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三角函数的应用论文


三角函数的广泛应用
摘要: 三角函数在历史长河的沉淀中,不仅是科学研究的重要组成部分,还是数学 学习中得重点难点, 更是我们实际生活中不可缺少的元素。我从三角函数的发展 以及生活实际应用举例两方面来研究三角函数与实际生活的紧密联系, 突出三角 函数应用的广泛性。 关键词:三角函数 三角函数的应用

经过数学历史的长河的沉淀,科学研究的进步,实际生活的操作。三角函数 的实际应用在生活中有着不可取代的地位。三角函数可以计算三角形(通常为直 角三角形)中未知长度的边和未知的角度,在导航系统,工程学以及物理学方面 都有广泛的用途; 有许多周期现象可以用三角函数来模拟如物理中简谐振动、交 流电中的电流、 潮汐等, 都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有 关问题;很多最值问题都可以转化为三角函数来解决,如天气预报、建筑设计、 航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。 一、 三角函数的形成与发展 三角学由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久的发展, 现今使用的三角函 数发展于欧洲的中世纪时期。在古代,由于古代天文学的需要,为了计算某些天 体的运行行程问题,需要解一些球面三角形,在解球面三角形时,往往把解球面 三角形的问题归结成解平面三角形, 这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角 学﹑古代平面三角学。随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率, 就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。 就 是说对于任何相似三角形, (比如)斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如 果斜边变为两倍长,其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。三 角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。 它们本质上是任意角的 集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性,所以并不 具有单射函数意义上的反函数。欧拉的《无穷微量解析入门》 (Introduction in Analysis Infinite) (1748 年)对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡 献,他定义三角函数为无穷级数,并表述了欧拉公式,还有使用接近现代的简写 sin、cos.、tang.、cot.、sec.和 cosec.。 二、 三角函数与生活 通讯电缆铺设问题

如图,一条河宽 km,两岸各有一座城市
A和B,A与B 的直线距离是 4km, 今需铺设一条电
A θ

缆连 A 与 B ,已知地下电缆的修建费是 2 万元 /km,水下电缆的修建费是 4 万元/km,假定河岸 是平行的直线(没有弯曲) ,问应如何铺设方可 使总施工费用达到最少? 分析:设电缆为 AD ? DB 时费用最少,因为 河宽 AC 为定值,为了表示 AD和BD 的长,不妨 设 ?CAD ? ? .

C

D

B

(0 ? ? ? 900) 解:设 ?CAD ? ? ,则 AD ? sec? , CB ?, BD ? -tan ? ,

∴总费用为

y ? 4 sec?-2tan ? ? 2 15 =
问题转化为求 u ?

4 ? 2 sin ? ?2 15 cos ?

4 ? 2sin ? 的最小值及相应的θ 值, cos ? sin ? ? 2 (0, 2) (cos ? ,sin ?) 而 u ? -2 ? 表示点 P 与点 Q cos ?

(0 ? ? ? 900) 斜率的-2 倍 ,有图可得 Q 在

切于点 Q 时,u 取到最小值。此时 K PQ 电缆应从距 B 城( 15 - 2 3 +2 15 (万元) 。

1 单位圆周上运动,当直线 PQ 与圆弧 4 ? ? ? 3 ,∴ umin ? 2 3 , ? ? 。 即水下 6

3 )km 处向 A 城铺设,图三因此此时总费用达最小值 3

注:本题在求 u 的最小值时,除了利用数结合的方法外,还可以利用三角函 数的有界性等方法。

测量问题 情景一:
如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量 者在 A 的同侧,在所在的河岸边选定一点 C 测出 A、C 的距离是 55m,∠BAC=51°∠ACB=75°,球 A、B 两点的距离。 分析:这是关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间 的距离的情景问题,情景中条件告诉了边 AB 的对角 AC 为已知边,再根据三角 形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边。

解:根据正弦定理,得
AB AC ? sin ?ACB sin ?ABC

AC sin ?ACB 55sin ?ACB ? sin ?ABC sin ?ABC ? 55sin 75 55sin 75? ? ? ? 65.7(m) sin(180? ? 51? ? 75? ) sin 54? AB ?
所以 A,B 两点间的距离为 65.7 米。 情景二: 某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹, 同时对文宣塔的高度进行了 测量,如图 2,他们先在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30°;再向塔的方向直行 80 步到达 B 处,又测得塔顶 C 的仰角为 60°,请用以上数据计算塔高。 (学生的身 高忽略不计,1 步=0.8m,结果精确到 1m)
C

