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排列组合中的分堆问题



问题1 把abcd平均分成两组有_____多少种分法?
ab ac ad
bc bd cd

cd bd bc
ad ac ab

这两个在分组时只能算一个

结论:平均分成的组,不管它们的顺序 如何,都是一种情况,所以分组后要 m A 除以 m ,即m!,其中m表示组数。

r /> 均分不安排工作的问题
例1:12本不同的书
(1)按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分 4 4 4 法? C12 C8 C4

A
2 12 2 10

3 3

? 5775

(2)按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法?

C C C C 3 A3

2 8

6 6

分堆安排工作的问题
例2:(1)6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、 乙、丙三个人,有多少种不同的分法? 方法:先分再排。分成的组数看成元素的个数·

C C C 3 2 2 2 ? A3 ? C6 C4 C2 A
(2)12支笔按3:3:2:2:2分给A、B、C、 D、E五个人有多少种不同的分法?

2 6

2 4 3 3

2 2

C C C C C 5 ? A5 2 3 A2 A3

3 12

3 9

2 6

2 4

2 2

练习
C C C C A4 4
3 12 3 9 3 6 3 3

1:12本不同的书平均分成四组有多少种不同分法?

2:10本不同的书

(1)按2∶2∶2∶4分成四堆有多少种不同的分法?

C CCC 3 A 3 (2)按2∶2∶2∶4分给甲、乙、丙、丁四个人有
多少种不同的分法?
2 2 2 4 C10 C8 C6C4 4 ? A4 3 A3

2 10

2 8

2 6

4 4

非均分问题
例1:6本不同的书 (1)按1∶2∶3分成三堆有多少种不同的分法? 1 2 3 C6C5C3 (2)按1∶2∶3分给三个人有多少种不同的分法? 1 2 3 3 C6C5C3 ? A3

注意

(1)非均分问题只要按比例分完再用乘法原理作积

(2)分组安排工作要把组数当作元素个数再作排列。

非均分问题
例2.有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学, 按下条件,各有多少种不同的分法? 2 2 2 (1)每人各得两本;C6C4 C2 1 2 3 C6C5 C3 (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; 1 2 3 3 C6C5 C3 A3 (3)一人一本,一人两本,一人三本; 4 1 1 (4)甲得四本,乙得一本,丙得一本; C6 C2 C1 (5)一人四本,另两人各一本·

C ?A
4 6

3 3

4 1 1 C6 C2C 1 3 或 ? A 3 2 A2

练习

12本不同的书分给甲、乙、丙三人按下列条 件,各有多少 种不同的分法? 3 4 5 3 C C C A (1)一人三本,一人四本,一人五本; 12 9 5 3 3 4 5 C9 C5 (2)甲三本,乙四本,丙五本; C12 (3)甲两本,乙、丙各五本;
5 5 C C 2 2 2 5 5 C12 ? 10 2 5 ? A2 ? C12 C10 C5 A2

(4)一人两本,另两人各五本·
5 5 C C 2 3 2 5 5 C12 ? 10 2 5 ? A3 ? 3C12 C10 C5 A2

练习
1.有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全 部放入盒内, (1)共有多少种放法? (2)恰有1个盒不放球,有多少种放法? (3)恰有1个盒内放2个球,有多少种放法? (4)恰有2个盒内不放球,有多少种放法?

2:将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个 乡镇至少一名,则不同的分配方案有多少种?
3:5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少 去一名志愿者,则不同的分派方法共有多少种? 4: 将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分 在同一组,则不同分组方法的种数为

5:将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习, 每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有

6:某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目 且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不 同的投资方案有( )种



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