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椭圆2



§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(1)
学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形; 2.根据几何条件求出曲线方程,并利用曲线的方程研究它的性质,画图.

学习过程
一、课前准备 (预习教材理 P43~ P46,文 P37~ P40 找出疑惑之处) x2 y2 ? 1 上一点 P 到左焦点的距离是 2

,那么它到右焦点的距离是 复习 1: 椭圆 ? 16 12 x2 y2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是 复习 2:方程 ? 5 m 二、新课导学 x2 y 2 问题 1:椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,它有哪些几何性质呢? a b y: 范围: x : 对称性:椭圆关于 轴、 轴和 顶点: ( )( , )( , )( , ) ;长轴,其长为 ;短轴,其长为



都对称; ;

离心率:刻画椭圆 试试:椭圆

程度.椭圆的焦距与长轴长的比

c c 称为离心率,记 e ? ,且 0 ? e ? 1 . a a

y2 x2 ? ? 1 的几何性质呢? 16 9 y: 图形:范围: x :

对称性:椭圆关于 )( , ) ;长轴,其长为

轴、

轴和

都对称; ;

顶点: ( 离心率: e ?

)( ,

)( ,

;短轴,其长为

b c c = .反思: 或 的大小能刻画椭圆的扁平程度吗? a b a 例 1 求椭圆 16x2 ? 25 y 2 ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.

变式:若椭圆是 9 x2 ? y 2 ? 81呢?

例 2 点 M (x, y) 与定点 F(4,0) 的距离和它到直线 l : x ?

4 25 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹. 5 4

1

练 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: 1 ⑴焦点在 x 轴上, a ? 6 , e ? ; 3 ⑶经过点 P(?3,0) , Q(0, ?2) ;

3 ⑵焦点在 y 轴上, c ? 3 , e ? ; 5 3 ⑷长轴长等到于 20 ,离心率等于 . 5

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) :
x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 m 的值是( ) . 5 m 5 5 15 25 A. 3 B. 3 或 C. 15 D. 15 或 3 3 2.若椭圆经过原点,且焦点分别为 F1 (1, 0) , F2 (3, 0) ,则其离心率为(

1.若椭圆

) .

A.

3 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 4

3.短轴长为 5 ,离心率 e ? 长为( A. 3

2 的椭圆两焦点为 F1 , F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周 3

) . B. 6 C. 12 D. 24 2 2 x y ? 1 上的一点, 4. 已知点 P 是椭圆 ? 且以点 P 及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面积等于 1 , 则点 P 的 5 4 坐标是 . 5.某椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18 ,且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方 程是 .

作业
1.比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁? x2 y2 x2 y2 ?1 ; ?1 . ⑴ 9x2 ? y2 ? 36 与 ? ⑵ x2 ? 9 y2 ? 36 与 ? 16 12 6 10

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: ⑴经过点 P(?2 2,0) , Q(0, 5) ; ⑵长轴长是短轴长的 3 倍,且经过点 P(3,0) ; ⑶焦距是 8 ,离心率等于 0.8 .

2

§ 2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质;2.椭圆与直线的关系.

学习过程
一、课前准备 复习 1: 椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 16 12

) (

) ;

长轴长 、短轴长 ;离心率 . 复习 2:直线与圆的位置关系有哪几种?如何判定? 二、新课导学 问题 1: 想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢?问题 2: 椭圆与直线有几种位置关系?又是如何确定? 反思:点与椭圆的位置如何判定? 例题 例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过 对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭 圆一个焦点 F1 发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 , 已知 BC ? F1 F2 ,F1 B ? 2.8cm ,
F1 F2 ? 4.5cm ,试建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

变式:若图形的开口向上,则方程是什么? x2 y2 ? 1 ,直线 l : 4x ? 5y ? 40 ? 0 。椭圆上是否存在一点,它到直线 l 的距离最小? 例 2、 已知椭圆 ? 25 9 最小距离是多少?

变式:最大距离是多少?

练 1 已知地球运行的轨道是长半轴长 a ? 1.50 ?108 km ,离心率 e ? 0.0192 的椭圆,且太阳在这个椭圆的一个焦点上,求地球到太阳的最大和 最小距离. 3

练 2. 经过椭圆 长.

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点 F1 作倾斜角为 60? 的直线 l , 直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, AB 的 求 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1 .椭圆在生活中的运用;2 .椭圆与直线的位置关系:相交、相切、相离(用 ? 判定) .
直线与椭圆相交,得到弦,弦长 l ? 1 ? k 2 x1 ? x2
2 ? (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?

其中 k 为直线的斜率, ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 是两交点坐标.

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) :
x2 y2 ? ? 1 , P 到两焦点的距离之差为 ,则 ?PF1 F2 是( ) . 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若△F1PF2 为等腰直角三 、F 角形,则椭圆的离心率是( ) . 2 2 ?1 A. B. C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 2 x2 y2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形的 3.已知椭圆 ? 16 9 三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) . 9 7 9 9 A. B. 3 C. D. 7 4 5 4.椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列,则其离心率为 . 2 2 x y ? 1 的焦点分别是 F1 和 F2 ,过原点 O 作直线与椭圆相交于 A, B 两点,若 ?ABF2 的面积是 5.椭圆 ? 45 20 20 ,则直线 AB 的方程式是 .

1.设 P 是椭圆

课后作业
1. 求下列直线 3x ?10 y ? 25 ? 0 与椭圆
x2 y2 ? ? 1 的交点坐标. 25 4

x2 y2 3 ? ? 1 ,一组平行直线的斜率是 4 9 2 ⑴这组直线何时与椭圆相交? ⑵当它们与椭圆相交时,这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上?

2.若椭圆

4



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