D B 图2 分析:要求塔高 CD,在 Rt△BDC 中求,∠CBD=60°,需求 BD 或 BC,因为∠DBC= ∠A+∠BCA,所以∠BCA=30°,所以 BC=AB=80 解:过 C 作 CD⊥AB 于点 D 则∠CDA=90°,∠A=30°,∠CBD=60° ∵∠CBD=∠A+∠ACB ∴∠A=∠ACB=30° ∵AB=80 步,1 步=0.8m ∴BC=AB=80 步=64m 在 Rt△BCD 中,CD=BC×sin∠CBD=64× 所以,文宣塔高约为 54 m。

A

3 ≈54(m) 2

航海危险区域预测问题
一艘渔船正以 30 海里/小时的速度由西向东追赶鱼群,在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600 方向,40 分钟后,渔船行至 B 处,此时看见小岛 C 在船的北 偏东 300 方向,已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习 的着弹危险区,问这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有进入危险区域的可能?

分析:此情景如图例 3 可先找出小岛 C 与航向(直线 AB)的距离,再与 10 海 里进行比较得出结论. 北 北 解:过 C 作 AB 的垂线 CD 交 AB 的延长线于点 D AD BC ∵ cot 30 0 ? , cot 60 0 ? CD CD 0 30 0 60 0 ∴ AD ? CD ? cot30 , BD ? CD ? cot 600 西 B ∴ AD ? BD ? CD(cot300 ? cot 600 ) ? 20 A 南 南 20 ? 10 3 ∴ CD ? 例3图 3 3? 3 ∵ 10 3 >10 ∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域.

C

D



足球射门问题
在训练课上,教练问左前锋,若你得球后,沿平行于边线 GC 的直线 EF 助 攻到前场(如图,设球门宽 AB ? a 米,球门柱 B 到 FE 的距离 BF ? b 米) ,那么 你推进到距底线 CD 多少米时,为射门的最佳位置?(即射门角 ?APB 最大时为 射门的最佳位置)?请你帮助左前锋回答上述问题。 D 分析: 情景中要求射门的最佳位置, 即只要当射 A 门角最大时为最佳位置。所以设角后“求解角”的过 B 程是本题的关键。 若直接在非特殊 APB 中利用边来求 ?APB 的 可应用直角三角形的性质求解。 解 : 如 图 , 设 FP ? x,?APB ? ?,?BPF ? ? (?、? 为锐角) ,
F C

P

E G

最值,显得比较繁琐,注意到 ?APB ? ?APF-?BPF ,而后两者都在 Rt 中,故

则?APF ? ? ? ?,tg (? ? ? ) ?
tg? ? tg[(? ? ? )-? ] ?

a?b x

,

tg ? ?

b x

,

tg (? ? ? ) ? tg ? = 1 ? tg (? ? ? ) ? tg ?

( a ? b) ? b a 。若令 y ? x ? , ( a ? b) ? b x x? x

则 y ? 2 x?

( a ? b) ? b ( a ? b) ? b = 2 (a ? b) ? b , 当x? ,即 x ? (a ? b) ? b 时, y 取到 x x

最 小 值 2 (a ? b) ? b , 从 而 可 知 x ? (a ? b) ? b 时 , tg? 取 得 最 大 值 , 即
tg? ? a 时, ? 有最大值。故当 P 点距底线 CD 为 (a ? b) ? b 米时,为 2 ( a?b ) ?b

射门的最佳位置。 依图像知, 在白天的 9—15 时这个时间段可供冲浪爱好者进行

冲浪运动。 通过生活中的例子我们可以体会到三角函数在生活中应用之大。 历经历史长河的 沉淀, 三角函数不仅是科学研究的重要组成部分, 还是实际生活应用中不可缺少 的。通过我们的研究,我们深深地体会到,身边就有数学,数学就在身边,也可 以体会到三角函数在生活中应用之大。在设“角”求解的生活情景中一般涉及到 角与边之间的相互关系,对这类问题,一般可以利用三角函数的相关知识,如正 弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。

参考文献: [1].陈上太.三角函数最小正周期的求法.数学教学研究[J],1999,(1):26-28. [2].董志立.三角函数求最值问题类型解法透析.希望月报 [J],2007,(8):110-111. [3].刘丽英.三角形中一类极值问题的解题基本思路及方法.中国科教创新导刊 [J],2009,(15):80-85. [4].曾广述.三角形中的三角函数问题求解策略.中等职业教育 [J],2007,(35):56-58. [5].祝全力.三角函数的最值问题探索.中国科教创新导刊[J],2009,(3):72-77. [6].李尚志.从数学中享受快乐.数学通报,2004,12 [7]. 张顺燕.数学教育与数学文化.数学通报,2005,2


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