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高中数学人教A版必修5同步练习:2.4 第1课时《等比数列的概念与通项公式》



第二章 2.4 第 1 课时《等比数列的概念与通项公式》
一、选择题 1.等比数列{an}中,a1=4,a2=8,则公比等于( A.1 C.4 [答案] B a2 [解析] ∵a1=4,a2=8,∴公比 q= =2. a1 9 1 2 2.若等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,则这个数列的项数为( 8 3 3 A.3 C.5 [答案] B [解析] 9 2 n-1

1 2 8 2 · ( ) = ,∴( )n-1= =( )3∴n=4. 8 3 3 3 27 3 ) B.4 D.6 ) B.2 D.8 )

3.已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+a3=6,则 a7=( A.64 C.128 [答案] A [解析] ∵{an}是等比数列,a1+a2=3,a2+a3=6, ∴设等比数列的公比为 q, 则 a2+a3=(a1+a2)q=3q=6,∴q=2. ∴a1+a2=a1+a1q=3a1=3,∴a1=1, ∴a7=a1q6=26=64. B.81 D.243

4.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3· a9=2a2 5,a2=1,则 a1=( 1 A. 2 C. 2 [答案] B [解析] 设公比为 q,由已知得 a1q2· a1q8=2(a1q4)2,即 q2=2, 因为等比数列{an}的公比为正数,所以 q= 2, B. 2 2

)

D.2

a2 1 2 故 a1= = = ,故选 B. q 2 2 5.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( A.b=3,ac=9 C.b=3,ac=-9 [答案] B a =-b ? ? 由条件知?b =ac=9 ? ?c =-9b
2 2 2

)

B.b=-3,ac=9 D.b=± 3,ac=9

[解析]

?a2≥0 ? ,∵? ,∴a2>0,∴b<0,∴b=-3,故选 B. ? a ≠ 0 ?

6.已知{an}是公比为 q(q≠1)的等比数列,an>0,m=a5+a6,k=a4+a7,则 m 与 k 的 大小关系是( A.m>k B.m=k C.m<k D.m 与 k 的大小随 q 的值而变化 [答案] C [解析] m-k=(a5+a6)-(a4+a7) =(a5-a4)-(a7-a6) =a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6) =(q-1)· a4· (1-q2) =-a4(1+q)(1-q)2<0(∵an>0,q≠1). 二、填空题 7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项 an=__________. [答案] 3· 2n
-3

)

2 ? ? ?a3=3 ?a1q =3 [解析] ∵? ,∴? 9 ?a10=384 ? ? ?a1q =384

3 ∴q7=128,∴q=2,∴a1= ,∴an=a1qn-1=3· 2n-3. 4 1 1 1 8.已知等比数列前 3 项为 ,- , ,则其第 8 项是________. 2 4 8 1 [答案] - 256

1 1 1 [解析] ∵a1= ,a2=a1q= q=- , 2 2 4 1 1 1 1 ∴q=- ,∴a8=a1q7= ×(- )7=- . 2 2 2 256 三、解答题 9.若 a,2a+2,3a+3 成等比数列,求实数 a 的值. [解析] ∵a,2a+2,3a+3 成等比数列, ∴(2a+2)2=a(3a+3), 解得 a=-1 或 a=-4. 当 a=-1 时,2a+2,3a+3 均为 0,故应舍去. 当 a=-4 时满足题意,∴a=-4. 10.已知:数列{an}的首项 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*).求证: 数列{an+1}是等比数列. [证明] 由已知 Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). 当 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n+4.两式相减 得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1, 即 an+1=2an+1,从而 an+1+1=2(an+1).当 n=1 时,S2=2S1+1+5, ∴a2+a1=2a1+6. 又∵a1=5,∴a2=11,从而 a2+1=2(a1+1),故总有 an+1+1=2(an+1),n∈N*. 又∵a1=5,a1+1≠0. an+1+1 从而 =2,即数列{an+1}是首项为 6,公比为 2 的等比数列. an+1

