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【福州市3月质检】福建省福州市2014届高三毕业班质检数学文试题+扫描版含答案1



1

2

3

4

2014 年福州市高中毕业班质量检测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准

1--12;

BCDAB

CDDBC

BB 14.1/2 15.10 16. -1007

13. ?x ? R ,都有 f(x)≠x

17. 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d, 由 a1 ? 4, a2 ? 10 得 log3 (4 ? 1) ? 1,log3 (10 ? 1) ? 2 所以 d=1;…………3 分 所以 log3 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n 即 an ? 3n ? 1 .…………6 分 (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 ? n ?1 ? ? n …………8 分 n an ?1 ? an 3 ? 3 2 3 1 1 1 所以 ? ? ??? ? a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an
? n? 1 1 1 1 1 ? ( 1 ? 2 ? 3 ??? ? n ) ? 1 ( 3 3 3 ) ? 1 ? 1 (1 ? 1n ) ? 1 ……12 分 1 2 3 3 3 3 2 2 2 3 4 1? 3 1 1 1

18. 解 : ( Ⅰ ) 甲 市 抽 取 的 样 本 数 据 分 别 是 32 , 34,45,56,63,70 ; 乙 市 抽 取 的 样 本 数 据 为 33,46,47,51,64,71.
x甲 ? 32 ? 34 ? 45 ? 56 ? 63 ? 70 33 ? 46 ? 47 ? 51 ? 64 ? 71 ? 50 , x乙 ? ? 52 .……3 分 6 6

因为 x甲

x 乙 ,所以甲市的空气质量较好.

…… 4 分

(Ⅱ)由茎叶图知,甲市 6 天中有 2 天空气质量等级为一级,有 4 天空气质量等级为二级,空气质量 等级为二级的 4 天数据为 a, b, c, d ,空气质量等级为一级的两天数据为 m, n ,则 6 天中抽取两天的所 有情况为 ab, ac, ad , am, an, bc, bd , bm, bn, cd , cm, cn, dm, dn, mn ,基本事件总数为 15.… 9 分
am, bm, cm, dm, an, bn, cn, dn , 记 “恰有一天空气质量等级为一级” 为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为:

事件数为 8. …… 11 分 所以 P( A) ?
8 8 . 即恰有一天空气质量等级为一级的概率为 .---------12 分 15 15

19. 解:(I) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x
5

= cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 = 2sin ? 2 x ? 令-

? ?

??

? ? 1 ?????????2分 6?

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2 k? , k ? Z ,

解得 2k? ?

x ? [0, ] ,f(x)的递增区间为 [0, ] 6 2
(Ⅱ)由 f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

2? ? ? ? ? 2 x ? 2k? ? 即 k? ? ? x ? k? ? …………4 分 3 3 3 6

?

………………6 分

?

6

) ? 1 ? 2 ,得 sin( 2C ?

?
6

)?

1 2

而 C ? ? 0, ? ? ,所以 2C ?

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

? ? 5 ? ? ,所以 2C ? 6 ? 6 ? 得 C ? 3 ?????????8分 ?
sin A 1 ? , sin B 2

因为向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,所以

由正弦定理得:

a 1 ? b 2
2 2 2

①……………10 分

由余弦定理得: c ? a ? b ? 2ab cos 由①②解得 a ?

?
3

,即 a2+b2-ab=9 ②………11 分

3 , b ? 2 3 ……………12 分

20. 解: (Ⅰ)设正方形 AA1C1C 的边长为 x 由于 E 是 A1B 的中点,△EAB 的面积为定值。

CC1 ∥平面 AA1B ,? 点 F 到平面 EAB 的距离为定值
即为点 C 到平面平面 AA1B 的距离 又 VE ? ABF ? VF ? ABE ,且 VF ? ABE ?

1 3 S ?ABE ? h = 3 3
………………5 分

即 ? ? x?

1 1 3 2

x 3 3 3 ,? x ? 8, x ? 2 ? x? 2 2 3

(Ⅱ)解法一:将侧面 BCC1 B1 展开到侧面 A1 ACC1 得到矩形 ABB1 A1 ,
6

连结 A1 B ,交 C1C 于点 F , 此时点 F 使得 A1 F ? BF 最小.此时 FC 平行且等于 A1 A 的一半,

? F 为 C1C 的中点.……7 分
取 AB 中点 O,连接 OE,EF,OC,

? OEFC 为平行四边形,
△ABC 为正三角形,? OC ? AB ,又 AA1 ? 平面 ABC, ?OC ? AA1 ,且 AB ? AA1 ? A ,? OC ? 平 面A 1 AB ,

AE ? 平面 A1AB ,

? OC ? AE ,又 EF ∥ OC ,? AE ? EF ………… 11 分
由于 E 是 A1B 的中点,所以 AE ? A1B ,又 A1B ? EF ? E , 所以直线 AE 与平面 A1 FB 垂直…………12 分 解法二:将侧面 BCC1 B1 展开到侧面 A1 ACC1 得到矩形 ABB1 A1 ,连结 A1 B ,交 C1C 于点 F , 此时点 F 使得 A1 F ? BF 最小. 此时 FC 平行且等于 A1 A 的一半,

? F 为 C1C 的中点.…………7 分
过点 E 作 EG // A1 F 交 BF 于 G , 则 G 是 BF 的中点, EG ?

