 使 x 、y 满足条件 ? x ? 0 ?y ? 0 ?

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2、设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x 、 y 满足

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

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课题: 3.4 基本不等式 ab ?
班级: 组名: 姓名:

a?b 2

设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基 本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“≥”取等 号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 教学重点:应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角
a?b 的证明过程; 2 a?b 教学难点:基本不等式 ab ? 等号成立条件 2

度探索不等式 ab ?

教学方法:通过实例探究抽象基本不等式 二.研讨互动,问题生成 基本不等式 ab ?
a?b 的几何背景: 2

1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个 全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a2 ? b2 。这样,4 个直角三角形的面 积的和是 2ab,正方形的面积为 a 2 ? b2 。由于 4 个直角三角 形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:
a 2 ? b2 ? 2ab 。

当直角三角形变为等腰直角三角形, 即 a=b 时, 正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 a2 ? b2 ? 2ab 。

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2

























a, b ? R, 那么a 2 ? b 2 ? 2ab(当且仅当 a ? b时取" ?"号)

3.思考证明:你能给出它的 证明吗?

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式 ab ?

a?b 2

特 别 的 ,如 果 a>0,b>0, 我 们 用分 别代 替 a 、 b , 可得
a ? b ? 2 ab ,

通常我们把上式写作: ab ?

a?b (a>0,b>0) 2 a?b 2)理解基本不等式 ab ? 的几何意义 2

三.合作探究,问题解决 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的 一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD、BD。你能利用这个图形得出 基本不等式 ab ?
a?b 的几何解释吗? 2

例1

已知 x、y 都是正数,求证: (1) ?
y x x ≥2; y

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(2)(x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥8x3y3.

1.已知 a、b、c 都是正数,求证 (a+b) (b+c) (c+a)≥8abc

4.课时小结
本节课,我们学习了重要不等式 a2+b2≥2ab;两正数

a、b 的算术平均数(
关系(

a?b ) ,几何平均数( ab )及它们的 2

a?b ≥ ab ).它们成立的条件不同,前者只要求 a、 2

b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变
形的基本工具,又是求函数最值的重要工具(下一节我们将 学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解

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决问题:ab≤

a?b 2 a 2 ? b2 ,ab≤( ). 2 2

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课题: 3.4 基本不等式 ab ?
班级: 组名: 姓名:

a?b 2

设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

一. :自主学习,明确目标 1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 ab ?
a?b ;会应 2

用此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际 问题 2.过程与方法:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不
a?b , 并会用此定理求某些函数的最大、 最小值。 2 a?b 教学重点:基本不等式 ab ? 的应用 2 a?b 教学难点:利用基本不等式 ab ? 求最大值、最小值。 2

等式 ab ?

教学方法:探究,讨论 二.研讨互动,问题生成 1.重要不等式:

2.算术平均数、几何平均数 ?

a 2 ? b 2 ? 2ab和

a?b 2

? ab 成立的条件?

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三.合作探究,问题解决 例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问 这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短的篱 笆是多少?

(2) 段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大 面积是多少?

例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最 低总造价是多少元?

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归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值 或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的 最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案.

练习
1.已知 x≠0, 当 x 取什么值时, x2+ 多少?
81 的值最小?最小值是 x2

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不等式章节测试题
班级: 组名: 姓名: 设计人:赵帅军 审核人:魏帅举 领导审批:

选择题 1.已知 c ? d , a ? b ? 0 ,下列不等式中必成立的一个是 ( )
( A) a ? c ? b ? d (B) a ? c ? b ? d (C ) ad ? bc ( D)
a b ? c d

2.设 x, y 满足 2 x ? y ? 20 的正数,则 lg x ? lg y 的最大值是 )
( A) 50 (B) 2 (C ) 1 ? lg 5 ( D) 1



3.设 x, y ? R , x2 ? y 2 ? 1, m ? (1 ? xy)(1 ? xy) ,则 m 的取值范围是 )
1 ( A) [ ,1] 2



( B ) (0,1]
1 x

3 (C ) [ ,1] 4

3 ( D) [ ,1) 4

4.已知 a ? 0, b ? 0 ,则不等式 ?b ? ? a 等价于 )
1 1 ( A) x ? ? 或 x ? a b 1 1 (C ) ? ? x ? 0 或 0 ? x ? a b



1 1 (B) x ? ? 或 x ? b a 1 1 ( D) ? ? x ? 0 或 0 ? x ? b a 5.一批货物随 17 列火车从 A 市以 v km / h 的速度匀速直达 B 市,已知 v 两地铁路线长为 400km ,为了安全,两列货车的距离不得小于 ( ) 2 km 20 (货车的长度忽略不计) ,那么这批货物全部运到 B 市,最快需要


( A) 6 h ( B ) 8h


(C ) 10h ( D) 12h

填空题 6.设 x ? ,则函数 y ? x ?
x?
1 2 8 的最小值是 2x ?1

,此时

. 7. 关于 x 的不等式 x2 ? ax ? 6a ? 0 的解集不是空集, 且区间长度不超过 5, 则实数 a 的取值范围是 . 8.使 log2 (? x) ? x ? 1成立的 x 的取值范围是 . 9.锐角三角形 ABC 中,已知边 a ? 1, b ? 2 ,则边 c 的取值范围 是 . 10 .若 a , b 是实数,且 a ? b ,则在下面三个不等式:① ?
a b a ?1 ;② b ?1

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(a ? b)2 ? (b ? 1)2 ;③ (a ?1)2 ? (b ?1)2 ,其中不成立的有

个.
( x ? a )( x ? b) 的 x

11.设 a , b 都是大于 0 的常数,则当 x ? 0 时,函数 f ( x) ? 最小值是 .

12.已知 f ( x) ? ax ? 2a ? 1,当 x ?[?1,1] 时, f ( x) 的值有正有负,则 a 的取 值范围为 .

13.已知 x, y ? R ,且 x2 ? 2xy ? 2 y2 ? 2 ,则 | x ? y | 的最大值 是 . 解答题 14.(1)已知 x ? y ? 0 ,且 xy ? 1 ,求
x2 ? y 2 的最小值及相应的 x, y 的值; x? y

1 2 , g x? l g y 的最大值及相应的 x, y 的 (2) 已知 x ? y ? 0 , 且 3x ?4 y ? 求l 值.

15.设绝对值小于1 的全体实数的集合为 S ,在 S 中定义一种运算 * ,使
a?b , 1 ? ab 求证:如果 a 与 b 属于 S ,那么 a * b 也属于 S .

得 a *b ?

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16.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 2 n (n ? N * ) . n

17. 某种商品原来定价每件 p 元,每月将卖出 n 件.若定价上涨 x 成
x , 0 ? x ? 10 ) ,每月卖出数量将减少 y 成,而售货金 10 额变成原来的 z 倍. 1 (1)若 y ? ax ,其中 a 是满足 ? a ? 1 的常数,用 a 来表示当售货金额 3

(注: x 成即

最大时的 x 值; (2)若 y ? x ,求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围.
2 3

2 18. 设 fx () x? x? ?3 1

| f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) . , 实数 a 满足 | x ? a |? 1 , 求证:

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19.已知 a, b, c 都是正数,求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

20. 某商场预计全年分批购入每台价值为 2000 元的电视机共 3600 台, 每批都购入 x 台 ( x ? N * ) ,且每批均需付运费 400 元,贮存购入的电 视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正 比,若每批购入 400 台,则全年需用运输和保管费用总计 43600 元, 现在全年只有 24000 元资金可以用于支付这笔费用,请问:能否恰 当安排每批进货的数量,使资金够用?求出结论,并说明理由.



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