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第二章 2.3.1 双曲线及其标准方程


2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程

1.了解双曲线标准方程的推导过程. 2.能根据条件熟练求出双曲线的标准方程. 3.掌握双曲线的定义与标准方程.

1.双曲线的定义. 绝对值是常数 平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的___________________ (小于|F1F2|且大于0) ____________________的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫 做双曲线的________, 焦点

两焦点之间的距离叫做双曲线的________. 焦距

2.双曲线的标准方程.
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上,标准方程为______________________, a2-b2=1

c2=a2+b2 焦点坐标为______________,a,b,c 的关系是____________. (c,0),(-c,0) y2 x2 (2)焦点在 y 轴上,标准方程为________________________, a2-b2=1 (0,c),(0,-c) c2=a2+b2 焦点坐标为______________,a,b,c 的关系是____________.

【要点1】如何理解双曲线的定义?
【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于 0” 这一条件可以用

“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.“差的绝对值”这一 条件是因为当|MF1|<|MF2|或|MF1|>|MF2|时,点 P 的轨迹为 双曲线的一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中 应为“差的绝对值”. ①当||PF1|-|PF2||=0 时,点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平 分线;

②当 0<||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,点 P 的轨迹是双曲线; ③当|PF1|-|PF2|=2a 或|PF1|-|PF2|=-2a 时,点 P 的轨迹

只是双曲线的其中一支;
④当||PF1|-|PF2||=2a=|F1F2|时,点 P 的轨迹是以 F1,F2 为端点向外的两条射线; ⑤当||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,点 P 的轨迹不存在.

【要点2】双曲线的定义中“差的绝对值”中的“绝对值”能

否去掉?
【剖析】不能去掉,若去掉绝对值,点的轨迹就成为双曲 线的一支.

【要点3】双曲线中 a,b,c 的关系. 【剖析】双曲线 a,b,c 的关系是 c2=a2+b2,a,b,c 恰

好构成一个以 c 为斜边的直角三角形,如图 2-3-1;而椭圆a, b,c 的关系是 a2=b2+c2,a,b,c 恰好构成一个以 a 为斜边的

直角三角形,如图 2-3-2.

图 2-3-1

图 2-3-2

题型 1 双曲线定义及应用

例1:AB 是某平面上一定线段且|AB|=3,点 P 是该平面内
→ → 的一动点,满足|PA|-|PB|=2,则点 P 的轨迹是(
A.圆 B.双曲线的一支 C.椭圆的一部分 D.抛物线 )

思维突破:根据双曲线的定义(与平面上两个定点的距离之 差的绝对值为定值的点的轨迹,差的绝对值小于两定点间的距 → → 离),又由于|PA|-|PB|=2,2<3,故只有一支.

答案:B

【变式与拓展】 C 1.“ab<0”是方程 ax2+by2=1 表示双曲线的( A.必要不充分 B.充分不必要

)条件.

C.充要
D.既不充分也不必要

题型2 求双曲线的标准方程 例2:已知双曲线两个焦点的坐标为 F1(-13,0),F2(13,0), 双曲线上一点 P 到 F1,F2 的距离的差的绝对值等于 10,求双曲 线的标准方程.

思维突破:求解双曲线的标准方程,只要确定焦点所在坐标
轴及 a,b的值即可,通常由定义可以确定2a,根据c2=a2 +b2,

基本量 a,b,c 中知道其中两个,可求出第三个.

自主解答:∵双曲线的焦点在 x 轴上, x2 y2 ∴设它的标准方程为a2-b2=1(a>0,b>0). ∵2a=10,∴a=5. 又 c=13,∴b2=132-52=144. x2 y2 ∴双曲线的标准方程为25-144=1.

【变式与拓展】 2.若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为 10,则它的 x2 y2 标准方程为________________. 9 -16=1

3.已知双曲线过点 P(- 2,- 线的标准方程.

? 3),Q? ? ?

? 15 ? , 2?,求双曲 3 ?

解:设所求双曲线的方程是 mx2+ny2=1(mn<0), ∵P(- 2,-
? 3),Q? ? ? ? 15 ? , 2?在双曲线上, 3 ?

?2m+3n=1, ? 1 ∴?15 解得 m=1,n=-3, ? 9 m+2n=1. ? y2 ∴所求双曲线的标准方程为 x2- 3 =1.

题型 3 含有参数的双曲线方程
x2 y2 例 3:方程 + =1 表示双曲线,则 k 的取值范围 |k|-2 5-k

是(

) A.k<2 或 k>5 C.k>5 或-2<k<2 B.2<k<5 D.k>5 或 k>2

思维突破:根据双曲线的标准方程可知,需要(|k|-2)· (4-
k)<0,联立不等式组求得 k 的范围.

答案:C

【变式与拓展】

x2 y2 + 4.如果方程 =1 表示双曲线,那么 m 的取值 m+1 m+2
范围是__________. -2<m<-1


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