一、选择题 a3+a4 1 1.各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2, a3,a1 成等差数列,则 的 2 a4+a5 值为( ) B. D. 5+1 2 5+1 5-1 或 2 2

1- 5 A. 2 C. 5-1 2

[答案] C 1 [解析] ∵a2, a3,a1 成等差数列,∴a3=a2+a1, 2 ∵{an}是公比为 q 的等比数列,∴a1q2=a1q+a1, ∴q2-q-1=0,∵q>0,∴q= 5+1 . 2

a3+a4 a3+a4 5-1 1 ∴ = = = . q 2 a4+a5 ?a3+a4?q 2.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1、a3、a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数 列{bn}的公比为( A. 2 C.2 [答案] C [解析] ∵a1、a3、a7 为等比数列{bn}中的连续三项, ∴a2 a7,设{an}的公差为 d,则 d≠0, 3=a1· ∴(a1+2d)2=a1(a1+6d),∴a1=2d, a3 4d ∴公比 q= = =2,故选 C. a1 2d 3.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( A.16 C.36 [答案] B [解析] 设公比为 q,由题意,得? ∴q2=9,∵an>0,∴q=3. 1 27 ∴a1= ,∴a4=a1q3= , 4 4 81 a5=a1q4= , 4 27 81 108 ∴a4+a5= + = =27. 4 4 4 4. 若正数 a, b, c 依次成公比大于 1 的等比数列, 则当 x>1 时, log ax, log bx, log cx( ) B.27 D.81 ) ) B.4 1 D. 2

? ?a1+a1q=1 ?a1q2+a1q3=9 ?



A.依次成等差数列 B.依次成等比数列 C.各项的倒数依次成等差数列 D.各项的倒数依次成等比数列 [答案] C [解析] 1 1 + log ax log cx

=log xa+log xc=log x(ac)=log xb2 2 =2log xb= log bx 1 1 1 ∴ , , 成等差数列. log ax log bx log cx 二、填空题 5.在 8 和 5 832 之间插入 5 个数,使它们组成以 8 为首项的等比数列,则此数列的第 5 项是__________. [答案] 648 [解析] 设公比为 q,则 8q6=5 832,∴q6=729, ∴q2=9,∴a5=8q4=648. 6.在等比数列{an}中,an>0,且 an+2=an+an+1,则数列的公比 q=________. [答案] 1+ 5 2

[解析] ∵an+2=an+an+1, ∴q2an=an+qan. ∵an>0, ∴q2-q-1=0,q>0, 1+ 5 1- 5 解得 q= ,或 q= (舍去). 2 2 三、解答题 7.等比数列{an}中,已知 a1=2,a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a3、a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项 和 Sn. [解析] (1)设{an}的公比为 q,

由已知得 16=2q3,解得 q=2, ∴an=a1qn-1=2n. (2)由(1)得 a3=8,a5=32,则 b3=8,b5=32, 设{bn}的公差为 d,则有

? ? ?b1+2d=8, ?b1=-16, 解得? ? ?b1+4d=32, ? ? ?d=12.
从而 bn=-16+12(n-1)=12n-28, n?-16+12n-28? ∴数列{bn}的前 n 项和 Sn= 2 =6n2-22n. 8 8.在各项均为负数的数列{an}中,已知 2an=3an+1,且 a2· a5= ,证明{an}是等比数 27 列,并求出通项公式. [证明] ∵2an=3an+1, an+1 2 2 ∴ = ,故数列{an}是公比 q= 的等比数列. an 3 3 8 8 又 a2· a5= ,则 a1q· a1q4= , 27 27 2 2 即 a2 ( )5=( )3. 1· 3 3 由于数列各项均为负数, 3 则 a1=- . 2 3 2 2 ∴an=- ×( )n-1=-( )n-2. 2 3 3



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