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一元二次不等式及其解法第二课时教案-数学必修五第三章不等式3.2人教A版



人教 A 版数学教案必修 5 第三章 3.2 第一课时

第三章 不等式 3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法 1 教学目标
[1] 会根据实际问题列出一元二次不等式 [2] 会求解一元二次不等式 [3] 理解和掌握好一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的关系 [4] 会利用二次函数图像来分析和理解一元二次不等式及对应的一元二次方程的解

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2 教学重点/难点
重点:求解一元二次不等式 难点:一元二次不等式与其对应的二次函数以及一元二次方程的关系

3 专家建议
[1]解一元二次方程时先将二次项系数化为正,若判别式大于零,说明有两根,可以根据“大 于号取两根之外,小于号取两根之内”进行详讲,若不将二次项系数化为正也可以,画图时要 说明对应二次函数图像开口向下 [2]在解一元二次不等式之前, 先复习二次函数的相关图像与性质, 以及对称轴, 求根公式, 韦达定理,根的判别式等。

4 教学方法
探究及启发式教学

5 教学过程
5.1 复习引入 【师】同学们,先看看一个问题 【板演/PPT】 问题: 某小城市有两类载客三轮车, A 类每千米路程收费 1.5 元 (不足 1 千米按 1 千米计算) ; B 类的收费原则是: 第一千米 (含恰好 1 千米, 下同) 内收费 1.7 元, 第 2 千米内收费 1.6 元, 以后每千米路程减少 0.1 元(若乘客一次乘坐路程超过 17 千米,按 17 千米来计算) 。在这个 城市内的载客三轮车载客一般不超过 17 千米, 所以不妨假设一次乘车路程总小于 17 千米, 那 么一次乘车在多长时间内能够保证选择 A 类的车费小于或等于选择 B 类所需车费? 【生】思考,讨论 【板演/PPT】
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人教 A 版数学教案必修 5 第三章 3.2 第一课时

假设一次乘车 x 千米,则 A 类收取的费用为 1.5x(元) , B 类收取的费用为
x(35 ? x) (元) , 20

如果能够保证选择 A 类比选择 B 类所需费用少,则

x (35 ? x ) ? 1.5 x 整理得, x 2 ? 5 x ? 0 20 ,

这是一个关于 x 的一元二次不等式,只要求得满足上述不等式的解集,就得到了问题的答案。 【师】总结一下,一元二次不等式的定义 【板演/PPT】 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式 5.2 新知介绍 [1] 一元二次不等式的解法 【师】那么,我们如何求不等式的解集呢? 【生】思考,讨论 【师】我们先来考察一元二次不等式与其对应的二次函数及一元二次方程的关系 【板演/PPT】 例如: x 2 ? 5 x ? 0 对应的二次函数是 y ? x 2 ? 5x ,对应的一元二次方程是 x 2 ? 5 x ? 0 【师】我们容易知道一元二次方程有两个根,分别是 x1 ? 0, x2 ? 5 。 【生】思考,讨论 【师】 由二次函数的零点与相应的一元二次方程根的关系,x1 ? 0, x2 ? 5 是二次函数 y ? x 2 ? 5x 的两个零点 【板演/PPT】 二次函数 y ? x 2 ? 5x 的图像(如图)

观察图像,得到什么结论。 【板演/PPT】 由图像知道:
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当 x<0,或 x>5 时,函数图像位于 x 轴上方,此时 y>0,即 x 2 ? 5 x ? 0 ; 当 0<x<5 时,函数图像位于 x 轴下方,此时 y<0,即 x 2 ? 5 x ? 0 ; 所以,一元二次不等式 x 2 ? 5 x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} 。 【师】所以,当一次乘车路程在 5 千米路程内(含恰好 5 千米)时,选择 A 类的车费小于或等 式选择 B 类的车费;超过 5 千米路程,选择 B 类的车费少。

[2] 一元二次不等式及其对应的二次函数、一元二次方程的关系 【师】总结一下上面问题的解法 【板演/PPT】 我们可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系, 先求出一元二次方程的根, 再根据函数 图像与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。 【师】上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 解集。 【生】思考,讨论 【师】 我们知道, 对于一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) , 设 ? ? b 2 ? 4ac , 它的解按照 ? ? 0 ,
? ? 0 ,? ? 0 可分为三种情况,相应地,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图像与 x 轴的位置关

系也分为三种情况,因此,我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集。
【生】思考,讨论 【板演/PPT】 例如:一元二次方不等式 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ,已知 a ? 0, ,又知 ? ? (?5)2 ? 4 ? (?6) ? 49 ? 0 ,所以对 应的二次函数 y ? x 2 ? 5x ? 6 开口向上,与 x 轴有两个交点,如图(1) :x 轴上方图像,y>0;x 轴下方图像, y<0;与 x 的两个交点, y=0;所以不等式的解为 x 轴上方图像所对应的 x 值的集合。

(1)

(2)

(3)

又如: 一元二次不等式 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , 因为 ? ? (?2)2 ? 4 ?1 ? 0, 对应的二次函数的图像如图 ( 2) , 由图知:x 轴下方没有图像,所以一元二次不等式 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 无解; 又如:一元二次不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,因为 ? ? 22 ? 4 ?1? 3 ? ?8 ? 0 ,对应二次函数的图像如图 (3) ,由图知:图像全在 x 轴上方,所以不等式<0 的解集为空集, 〉0 的解集为 R。
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【师】根据上述方法,请将下表填充完整: 【板演/PPT】
? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x?