1 5 A1 F ? .. 2 2

过点 G 作 GH ? BC , 交 BC 于 H ,则 GH ? 又 AH ?

1 1 FC ? . 2 2
AH 2 ? GH 2 ? 13 ; 2

3 , 于是在 Rt?AGH 中, AG ?

在 Rt?ABA1 中, AE ?

2.

7

在 ?AEG 中, AE 2 ? GE 2 =AG 2 ,? AE ? EG, ∴ AE ? A1 F . ………… 11 分 由于 E 是 A1B 的中点,所以 AE ? A1B ,又 A 1B ? A 1F ? E , 所以直线 AE 与平面 A1 FB 垂直…………12 分

21. 解: (Ⅰ)由题意得,

( x ? 1)2 ? y 2 2 ,…………2 分 ? | x?2| 2
x2 ? y 2 ? 1 ,即点 P 的轨迹方程 …………4 分 2

化简得, x2 ? 2 y 2 ? 2 ,即

(Ⅱ)若存在点 E(t,0)满足题设条件.并设 M(x1,y1)、N(x2,y2), 当 MN ⊥x 轴时,由椭圆的对称性可知,x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离相 等…………5 分 当 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

? y ? k ( x ? 1) ? y ? k ( x ? 1) ? 2 ? ,得 ? x 2 , (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?x 2 2 ? ? y ?1 ? ? y ?1 ?2 ?2
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? , …………7 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

根据题意,x 轴平分∠MEN, 则直线 ME、NE 的倾斜角互补,即 KME+KNE=0.……8 分 设 E(t,0),则有

y1 y ? 2 ? 0 (当 x1=t 或 x2=t 时不合题意) x1 ? t x2 ? t

又 k≠0,所以

y1 y ? 2 ? 0, x1 ? t x2 ? t k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ? ?0 x1 ? t x2 ? t

将 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)代入上式,得

又 k≠0,所以

x1 ? 1 x2 ? 1 ( x ? 1)( x2 ? t ) ? ( x2 ? 1)( x1 ? t ) ? 0, ? ? 0 ,即 1 ( x1 ? t )( x2 ? t ) x1 ? t x2 ? t

8

2 x1 x2 ? (1 ? t )( x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 , 2 x1x2 ? (1 ? t )( x1 ? x2 ) ? 2t ? 0 ,…………10 分 ( x1 ? t )( x2 ? t )
将 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? 代入,解得 t=2.…………11 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

综上,存在定点 E(2,0), 使得 x 轴上的任意一点(异于点 E、F)到直线 EM、EN 的距离相等。……………12 分

22. 解: (Ⅰ) f ' ( x ) ?

a , g ' ( x ) ? 2 x ,依题意得:a=2; ……………2 分 x

曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线为 2x-y-2=0, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为 2x-y-1=0. ……………3 分 两直线间的距离为

5 ……………4 分 5

(Ⅱ)令 h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则 h' ( x ) ?

a a ? 2x 2 ? 2x ? x x

当 a≤0 时, 注意到 x>0, 所以 h' ( x ) <0, 所以 h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5 分 又 h(1)=0,故 0<x<1 时,h(x)>0,即 f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6 分 当 a>0 时, h' ( x) ?

2 a a ( ? x)( ? x)(x ? 0) x 2 2

当0 ? x ?

a a , h' ( x) ? 0, 当 x ? 时, h' ( x) ? 0 2 2
?
a? 上是增函数,在? 2? ? a ? ,+∞ 上是减函数, ……………8 分 2 ?

所以 h(x)在?0, ∴h(x)≤ f (

a a a a ) ? ln ? ? 1 2 2 2 2 a a a ) ? h ( 1 ) ? 0 ) ? 0 不符. ≠1, h( 与 h( 2 2 2

因为 h(1)=0,又当 a≠2 时, 所以 a=2. ……………9 分

(Ⅲ)当 a<0 时,由(2)知 h' ( x ) <0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数, 不妨设 0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1, ……………10 分
9

∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2| 等价于 h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即 h(x1)+x1≥h(x2)+x2, ……………11 分 令 H(x)=h(x)+x=alnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数, ∵ H ' ( x) ?

a ? 2x 2 ? x ? a ? 2x ? 1 ? (x>0), ……………12 分 x x

∴-2x2+x+a≤0 在 x>0 时恒成立,∴a≤(2x2-x)min ……………13 分 又 x>0 时, (2x2-x)min= ?

1 8

1 1 ∴a≤- ,又 a<0,∴a 的取值范围是 ( ?? ,? ] . ……………14 分 8 8

10



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