? b ? b 2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ? {x | x ? ?

b 2a

没有实数根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1或x ? x2 } {x | x1 ? x ? x2 }

b } 2a

全体实数

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

空集

空集

例题1、求不等式9 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0的解集。
解:注意到9 x 2 ? 6 x ? 1 ? (3x ? 1) 2 ? 0 1 所以,原不等式的解集 为{x | x ? ? }. 3

例题2、求不等式? 6x 2 ? 4x ?1 ? 0的解集。
解:不等式可化为 6x2 ? 4x ?1 ? 0 因为? ? ?8, 方程6 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0无实数根,而y ? 6 x 2 ? 4 x ? 1 的图像开口向上,所以 原不等式的解集为 ?。
例题3、求不等式 x 2 ? 3 1 x ? ? 0的解集。 4 6

解:不等式可化为 12x 2 ? 9 x ? 2 ? 0 因为? ? 177 ? 0, 方程12x 2 ? 9 x ? 2 ? 0有两个实数根, ? 3 ? 177 ? 3 ? 177 , x2 ? , 然后画出二次函数 y ? 12x 2 ? 9 x ? 2的图像, 8 8 ? 3 ? 177 ? 3 ? 177 由图像得不等式的解集 为{x | x ? 或x ? } 8 8 即,x1 ?

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例题4、求不等式x 2 ? 30x ? 200 ? 0的解集。
解:因为? ? 100 ? 0, 所以方程x 2 ? 30x ? 200 ? 0有两个实数根, 即x1 ? 10, x2 ? 20, 由二次函数y ? x 2 ? 30x ? 200 的图像得不等式的解集 为{x | 50 ? x ? 60}

[3] 小结

1、一元二次不等式的定 义 2、一元二次不等式的解 法 1)将原不等式化成一般 形式ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 2)求? ? b 2 ? 4ac 3)若? ? 0, 方程ax2 ? bx ? c ? 0没有实数根,原不等式 解集为R; 若? ? 0, 求方程ax2 ? bx ? c ? 0的两个不等实数根,原 不等式解集为 {x | x ? x小或x ? x大 }; 若? ? 0, 方程ax2 ? bx ? c ? 0有两个相等的实数根, 原不等式的解集为 {x | x ? ? b }. 2a

5.3 复习总结和作业布置 [1] 课堂练习 1、求下列不等式的解集: (1) 、 3x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 (3) 、 ? 2x 2 ? x ? 1 ? 0 (2) 、 9x 2 ? 6x ? 1 ? 0 (4) 、 ? x 2 ? 4x ? 4 ? 0

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2、分别求出下列二次函数的值大于 0,小于 0,还有等于 0 时自变量 x 的取值范围。
2 (1) 、 y ? 2x ? 4x ? 3 2 (2) 、 y ? ?3x ? 2 x ? 8

(3) 、 y ? 8x ? 1 ? 16x

2

(4) 、 y ? ( x ? 4)(? x ? 1)

课堂练习【参考答案】 : 1、解析如下:
1 解: (1) ? ? ? 49 ? 0,? 方程3 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0有两个实数根, x1 ? ?2, x2 ? , 3 1 由二次函数y ? 3 x 2 ? 5 x ? 2的图像得不等式的解集 为: {x ? ?2或x ? }. 3

解: (2)注意到9 x 2 ? 6 x ? 1 ? (3x ? 1) 2 ? 0 1 所以原不等式的解集为 {x | x ? }. 3

解: (3)不等式可化为2 x 2 ? x ? 1 ? 0,? ?=9, ? 方程2 x 2 ? x ? 1 ? 0有两个实数根, 1 1 x1 ? ? , x2 ? 1,由二次函数y ? 2 x 2 ? x ? 1的图像得不等式的解集 为{x | x ? ? 或x ? 1}. 2 2

解: (4)不等式可化为 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0,即( x ? 2) 2 ? 0, 注意到( x ? 2) 2 ? 0, 所以原不等式的解集为 ?.

2、解析如下:

解 : (1)? ? ?8 ? 0,由二次函数图像 (如图)得: 函数值等于0时,无解; 函数值大于0时,x ? R; 函数值小于0时,无解.

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解 : (2)? ? 100 ? 0,由二次函数图像 (如图)得: 4 函数值等于0时,x ? ?2, x ? ; 3 4 函数值大于0时,x ? ?2或x ? ; 3 4 函数值小于0时, ?2? x ? . 3
解 : (3)? ? 0,由二次函数图像 (如图)得: 1 函数值等于0时,x ? ; 4 函数值大于0时,无解; 1 函数值小于0时,x ? . 4

解 : (4)? ? 0,由二次函数图像 (如图)得: 函数值等于0时,x ? ?4, x ? ?1; 函数值大于0时, ? 4 ? x ? ?1; 函数值小于0时,x ? ?4或x ? ?1.

[2] 作业布置 1、复习本节课所讲内容 2、预习下一节课内容

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5.4 板书设计 一、一元二次不等式的定义: 我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式。 二、一元二次不等式的解法:
? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图像

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

的根
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)

x?

? b ? b 2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ? {x | x ? ?

b 2a

没有实数根

{x | x ? x1或x ? x2 } {x | x1 ? x ? x2 }

的解集

b } 2a

全体实数

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

全体实数

空集

三、例题讲解:

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